2024北京重点校初一（下）期中数学汇编：二元一次方程组的解法2（京改版）（解答题）

2024北京重点校初一（下）期中数学汇编

二元一次方程组的解法（京改版）（解答题）2

一、解答题

1.（2024北京通州初一下期中）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横

式和竖式两种无盖纸盒.

图（1）图（2）

（1）若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做多少个？

（2）若仓库里有。张长方形纸板和6张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说

明理由.

2.（2024北京第十三中学初一下期中）解方程组、[

2x+3y=1①

3.（2024北京文汇中学初一下期中）解方程组：

x-2y=4(2)

4.（2024北京第三中学初一下期中）某餐饮公司销售A、B两种套餐，已知购买2份A套餐和3份8套餐

共用了84元；1份A套餐和2份8套餐共用了51元.

（1）求A套餐、B套餐的单价各多少元；

（2）某单位从该餐饮公司购买A、8两种套餐共20份，费用不超过330元，求该单位最多能购买多少份B套

餐.

x+2=2

5.（2024北京顺义仁和中学初一下期中）解方程组：.2'

3x—2y=-1.

=3

6.（2024北京广渠门中学初一下期中）解方程组：..

[x-2y=o8

f3x+4y=2,

7.（2024北京顺义仁和中学初一下期中）解方程组。/。

=8.

8.（2024北京顺义仁和中学初一下期中）解答题：

[32x+35y=38①

解方程组L“台时，由于x,、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减

[30x+33y=36②

消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单:

①-②得2%+2y=2,所以x+y=l③，

③x35—①得3x=—3f

解得从而丁=2,

所以原方程组的解是「fx=二—21

2016x+2018y=2020

请你运用上述方法解方程组:

2019%+2021y=2023

9.（2024北京铁路第二中学初一下期中）在平面直角坐标系中，对于与原点不重合的两个点打。/）和

/、\x=c

Q（c,d）,关于x,y的方程W+万一称为点P的“照耀方程".若是方程"+好的解，则称点尸“照耀”了

点。

（3

例如，点以5,7）的“照耀方程”是5x+7y=l,且J%=是该方程的解，则点入5,7）“照耀”了点。（3,-2）.

⑴下列点中被点4（3,-2）“照耀”的点为

月（一1,1）,4（4,6）,鸟（5,7）

⑵若点C（p,q）同时被点£＞（5,-9）和点现-3,7）“照耀”，请求出P,q

（3）若〃个不同的点《，尸2,…，Pn,每个点都“照耀”了其后所有的点,

如片“照耀”了鸟，A，…，P",

号'照耀”了A，A，…，P„,

心“照耀”了匕,

请写出〃的最大值，并说明理由.

3%-2y=8

10.（2024北京第一六一中学初一下期中）解方程组:

2x+y=3

11.（2024北京丰台第二十中学初一下期中）计算

2x—3y=l

⑴

y=x-4

4x-2y=10

⑵

3无-4y=5

x+3y=2①

12.（2024北京陈经纶中学初一下期中）解方程组:

3x-y=-4(2)

x+2y=7,

13.（2024北京二中初一下期中）解方程组:

3尤+4y=17.

14.（2024北京西城外国语学校初一下期中）北京冬奥会期间，大批的志愿者秉承“奉献、友爱、互助、进

步”的志愿精神参与服务工作.某高校组织400名学生参加志愿活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每

次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人.

（1）每辆小客车和每辆大客车各能运送多少名学生？

（2）若学校计划租用小客车。辆，大客车6辆，若两种客车均租用且恰好每辆车都坐满，一次运送完，请你

设计出所有的租车方案.

15.（2024北京第七中学初一下期中）列二元一次方程组解应用题：

快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.快递员的提成取决于送件数和揽件

数.某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是

160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元.求快递员小

李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元.

fX+y——1

16.（2024北京第四中学初一下期中）解方程组：c-.

[2%-3y=8o

17.（2024北京第十五中学初一下期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十

九两；牛二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；

2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”

根据以上译文，提出以下两个问题：

（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购

买方法？列出所有的可能.

18.（2024北京通州初一下期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本

框架，其中方程术是重要的数学成就，书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱

一十.今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗的价格是50钱；普通酒一斗

的价格是10钱.现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、普通酒各多少斗？

19.（2024北京第四中学初一下期中）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个4奖

品和2个8奖品共需130元；购买5个A奖品和4个8奖品共需230元.

（1）求A,8两种奖品的单价；

（2）学校准备购买A,8两种奖品共40个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的;.购买预算金不超过

920元，请问学校有几种购买方案.

20.（2024北京回民学校初一下期中）解方程组：0'c

=2,

「2x+y=5f4（x-y-l）=3（l-y）-2

21.（2024北京第十五中学初一下期中）解方程组：⑴/门（2）%y、

\x-2y=0-+—=2

[23

22.（2024北京第十四中学初一下期中）某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅.经过测试：同时开放1个

大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就

（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；

（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.

参考答案

1.(1)横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个

(2)a+6是5的整数倍，理由见解析

【分析】(1)设横式纸盒做x个，竖式纸盒做丫个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100

张正方形纸板，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设横式纸盒做机个，竖式纸盒做〃个，根据制作的两种纸盒恰好用完。张长方形纸板和6张正方形纸

板，可列出关于“，6的二元一次方程组，两方程相加，可得出。+人=5(冽+”),结合沉，〃均为正整数，

即可得出。+6是5的整数倍.

【详解】(1)解：设横式纸盒做x个，竖式纸盒做y个，

答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个;

(2)解：是5的整数倍，理由如下:

设横式纸盒做机个，竖式纸盒做〃个，

3m+4n=a

根据题意得:

2m+n=b

:.a+b-5{m+n),

又加，〃均为正整数，

.•・。+匕是5的整数倍.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解

题的关键.

【分析】首先将①/2+②可求得x=2,将x=2代入①可求得V的值.

【详解】解:[[2xJ+y--3①②

①x2+②，得7尤=14,

解得：x=2,

将x=2代入①可得4+y=3,

解得：＞=—1，

['尤=2

•••原方程组的解为

y=-l

【点睛】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解答本题的关键.

x=2

3.

y=-l

【分析】利用加减消元法求解即可.

2x+3y=l①

【详解】解:

尤_2y=4②

①-②x2得，7y=-7,解得y=-l

把y=T代入②得，x+2=4,解得尤=2,

fx=2

原方程组的解为

[y=-l

【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟练掌握解方程的法则是解答此题的关键.

4.（1）4套餐的单价为15元，2套餐的单价为18元

（2）10份

【分析】（1）设A套餐的单价为x元，8套餐的单价为y元，根据购买2份A套餐和3份B套餐共用了84

元；1份A套餐和2份2套餐共用了51元列出方程组，解之即可.

（2）设购买8套餐机份，根据费用不超过330元，列出不等式，解之即可.

【详解】（1）解：设A套餐的单价为x元，B套餐的单价为y元,

2x+3y=84

由题意可得:

x+2y=51

尤=15

解得:

y=18

...A套餐的单价为15元，3套餐的单价为18元;

（2）设购买8套餐加份,

由题意可得：15（20-根）+18，〃<330,

解得：m<10,

该单位最多能购买10份3套餐.

【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是找到等量关系和不等关系,

列出方程组和不等式.

[x=l

5'b=2

【分析】方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可.

x+——2,

【详解】2

3x—2y=-1.

2x+y=4①

整理得,

3x-2y=-l@

①x2+②得，7x=7

解得,x=l

将尤=1代入①得：2xl+y=4

解得：y=2

(%一]

•••方程组的解为：c

U=2

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法

消去一个未知数.

fx=2

「=-3

【分析】运用代入消元法或加减消元法求解

3x+y=3①

【详解】

尤_2y=8②

解法一：代入消元法

由②，得x=2y+8③

把③代入①，得3(2y+8)+y=3

解得广-3

把丁=一3代入③，得尤=2

"2

，方程组的解为。

b=-3

解法二：加减消元法

①x2+②，得7x=14

解得尤=2

把x=2代入①，得产-3

[x=2

•••方程组的解为。

[y=-3

【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.

7,1fyx==2T

【分析】利用加减消元法求解可得；

-(3x+4y=2,©

【详解】解：八?父⑨

[3x—2y=8.②

①—②，得6y=_6,y=_]

把＞二T代入①，得3X+4X(—1)=2

(％=2

；.x=2所以，原方程组的解为.：

ly=-i-

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解决本题的关键是要掌握消元的方法，即代

入消元法与加减消元法.

【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解.

2016元+2018y=2020①

【详解】解:

2019元+2021〉=2023②

②-①得：3x+3y=3,

x+y=1③，

③x2018-①得：2x=-2,

解得：x=-l,

将x=_l代入③得：y=2,

fX=-1

•••原方程组的解为c.

[y=2

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法.

9.⑴玛（5,7）

（2）p=2,g=1

（3）”的最大值为3；理由见解析

【分析】（1）根据题目中给出的定义进行解答即可；

（2）根据题意列出方程组，求解即可；

（3）根据二元一次方程组只有一个解解答即可.

【详解】（1）解：点4（3,-2）的照耀方程为：3x-2y=l,

把点耳（-1,1）代入得：—3—2=—5x1,

点耳不是被点A（3,-2）“照耀”的点；

把点用（4,6）代入得：3x4-2x6=0W1,

；•点B2不是被点4（3,-2）“照耀”的点;

把点骂（5,7）代入得:3x5-2x7=l,

•••点层是被点4（3,-2）“照耀”的点;

故答案为：鸟（5,7）.

（2）解：点。（5,-9）的照耀方程为：5尤-9y=1,点E（-3,7）的照耀方程为：-3x+7y=l,

x=2

解方程组-3尤+7丫=产

J=1

.••点c为（2,1）,

即p=2,4=1.

（3）解：〃的最大值为3；理由如下:

设点片（44），则关于点片（知仿）的照耀方程为aj+bj=1,

设点P2（%也）,则关于点?（生也）的照耀方程为小+3=1，

设点心（生也）是被片（4片）和g（生也）的“照耀”的点，

x=a,a^x+b1y=1

/是方程组

ax+by=1"

y=b323

a,x+b,y=1

;方程组1'•1为关于X、y的二元一次方程组,

a2x+b3y=1

又：二元一次方程组只有一个解,

被耳（弓,伪）和心（生也）“照耀”的点只有一个,

不可能再写出第4个点,

•*.n的最大值为3.

【点睛】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握解二元一次方程组的方法，及二

元一次方程组解的定义.

x=2

10.

y=-i

【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可.

3x-2y=8①

【详解】

2x+y=3②

由②得y=3-2x③，

将③代入①，得版-2（3-2x）=8,解得x=2,

将x=2代入y=3-2x,得y=-l,

x=2

所以方程组的解为

y=-i

【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键.

x=ll

11.(1)

y=7

x=3

⑵

)=1

【分析】（1）将②代入①可求解x值，将％=11代入②可求解、值，进而解方程;

（2）①x2-②可求解x值，再将x值代入①可求解、值，进而解方程.

2x-3y=1①

【详解】（1）解:

y=%-4(2)

将②代入①得2X-3(X-4)=1,

解得X=H，

将x=H代入②得y=ll—4=7,

fx=11

；•方程组的解为r；

[y=7

j4x-2y=10①

13尤-4y=5②'

①x2-②得5x=15,

解得x=3,

将x=3代入①得3x4-2y=10,

解得y=i,

[x=3

・••方程组的解为一

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组：加减消元法，代入消元法，选择合适

的解法是解题的关键.

fx=—1

12.1

[y=i

【分析】利用代入消元法求解即可.

【详解】解：=-4②，

由①得：尤=2-3y③，

把③代入②，得3(2-3y)-y=T,

解得：y=i,

把y=i代入③，得％=-1.

[x=­l

所以原方程组的解为，.

【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入消元法是解答本题的关键.

[%=3

3.0

[y=2

【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答.

x+2y=7①

【详解】解:

3x+4y=17②

①x2得:

2x+4y=14③,

②-③得:

把工=3代入①得:

3+2y=7,

解得：y=2,

二原方程组的解为：[x=3

[y=2

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键.

14.（1）每辆小客车能运送20名学生，每辆大客车能运送45名学生

（2）租车方案为：小客车11辆，大客车4辆或小客车2辆，大客车8辆

【分析】（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据“用1辆小客车和2辆大客车每

次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人”，即可得出关于尤，y的二元一

次方程组，解之即可得出结论；

（2）①根据“一次运送400名学生，且恰好每辆车都坐满”，即可得出关于a,b的二元一次方程，结合

a,b均为正整数，即可得出各租车方案;

【详解】（1）设每辆小客车能运送无名学生，每辆大客车能运送y名学生.

x+2y=110

根据题意，得:

4x+y=125

x=20

解得:

y=45

答：每辆小客车能运送20名学生，每辆大客车能运送45名学生.

(2)根据题意，得20a+45b=400.

9

a=20—b.

4

••%,6为正整数，两种客车均租用且恰好每辆车都坐满

Tl或f能a=82・

答：租车方案为：小客车11辆，大客车4辆或小客车2辆，大客车8辆.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关

系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程.

15.快递员小李平均每送一件的提成是1.5元，平均每揽一件的提成是2元

【分析】设快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是x元，y元，然后根据若平均每天的送件

数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为

120件和25件，则他平均每天的提成是230元列出方程组求解即可.

【详解】解：设快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是％元，y元,

80x+20y=160

由题意得:

120x+25y=230

尤=1.5

解得

)=2

快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元，2元,

答：快递员小李平均每送一件的提成是L5元，平均每揽一件的提成是2元.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键.

x=l

16.

y=~2

【分析】观察方程组各个含有未知数的项的系数，可加减消元法解二元一次方程组.

x+y=-10

【详解】解:

2x-3y=8②

①x2,得2尤+2y=-2③.

②-③，得-5y=10.

将y=-2代入①，得1.

(x-]

...该方程组的解为

【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法或加减消元法解二元一次方程组是解题关

键.

17.(1)每头牛3两银子，每只羊2两银子;(2)三种购买方法，买牛5头，买养2只或买牛3头，买养5只或买

牛1头，买养8只.

【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组，解出即可.

(2)根据题意列出代数式，穷举法代入取值即可.

【详解】(1)设每头牛无银两,每只羊>银两.

J5x+2y=19

[2x+5y=16

(x=3

解得：c

[y=2

答:每头牛3两银子，每只羊2两银子.

(2)设买牛。头，买羊b只.

3。+26=19,即6=上19-产317.

解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=l,b=8.

答:三种购买方法，买牛5头，买养2只或买牛3头，买养5只或买牛1头，买羊8只.

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系.

18.买美酒;斗，买普通酒:斗.

【分析】设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据题意列出二元一次方程即可求解.

【详解】解：设买美酒了斗，买普通酒y斗，

根据题意列方程得：

x+y=2

50x+10y=30

1

x=—

4

解得

7

)=­

4

答：买美酒;斗，买普通酒二斗.

44

【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系求解.

19.（1）A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元.（2）学校有三种购买方案，方案一：购买A

种奖品10个，B种奖品30个；方案二：购买A种奖品H个，8种奖品29个；方案三：购买A种奖品12

个，2种奖品28个.

【分析】（1）设A种奖品的单价为尤元，B种奖品的单价为y元，根据“购买3个A奖品和2个2奖品共需

130元；购买5个A奖品和4个2奖品共需230元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得

出结论；

（2）设购买A种奖品加个，则购买B种奖品（40-加）个，根据购买A种奖品的数量不少于8种奖品数

量的;且购买预算金不超过920元，即可得出关于根的一元一次不等式组，解之即可得出机的取值范围,

再结合m为整数即可得出各购买方案.

【详解】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元,

3x+2y=130

依题意，得:

5x+4y=230

x=30

解得:

7=20

答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为20元.

（2）设购买A种奖品相个，则购买3种奖品（40-机）个,

m>—(40-m)

依题意，得:

30m+20(40-m)<920

解得：10q臼2.

•・•根为整数，

.*.m=10,11,12,

・・・40-机=30,29,28.

学校有三种购买方案，方案一：购买A种奖品10个，8种奖品30个；方案二：购买A种奖品11个，B

种奖品29个；方案三：购买A种奖品12个，B种奖品28个.

【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，掌握实际问题中的等量关系和

不等关系是解决此题的关键.

x=8,

20.

y=3,

【分析】利用解二元一次方程组-代入消元法进行计算即可.