专题09 几何中的最值问题问题（解析版）

专题09几何中的最值问题几何压轴题中的最值问题，是历年各地中考中的高频考点，其主要类型包括面积的最值问题、线段的最值问题、角度的最值问题，由于面积的最值问题在上一个专题中已有涉及，所以本主题主要探究的是线段的有关最值问题。解决线段的最值问题，从方法上来说主要有几何法和函数法两大方法：几何法：总的思路是对线段的最值问题进行转化，多数情况下当三点位于同一条直线上时，取得最值，理论依据主要是两点之间线段最短。再具体的考题中我们可以根据题目的图形、条件或者问题的问法等，再将最值问题进行细化，将问题抽象成我们常见的几种模型，从而使问题得到解决。例如抽象为：将军饮马模型、瓜豆原理、胡不归模型、费马点模型以及阿氏圆模型等。函数法：可以利用坐标法，将所求的线段长度用坐标的方式表示出来，之后利用最值模型求解。 （2022·辽宁沈阳·统考中考真题）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点C在上，点D在线段延长线上，连接，．线段与的数量关系为______；（2）如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转（）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．（3）如图3，若，点C是线段外一动点，，连接，①若将绕点C逆时针旋转得到，连接，则的最大值______；②若以为斜边作，（B、C、D三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值．（1）由题意易得，，，然后可证，进而问题可求解；（2）由题意易得，，然后可证，进而问题可求证；（3）①根据题意作出图形，然后根据三角不等关系可得，则当A、C、D三点共线时取最大，进而问题可求解；②过点C作于点E，连接，过点B作于点F，然后可得点C、D、B、E四点共圆，则有，设，，则，，，进而根据勾股定理可进行方程求解．【答案】（1）；（2）结论仍成立，理由见详解；（3）①，②．【详解】解：（1），理由如下：∵和是等腰直角三角形，，∴，，，∴，，故答案为：；（2）结论仍成立，理由如下：∵和是等腰直角三角形，，∴，，∴，即，∴，；（3）①如图，由题意得：，，根据三角不等关系可知：，∴当A、C、D三点共线时取最大，∴，∵，，∴，的最大值为；②过点C作于点E，连接，过点B作于点F，如图所示：∴，∴点C、D、B、E四点共圆，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，设，，则，，，∴，，∴，，∴在和中，由勾股定理得：，整理得：①；在中，由勾股定理得：，整理得：②，联立①②得：，解得：，（不符合题意，舍去），∴，过点E作于点M，∴，，∴，∴．本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形的性质是解题的关键．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．【问题解决】(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形是矩形，∴．由折叠可知，，．∴．∴．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)的度数为________度，的值为_________；(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）（1）根据折叠的性质可得AD=AF，，由HL可证明结论；（2）根据折叠的性质可得证明是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论；（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论．【答案】(1)见解析(2)22.5°，(3)【详解】（1）证明：四边形是矩形，∴．由折叠可知，，．∴．∴．由折叠得，，∴∴又AD=AF，AG=AG∴（2）由折叠得，∠又∠∴∠由得，∠∠又∠∴∠∴∠∴设则∴∴∴（3）如图，连接∵∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作交AD于点R，∵∠∴∠∴又∴∴在中，∴∴的最小值为本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图1，在矩形ABCD中，，．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作，交AB于点F．(1)求证：；(2)如图2，连接CF，过点B作，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求的最小值；②当取最小值时，求线段DE的长．（1）证明出即可求解；（2）①连接AM．先证明．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时，．此时，取最小值．在中利用勾股定理即可求出AM，则问题得解．②先求出AF，求AF的第一种方法：过点M作交FC于点N，即有，进而有．设，则，．再根据，得到，得到，则有，解方程即可求出AF；求AF的第二种方法：过点G作交BC于点H．即有．则有，根据，可得，进而求出，．由得，即可求出AF．求出AF之后，由（1）的结论可得．设，则，即有，解得解方程即可求出DE．【答案】(1)见解析(2)①5；②或【详解】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴，∴．∵，∴，∴，∴；（2）①解：如图2-1，连接AM．∵，∴是直角二角形．∴．∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：，当A，G，M三点共线时，．此时，取最小值．在中，．∴的最小值为5．②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作交FC于点N，∴．∴．设，则，∴．∵，∴，∴，由①知的最小值为5、即，又∵，∴．∴，解得，即．（求AF的方法二）如图2-3，过点G作交BC于点H．∴．∴，由①知的最小值为5，即，又∵，∴．∴，．由得，∴，即，解得．∴．由（1）的结论可得．设，则，∴，解得或．∵，，∴或．本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．1．（2022·贵州遵义·统考二模）如图1，四边形ABCD为正方形，，为等腰直角三角形，E在BA的延长线上，点F在AD上，，．如图2，将绕点A顺时针旋转x度（）得到．(1)如图2，连接，，判断线段与线段之间的关系，并说明理由；(2)如图3，连接，若，求的最小值和最大值；(3)如图4，直线与直线交于点N，连接CN，若，求CN的长．【答案】(1)且(2)的最小值为最大值为(3)【分析】（1）证明△可得再由三角形内角和定理可得；（2）根据点与圆的位置可判断出在最大值和最小值；（3）根据勾股定理可得出，由五点在同一个圆上可证明△，可求出再证明△，可求出从而可得出结论．【详解】(1)∵四边形是正方形，∴∵△是等腰直角三角形，∴∴∠又∠∴∠在△和△中，∴△∴延长交于交于点如图，∵∠∠∴∠,∴综上，线段与线段之间的关系为且(2)根据题意知，点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，当在上时，的值最小，在的延长线上时，的值最大，∵∴又∴的最小值为最大值为(3)由（1）知，连接如图，在中，∴∵，∴在中，，∴∴（负值舍去）∴∵∠∴五点在同一个圆上，如图，设与交于点，∴∠又∠，∴△∴∴∴∴连接则∠∴△∴∴∴2．（2022·陕西延安·统考二模）点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB=3，如图1，将正方形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．思考探索(1)如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B′落在MN上，折痕为EC．①点B'在以点E为圆心，的长为半径的圆上；②B'M=______；拓展延伸(2)当AB=3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方形ABCD内部或边上，连接AB'．①△ABB'面积的最大值为______；②点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．【答案】(1)①BE；②(2)①3；②B'C+2PQ的最小值为．【分析】（1）①由折叠的性质知，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，②由折叠的性质得出BE=BE′，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，进而求解；（2）①△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，故当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，进而求解；②证明PQ是△AEB′的中位线，故E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，即可求解．【详解】（1）解：由折叠的性质知，BE=B′E，BC=B′C，MA=MB=NC=ND=AB=，∠B=∠EB′C，①由题意得，点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上；②MB′=MN-NB′=MN-；故答案为：①BE；②；（2）解：①∵AB=3AE=3，∴AE=1，BE=2，∵点B'在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，如图1，∴△ABB'面积的最大时，只要AB边上的高最大即可，∴当B′E⊥AB时，△ABB'面积的最大，∴△ABB'面积=×AB×B′E=×3×2=3，故答案为：3；②∵∠AQP=∠AB'E，∴PQ∥B′E，∵P是AE的中点，∴PQ是△AEB′的中位线，如图2，∴PQ=B′E，即B'C+2PQ=B′C+B′E，∴E、B′、C三点共线时，B'C+2PQ取得最小值为CE，则CE=，即B'C+2PQ的最小值为．3．（2022·河南南阳·统考二模）如图①②，和均为直角三角形，，，，点C在边EF的延长线上，，射线EM与AD交于点M，（）．(1)如图①，当点B落在射线EF上时，EM与BA的延长线相交于点G，则______．(2)如图②，把绕点C逆时针旋转度（），的值是否保持不变？请仅就图②给出你的证明．(3)若，在绕点C旋转过程中，直接写出线段AD的最大值和最小值．【答案】(1)(2)保持不变，见解析(3)线段AD的最大值为，最小值为【分析】（1）在Rt△DEF中，根据，，求出，在Rt△ABC中，根据，，求出，在Rt△GEB中，根据，，求出，算出AG，证明，得出即可；（2）过B点作，交射线EM于点G，连接AG，根据，，证明，得出，，证明，得，进而得出即可；（3）由题意得，点A在以C为圆心，以CA为半径的圆上移动，当点D、A、C三点共线时，是最小值，是最大值，然后求出DC、AC即可得出答案．【详解】（1）解：∵在Rt△DEF中，，，∴，∵在Rt△ABC中，，，∴，，∴，∵在Rt△GEB中，∴∴，，∴，∴．故答案为：．（2）保持不变．理由如下：过B点作，交射线EM于点G，连接AG，∵，∴，，∵在中，，∴，，∴，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴；（3）由题意得，点A在以C为圆心，以CA为半径的圆上移动，如图所示：∴当点D、A、C三点共线时，是最小值，是最大值，∵在中，，，∴，∵在Rt△ABC中，，，∴，∴线段AD的最大值为，最小值为．4．（2022·浙江金华·校联考模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，其中∠ABC＝60°，点E在对角线AC上，点F在射线CB上运动，连接EF，作∠FEG＝60°，交直线DC于点G．(1)在线段BC上取一点T，使CE=CT，求证：FT=CG；(2)图中AB＝7，AE＝1．①点F在线段BC上，求EFG周长的最大值和最小值；②记点F关于直线AB的轴对称点为点N．若点N不能落在∠EDC的内部（不含边界），求CF的取值范围．【答案】(1)见解析(2)最大值为，最小值为；【分析】（1）证明△EFT≌△EGC（AAS）即可；（2）①先证明点F在线段BC上时，是等边三角形，确定周长最小和周长最大时点F的位置，从而可求出FE的长，进一步可解决问题；②找出点N落在DC上的位置，求出CF的长，当N落在DE上，求出CF的长，从而确定CF的范围．（1）∵四边形是菱形，∴∵∠∴∠∴△是等边三角形，∴∠∵∴△是等边三角形，∴，∴∠∠∴∠∵∠，∴即∠∴∠在△和△中，，∴△∴FT=CG；（2）如图1，当点F与点B重合时，同（1）可得，∵∠，∴是等边三角形，同理可得，当点F在BC边上时，均是等边三角形，当时，FE最短，如图，∵，∴，又∠∴∠，∴∴∴等边三角形的周长最小值为：当点F与点B重合时，如图3，过点E作交BC于点H，则∴，在中，，∴此时，△的周长最大，最大值为3BE=；∴△的周长的最小值为，最大值为；②如图4，当N在CD上时，作CM⊥AB于M，点F′关于AB的对称点N在DC上，∴∴在Rt△BOF′中，∠OBF′=∠ABC=60°，∴∴CF′=14，如图5，当N在DE上时，∵N与F′关于AB对称，∴∠ABN=∠ABC=60°，∵∠BAC=60°，∴∠ABN=∠BAC=60°，∴BN∥AE，∴，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CME，△APD∽△BPM，∴∴∴MC=42，∴MB=MC-BC=42-7=35，∴∴∴BN=5，∴BF′=BN=5，∴CF′=2∴．5．（2022·河北唐山·统考二模）问题情境：在数学课上，老师给出了这样一道题：如图1，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，求BC的长．探究发现：（1）如图2，勤奋小组经过思考后发现：把△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，连接BD，BE，利用直角三角形的性质可求BC的长，其解法如下：过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H，则．△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，∴……请你根据勤奋小组的思路，完成求解过程．拓展延伸：（2）如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把△ABC绕点A顺时针旋转120°后得到△ADE，连接BD，CE交于点F，交AB于点G，请你判断四边形ADFC的形状并证明；（3）奇异小组的同学把图3中的△BGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接AF，发现AF的长度不断变化，直接写出AF的最大值和最小值．【答案】（1）过程见解析；BC=3-3；（2）四边形ADFC是菱形；证明见解析；（3）AF的最大值是6，最小值是12-6．【分析】（1）过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H，先证明△AEB是等边三角形，再证明△HBE是等腰直角三角形，并且求得∠BDH＝30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理即可求出EH的长和DH的长，进而求出DE的长，再由DE＝BC求得BC的长；（2）四边形ADFC是菱形，先求出∠ACF＝∠AEF＝30°，∠ADF＝∠ABF＝30°，∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝150°，则∠CFD＝360°−∠ACF−∠ADF−∠CAD＝150°，可证明FC∥AD，FD∥AC，则四边形ADFC是平行四边形，而AD＝AC，即可证明四边形ADFC是菱形；（3）作FK⊥AB于点K，连接AF，先证明∠KAF＝∠KFA＝45°，则AK＝FK，由∠FBK＝30°得BF＝2FK，根据勾股定理求得BK＝FK，然后再由FK＋FK＝6，求出FK的长，即可求出BF的长，再根据两点之间线段最短求出AF的最大值和最小值即可．【详解】解：（1）如图2，过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H，则BC＝DE＝DH-HE．∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，∴∠CAE＝∠BAD＝90°，∠DAE＝∠BAC＝30°，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，∴∠BAE＝∠CAE-∠BAC＝60°，AD＝AB＝AE＝6，∴△AEB是等边三角形．∴BE＝AB＝6，∠AEB＝∠ABE＝60°，∴∠C＝∠ABC＝＝75°，∠AED＝∠ADE＝＝75°，∴∠HBE＝∠HEB＝180°-60°-75°＝45°，∴HE＝HB，∠H＝90°，∵∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠BDH＝∠ADE-∠ADB＝30°，∵BD＝＝＝6，∴HE＝HB＝BD＝3，DH＝＝＝3，∴BC＝DE＝DH-HE＝3-3，即BC的长为3-3．（2）四边形ADFC是菱形．证明：∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°（如图3），∴∠CAE＝∠BAD＝120°，∠DAE＝∠BAC＝30°，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，∴AE＝AC＝AB＝AD，∴∠ACF＝AEF＝＝30°，∠ADF＝∠ABF＝＝30°，∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝150°，∴∠CFD＝360°-∠ACF-∠ADF-∠CAD＝150°，∴∠ACF＋∠CAD＝180°，∠ACE＋∠CFD＝180°，∴FC∥AD，FD∥AC，∴四边形ADFC是平行四边形，∵AD＝AC，∴四边形ADFC是菱形．（3）解：如图3，作FK⊥AB于点K，连接AF，∵四边形ADFC是菱形，∴CF＝DF，∵∠BCF＝∠EDF＝75°−30°＝45°，BC＝DE，∴△BCF≌△EDF（SAS），∴BF＝EF，∵AB＝AE＝6，AF＝AF，∴△BAF≌△EAF（SSS），∵∠BAE＝120°−30°＝90°，∴∠BAF＝∠EAF＝45°，∵∠AKF＝∠BKF＝90°，∴∠KAF＝∠KFA＝45°，∴AK＝FK，∵∠FBK＝30°，∴BF＝2FK，∵BK＝，∵AK＋BK＝AB＝6，∴，∴，∴，∵，，，∴，当点F在线段AB的延长线上，如图4，则AF＝AB＋BF＝，此时AF的值最大，等于；当点F在线段AB上，如图5，则AF＝AB−BF＝，此时AF的值最小，等于．综上所述，AF的最大值是，AF的最小值是．6．（2022·贵州遵义·统考一模）如图1，将等腰直角三角形AEF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，已知正方形的边长为，．(1)如图2，连接DE，BF，在旋转过程中，线段BF与DE的数量关系是______，位置关系是______．(2)如图3，连接CF，在旋转过程中，求CF的最大值和最小值；(3)如图4，延长BF交DE于点G，连接CG，若，求GC的长．【答案】(1)BF=DE，BF⊥DE；(2)CF的最大值为，最小值为(3)【分析】（1）延长BF交AD于点H，交DE于点G，由四边形ABCD是正方形得AB=AD，∠BAD=90°，而AF=AE，∠EAF=90°，所以∠BAF=∠DAE=90°-∠DAF，即可证明△BAF≌△DAE，得BF=DE，∠ABF=∠ADE，则∠ADE+∠GHD=∠ABF+∠AHB=90°，即可证明BF⊥DE；（2）连接AC，因为正方形的边长为，，根据勾股定理求出AC的长，再根据“两点之间线段最短”得AC-AF≤CF≤AC+AF，可知当CF=AC-AF时，CF的值最小，当CF=AC+AF时，CF的值最大，求出CF的最大值和最小值即可；（3）连接BD，作DI⊥CG于点I，则∠DIG=∠DIC=90°，由正方形ABCD的边长为，DG：CB=1：3得AB=CB=CD，根据勾股定理求得BG，取BD的中点O，连接OG、OC，以点O为圆心、以OG长为半径作圆，则点B、C、D、G都在⊙O上，可得∠CGD=∠CBD=45°，∠GCD=∠GBD，可求得GI=DI=DG•sin∠CGD，再根据tan∠GCD=tan∠GBD求出CI的长，即可求出CG的长．【详解】（1）如图2，延长BF交AD于点H，交DE于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴AF=AE，∠EAF=90°，∴∠BAF=∠DAE=90°-∠DAF，∴△BAF≌△DAE（SAS），∴BF=DE，∠ABF=∠ADE，∵∠AHB=∠GHD，∴∠ADE+∠GHD=∠ABF+∠AHB=90°，∴∠DGH=90°，∴BF⊥DE，故答案为：BF=DE，BF⊥DE．（2）如图3，连接AC，∵正方形的边长为，∴AB=BC=,，AF=AE=∵∠ABC=90°，∴AC=∴AC-AF=,AC+AF=∵AC-AF≤CF≤AC+AF，∴当CF的最大值为，最小值为；（3）如图4，连接BD，作DI⊥CG于点I，则∠DIG=∠DIC=90°，∵正方形ABCD的边长为，DG：CB=1：3，∴AB=CB=CD=，,∵∠BCD=90°，∴BD=,，∠CBD=∠CDB=45°，由（1）得BF⊥DE，∴∠BGD=90°，∴BG=,取BD的中点