2024北京重点校初二（下）期中数学汇编：特殊的平行四边形2（解答题）

2024北京重点校初二（下）期中数学汇编

特殊的平行四边形（解答题）2

一、解答题

1.（2024北京丰台初二下期中）如图，已知口ABED,延长AD到C,使得AD=OC,若AB=BC,连接

BC、CE,BC交DE于点F.

（1）求证：四边形8ECD是矩形；

（2）连接AE,若4AC=6O。，AB=4,求AE的长.

2.（2024北京育才学校初二下期中）如图，正方形ABCD,点E为对角线3D上任意一点（不与3,。重

合），连接AE,过点石作石尸,隹，交线段BC于点F,以E尸为邻边作矩形连接8G.

⑴求证：AE=EF；

（2）猜想线段A8,BE,8尸之间的数量关系（用等式表示），并证明.

（3）若正方形A3CD的边长为2,设四边形AG8E的周长为加，直接写出优的取值范围.

3.（2024北京丰台初二下期中）在平面直角坐标系x0v中，对于点A和线段MN,如果点A,O,M,N

按逆时针方向排列构成菱形AOMN,且NAQW=a,则称线段MN是点A的相关线段”.例如，图1

中线段MN是点A的“30。一相关线段如图2,已知点8的坐标是（0,2）.

杉

5-

4-

图1图2

(1)在图2中画出点B的“30。一相关线段“MN,并直接写出点M和点N的坐标；

⑵若点8的“a-相关线段”经过点(有,1),求a的值.

4.(2024北京H^一学校初二下期中)如图所示，四边形ABCD为正方形，F、G分别为边AD、3C上的

点，BE1.FG于G.

备用图

(1)求证：ZABE^ZGFD；

(2)在E尸上截取皿=BE,连接。为的中点，连接AO、AE.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段4。和AE的数量关系，并证明.

5.(2024北京海淀初二下期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC和5。交于。.过8做3H垂直AD于

H,并延长至使得BM=BC,连接回.

(1)依题意补全图形；

(2)设/。84=口,求/。4”的大小；

(3)用等式表示线段AM,AO和30之间的数量关系，并证明.

6.(2024北京海淀初二下期中)如图，正方形ABCD中，G是AD边上的动点，AELCG交CG延长线于

点E,DFLDE交CG于点、F,连接

(1)若止=2,求E尸的长；

(2)若点G是仞的中点，猜想所、CF、D尸的数量关系，并说明理由.

7.(2024北京丰台初二下期中)如图，在VA8C中，AB=BC,。为AC中点.过点。作AB的平行线,

过点8作AC的平行线，两平行线相交于点E,BC交DE于点F,连接CE.求证：

c

(1)四边形3ECD是矩形；

(2)取AB的中点M,连接ZW,若。W=2,AD=3,直接写出矩形3ECD的面积.

8.(2024北京西城初二下期中)如图1,在正方形ABC。中，点E是直线A3上一点，点F是直线BD上一

备用图备用图

(1)如图，点E在线段B4的延长线上，点F在线段6。的延长线上，

①记/DE4=a,求/BEG的度数(用含a的式子表示)；

②用等式表示班，BD,8G之间的数量关系，并证明；

(2)当点E在射线A3上，点尸在直线上时，直接用等式表示BE,BD,BG之间的数量关系.

9.(2024北京第十四中学初二下期中)如图，在VABC中，BC=2AB,D,E分别为BC,AC的中点，过

点、A作AF〃BC交DE的延长线于点F.

(1)求证：四边形板)尸是菱形；

(2)连接BE,若AB=2,NABC=60。，则BE的长为.

10.(2024北京育才学校初二下期中)如图，Rt^ABC中，/ABC=90。，点D,E分别是AC,A3的中

点，CF//DB,BF//DC.

(1)求证：四边形OBEC是菱形;

⑵若AD=3,DE=1,求四边形。3FC的面积.

11.（2024北京育才学校初二下期中）如图，折叠矩形ABCD的一边3C,使点3落在AD边上的点尸处,

折痕为CE,若AZ>=5,CD=3,求AE的长.

12.（2024北京朝阳初二下期中）在平面直角坐标系xOy中，如果P,。为某个菱形相邻的两个顶点，且

该菱形的两条对角线分别与无轴，y轴平行，那么称该菱形为点P,。的“相关菱形”.图1为点P,。的

“相关菱形”的一个示意图.已知点A的坐标为（1,4）,点B的坐标为0,0）,

4-

图1图2

（1）如果6=3,那么R（T,0）,S（5,4）,T（6,4）中能够成为点A,B的“相关菱形”顶点的是二

（2）如果点A,B的“相关菱形”为正方形，求点2的坐标.

（3）如图2,在矩形OEFG中，F（3,2）.点/的坐标为（租,3）,如果在矩形OEFG上存在一点N,使得点

M,N的“相关菱形”为正方形，直接写出机的取值范围.

13.（2024北京H^一学校初二下期中）如图，在四边形ABC。中，AB//DC,AB=AD,对角线AC,

3D交于点。，AC平分过点C作交43的延长线于点E.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB=«,BD=2,求BE的长.

14.（2024北京第十四中学初二下期中）如图1,把一个含45。角的直角三角板ECT和一个正方形ABCD

摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C始终重合，连接AF,取AF的中点E尸的中点

N,连接MD、MN.

⑴若直角三角板Eb和正方形A5CD如图1摆放，点£、尸分别在正方形的边CB、CD上，判断MD与

MN之间的数量关系；

(2)若直角三角板Eb和正方形A8CD如图2摆放，点、E、尸分别在3C、DC的延长线上，其他条件不变，

则(1)中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由

(3)若4?=3,CE=2,连接DV,在摆放的过程中，AOMN的面积存在最大值5和最小值邑，请直接写出

，和邑的值.

15.(2024北京人大附中初二下期中)在VABC中，ZABC=90°,AB=BC,点。为射线BC上一动点

(不与点3、C重合)，点8关于直线AD的对称点为E,作射线DE,过点C作的平行线，与射线OE

(1)如图1,当点E恰好在线段AC上时，用等式表示。尸与2D的数量关系，并证明；

(2)如图2,当点。在线段的延长线上时，

①依题意补全图形；

②用等式表示4DB和NAFE的数量关系，并证明.

16.(2024北京人大附中初二下期中)在RtaABC中，NACB=90。，点。是边A3上的一个动点，连接

CD.作AE〃OC,CE//AB,连接。E.

图1图2

(D如图1,当CD_LA3时，求证：AC=DE-

(2)当四边形ADCE是菱形时，

①在图2中画出四边形ADCE,并回答：点。的位置为

②若46=10,DE=8,则四边形ADCE的面积为

17.（2024北京房山初二下期中）已知点4（-2,0）,B（0,-4）,C（2,0）,D（0,4）.

（1）在平面直角坐标系xOy中作出点A,B,C,D；

（2）顺次连接点A,B,C,。所得的图形是哪种特殊的四边形？并说明理由.

18.（2024北京通州初二下期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,AD交于点0,过点A作

于点E,延长3C到点F,使CF=8E,连接£（尸.

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）连接OE,若AB=10,BE=6,求OE的长度.

19.（2024北京通州初二下期中）如图，在矩形ABCD的边AD上取一点E,使BE=BC.过点C作

CFA.BE,垂足为点尸.如果AB=3,BC=5.求所的长.

20.（2024北京通州初二下期中）如图，在四边形ABCD中.AB//CD,AB=CD,对角线AC,BD交于

点0,AC平分/A4D.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）点P是边BC上的动点（不与8,C重合），过点P作PFYBD,垂足分别为E,F,连接

EF、OP.求证：OP=EF.

21.（2024北京通州初二下期中）如图，在正方形ABC。中，点E是边3c上的一动点（不与点5、C重

合），点E关于直线OC的对称点为尸，连接C/,过点歹作/GLDE交小于点G,交对角线8D于点

H.

AD

(1)依据题意补全图形；

(2)如果NCDE=a,求NDHF的大小(用含a的式子表示)；

(3)用等式表示线段3〃与E尸之间的数量关系，并证明.

22.(2024北京西城初二下期中)在查阅勾股定理证明方法的过程中，小明看到一种利用“等积变形一同底

等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学.

(1)根据信息将以下小明的证明思路补充完整：

①如图1,在VABC中，ZACB=90°,四边形ADEC,四边形BCFG,四边形ABPQ都是正方形.延长

QA交OE于点过点C作CN〃3交OE的延长线于点N,可得四边形AMNC的形状是；

②在图1中利用“等积变形”可得/方彩皿。=;

③如图2,将图1中的四边形AMNC沿直线"Q向下平移M4的长度，得到四边形即四边形

QACC.

④设CC交AB于点T,延长CC'交QP于点”，在图2中再次利用“等积变形”可得S则…=,

贝！J有S正方物SEC=-

⑤同理可证S正方形BCFG=S正方形mp,因此得到S正方*4OEC+S正方形BBC=S正方形钻股,进而证明了勾股定理.

(2)小芳阅读完小明的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小明对小芳的说明补充完整：图

1中A,则有=AB=AQ,由于平行四边形的对边相等，从而四边形

AWC沿直线向下平移的长度，得到四边形QACC'.

23.(2024北京东城初二下期中)如图，正方形ABCD中，点E是对角线3。上任意一点，连接CE,以点

E为垂足，过点E作铲，加，交A3于点P,连接。尸，取0P的中点。，连接EO.

DC

（1）依题意补全图形；

（2）若NADP=a,求ZPOE的大小（用含a的式子表示）；

⑶用等式表示线段CE与。P之间的数量关系，并证明.

24.（2024北京东城初二下期中）如图，RtZXABC中，ZABC=90°.

B°-------------------

求作：矩形

作法：

①作线段AC的垂直平分线MN交AC于点。；

②连接8。并延长，在延长线上截取8=03；

③连接ZMDC.

则四边形ABC。为所求作的矩形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全尺规作图（保留作图痕迹）；

5°---------------------

（2）完成下面的证明.

证明：•.•"N是线段AC的垂直平分线，

:.OA^OC,

•;OD=OB,

二四边形ABCD为平行四边形（）（填推理依据）.

/ABC=90。，

二平行四边形ABCD为矩形（）（填推理依据）.

25.（2024北京人大附中初二下期中）在平面直角坐标系xQy中，对于不在坐标轴上的点,给出如

下定义：取点4（0,"）与点3（饵0）,以AB为直角边作等腰Rt^ABC,使/R4C=90。，且点C与点尸在同

一象限内，则称点C为点P的“对应点”，VABC为点P的“对应三角形

⑴已知点P的“对应点”为点C,

①若点P的坐标为（3/），则点C的坐标为」

②若点C的坐标为（-2,3）,则点P的坐标为「

（2）已知点P（m,n）,过点尸作x轴的垂线I,当直线/恰好将点P的“对应三角形”的面积分成两个相等的部

分时，求”满足的数量关系；

（3）已知点尸的"），且满足疗+7?=左（左＞o）为定值，点c为点p的“对应点”，若。C的最大值为2,直接

写出发的值.

26.（2024北京交大附中初二下期中）如图，菱形ABCD的对角线AC,3。相交于点0,过5点作

BE//AC,B.BE=-AC,连结EC,ED.

2

⑴求证：四边形8EC。是矩形；

⑵若AC=2,ZABC=60°,求小的长.

27.（2024北京海淀实验中学初二下期中）如图，在VA8C中，AB=AC,。是BC的中点，E是AE）的中

点，过点A作A/〃8C交CE的延长线于点尺连接求证：四边形A/汨尸是矩形.

28.（2024北京大峪中学初二下期中）如图，平行四边形"CD中，AC1BC,过点。作DE||AC交3C

的延长线于点E,点M为力B的中点，连接CM.

（1）求证：四边形ADEC是矩形；

（2）若。0=6.5,且AC=12,求四边形的面积.

29.（2024北京大峪中学初二下期中）（1）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直

角.如图1,在正方形ABCD中，点E,尸分别在边8上，连接AE,AP,EP,并延长C8到点G,使

BG=DF,连接AG.若N£4F=45。，则之间的数量关系为；

(2)【类比探究】如图2,当点E在线段BC的延长线上，且㈤F=45。时，试探究32跖,止之间的数

量关系，并说明理由；

(3)【拓展应用】如图3,在Rt^ABC中，AB=AC,D,E在BC上，ND4E=45。，若VABC的面积为

16,BDCE=4,请直接写出V4组的面积.

30.(2024北京第一•■b—中学初二下期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，AE//BD,AE与CB的延

长线交于点E,DE交AB于F.

(2)连接CP,若NFDA=NFCB,判断四边形ABCD的形状并说明理由.

31.(2024北京H^一实验中学初二下期中)如图，正方形ABCD中，点E,尸分别在BC,CD上,

BE=CF,AE,BF交于点G；

(1)ZAGF=.

(2)在线段AG上截取MG=3G,连接@0,/AGF的角平分线交ZW于点N.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段与NQ的数量关系，并证明.

32.(2024北京中关村中学初二下期中)如图，在VABC中，BA=BC,9平分/ABC交AC于点。，点

E在线段上，点尸在RD的延长线上，且=D尸，连接AE,CE,AF,CF.求证：四边形AECF

是菱形；

参考答案

1.(1)答案见解析

(2)2A/7

【分析】

(1)先求出四边形3ECD是平行四边形，根据等腰三角形性质求出，&)C=90。，根据矩形的判定得出

即可；

(2)根据矩形的性质求出"CE=90。，根据等边三角形的性质和判定求出AC,求出CE,根据勾股

定理求出AE即可.

【详解】(1)

证明：•.・四边形ABED是平行四边形，

:.BE//AD,BE=AD,

-.-AD=DC,

:.BE//DC,BE=DC,

，四边形BECD是平行四边形，

在VABC中，-：AB^BC,AD^DC,

:.BD±AC,

:.ZBDC^90°,

四边形BECD是矩形；

(2)

解：••・四边形BECD是矩形,

QN&4c=60°,AB=BC,

.•△ABC是等边三角形，

.'.ZBCD=ZAfiC=60°,AC=3C=AB=4,

•：AD=CD,

NCBD=-ZABC=-x60°=30°,

22

:.CD^-AC^2,

2

由勾股定理得："二1r=26，

CE=BD=273,AC=AB=4,

由勾股定理得：4E=JAC?+CE?=也2+(2回=2币•

【点睛】

本题考查了矩形的判定，勾股定理，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三

角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键.

2.(1)见解析

Q)AB+BF=@BE，证明见解析

⑶4拒4加＜4+2夜

【分析】(1)过点E作于点尸，交8c于点。，证明AAE/运百Q,即可得出结论；

(2)连接CE,过点E作EHJ.BC于点H,由得至IJAADE丝ACDEGAS),AE=CE,结合A£=EF，

EH13C,根据等腰三角形三线合一得到切=』/C,BH=-(BC+BF),由BH=^BE,通过等量代

2272

换，即可求解；

(3)由正方形的判定与性质可得ND4£=NB4G,再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可求解.

【详解】(1)证明：如图，过点片作于点尸，交5C于点。则NAPE=ND尸E=90。，

FQC

•・•四边形ABC。是正方形,

：.AD//BC,

：.NEQF=180。—ZAPE=90°,

ZAPE=ZEQF；

ZPAB=ZABQ=90°,

・・・四边形A8QP是矩形,

AP=BQ,

VZC=90°,BC=DC,

・,./CBD=/CDB=45。，

：.ZQEB=ZCBD,

.・・BQ=EQ,

・,.AP=EQ.

'：EF±AE,

ZAEF=90°,

AAEP=90°-NFEQ=ZEFQ,

AAEP^AEFQ（AAS）,

，AE=EF；

(2)解：连接CE,过点石作四人3c于点H,

四边形ABC。是正方形,点E在BD上,

:.AD=DC,ZADE=ZCDE=ZDBC=45°,DE=DE,

：.AADE沿ACDE（SAS）,

AE=CE,

•：AE=EF，EHIBC,

：.EF=EC,

：.FH=-FC,

2

BH=BF+FH=BF+gFC=BF+g（BC—BF）=g（BC+BF）,

VZDBC=45°,EHIBC,

:.BH=—BE,

2

=+即：①BE=BC+BF,

•・•BC=AB,

AB+BF=>/2BE，

（3）解：由（1）得，AE=EF,

•.•四边形AEFG是矩形，

，四边形但'G是正方形，

AG^AE,ZG4E=90°,

••・四边形ABCD是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=ZGAE=9O°,

BD=42AD=0x2=2应，

二ABAD-ABAE=Z.GAE-ZBAE,

:.ZJDAE=ZBAG,

AD=AB

在和△BAG中，\ZDAE=ZBAG,

AE=AG

/.△ZME^ABAG(SAS),

:.DE=BG,

m=AG+AE+BG+BE

=AE+AE+DE+BE

=2AE+BD

=2AE+2①,

•••”?随HE的增大而增大，

当AELa)时，AE最小，机的值最小，

此时4£=且4。)=受'2=夜，

22

"1的最小值为2AE+2点=2应+2衣=4加,

当点E与点8或点。重合时，AE最大，山的值最大，

此时AF=2,机的最大值为2AE+2啦=2x2+2应=4+2a，

:点E不与8、。重合，

40<m<4+2夜，

故答案为：4A/2</M<4+2A/2.

【点睛】此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的

判定与性质、解题的关键是：正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形.

3.(1)图见解析，点M的坐标是(1,8),点N的坐标是(1,如+2).

(2)60。或120。.

【分析】(1)根据“a-相关线段”的定义求解；

(2)由题意点M必在直线了=石上，记轴于则可得MH=(OM?-OH?=］，

ZMOH=30°,然后分点M在x轴上方和点M在x轴下方两种情况分别求出a的值即可；

【详解】(1)如图，即为所求.

过点M作M4_Lx轴于点A,

;四边形为菱形，

/.BO//MN,OB=MO=MN=2,

丁点B在y轴上，

3O_Lx轴，

，MN_Lx轴，即N、M、A三点共线，

•••NBOM=30°,

：.ZMOA=90°-30°=60°,

在RtzXMOA中，AO=-OM=1,MA=BMO=6,

22

...点M的坐标是,点N的坐标是(1,0+2).

(2)解：•.•点2的“a-相关线段”ACV经过点(点1),

点M必在直线尤=石上.

记直线x=6与x轴交于点H(A/3,0),

,/OM=OB=2,OH=6

MH=^OM--OH-=1-^MOH=30°.

分两种情况：

a)如图，当点M在x轴上方时，点M恰为(8,1),符合题意，止匕时/80"=60。,。=60。；

■।।

r—「I—16)如图，当点M在x轴下方时，点M为(6,-1),由MN=2知点N为

>

Ox

120。,a=120。.

综上，a的值为60。或120。.

【点睛】本题考查了菱形的性质、坐标与图形、勾股定理、含30。直角三角形的性质等知识，数形结合和

分类讨论是解题的关键.

4.⑴见解析

(2)①图见解析②AE=V2A0，证明见解析

【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的

关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线.

(1)根据正方形的性质及同角的余角相等，即可证明结论；

(2)①根据题意补全图形即可；②连接并延长至点使=证明AEO"/AMOD,得到

EH=MD,ZDMO=ZHEO,再证明AAB-440欣，推出为等腰直角三角形，即可得出结论.

【详解】(1)证明：••,正方形ABCD,

ZABD^90°,AD//BC,

：.ZBGE=NGFD/GBE+ZABE=90°,

,?BELFG,

NGBE+NBGE=90。,

?.ZBGE=ZABE,

ZABE=ZGFD；

(2)①根据题意，补全图形如下：

②AE=叵AO，证明如下：

连接EO并延长至点M,使OE=OM,

DO=OH,

又,:/EOH=ZMOD,

：.&EOH%MOD,

：.EH=MD,ZDMO=ZHEO,

・•・DM//EF,

：・ZADM=/GFD,

由（1）知：ZABE=ZGFD,

:.ZADM=ZABE,

*.*EH=BE,

：.DM=BE,

・・•正方形ABCQ,

/.AB=AD,ZBAD=90°,

△ABEWAADM,

AE=AM,ADAM=ZBAE,

：.ZDAM^ZEAD=ZBAE+ZEAD=ZBAD=90°,即：NE4M=90。，

2X3f为等腰直角三角形，

,/OE=OM,

：.AO±EM,AO^-ME^OE,

2

■■AE=yjAO2+OE2=42AO-

5.(1)见详解

(2)45°

(3)OA=—AM+OB

2

【分析】该题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题

的关键是正确作出辅助线和图象.

(1)根据题意画图即可；

(2)根据=BH±AD,和四边形ABC。是菱形，得出NABD=90。一/ZBAO=e,

ZABM^90°-2i,再根据=得出NBA4=45。+0,即可得出NQ4M=—NBAO=45。.

(3)过M作MNLAO,结合(2)的结论得AN=MN,根据勾股定理得AN=也AM,证明

2

NABNAMBN,得出乙的=45。-1,从而得出？ONB45?,证明ON=3O,即可解答；

【详解】(1)补全图形如下：

（2）,:/DBH=a,BHJ.AD,

：.4印）=90°,

•四边形ABC。是菱形，

.AD=AB=BC,ZDAO=ZBAO,AC1BD,

1180°-2(90°-er)

..ZADB=ZABD=90°-a,ZBAO=ZDAO=-/BAD=------------------L=a,

22

JZABM=90°-a-a=9Q0-2af

•；BM=BC,

AB二BM,

…“彳180°-ZABM

,/BAM=ZBMA=----------------=45°+a,

2

JZOAM=ZBAM-ZBAO=45°-ba-a=45°.

(3)OA=-AM+OB.

2

证明：过M作

JZOAM=45°=ZAMN,

：.AN=MN,

在RhAW中，AM2=AN2+MN2=2AN2,

・•・AN=—AM,

2

•：AN=MN,AB=BM,BN=BN,

：.^ABN^MBN(SSS),

/ABN=/MBN=-ZABM=45。-。，

2

JAONB=AOAB+ZABN=a+^°-a=^°,

：.ZONB=ZOBN,

：.ON=BO,

OA=AN+ON=—AM+OB.

2

6.(1)2A/2

(2)BF=CF+—DF,理由见解析

2

【分析】（1）由题意得NAQE=NCD尸，由/皿）+4收；+/4（近=180。=/尸CD+NCDG+NCGD,

ZAGE=/CGD,可得NEAD=NFCD,证明△ADEw/kCDF(ASA)，则。产=。石=2,由勾股定理得，

EF=^DF2+DE2，计算求解即可；

(2)如图，作DHLCE于H,证明△OGH^^AG—AAS),则=由△ZDE三4CDF(ASA)，可得

AE=CF,则OH=CV,证明△CDH2―CWSAS),则CB=B尸，由ADEF是等腰直角三角形，

DHYEF,可得DH=PH,由勾股定理得，DF=^FH，贝!J尸”=交。尸，

2

BF=CH=CF+FH=CF+—DF,然后作答即可.

2

【详解】(1)解：:正方形ABC。，AE1CG,

：.AD=CD,ZADC=9Q°,ZAEG=90°f

「ZADF+ZADE=90。=ZADF+NCDF,

：.ZADE=ZCDFf

,?NE4D+ZAEG+ZAGE=1800=N尸CD+NCDG+NCG。，ZAGE=/CGD,

：・/EAD=/FCD,

■:/EAD=/FCD,AD=CD,ZADE=/CDF,

***AADE=ACDF(ASA)，

:.DF=DE=2,

由勾股定理得，EF=y/DF2+DE2=2V2，

・・・£F的长为20;

(2)解：BF=CF+—DF,理由如下；

2

如图，作DHLCE于H,

：.ZDHG=9Q0=ZAEG,

•；/DHG=ZAEG,ZDGH=ZAGE,DG=AG,

：.ADGH/AAGE(AAS),

DH=AE,

V△ADE=△CDF(ASA),

:,AE=CF,

：.DH=CF,

■:ZCDH+ZDCH=90°=ABCF+ADCH,

ZCDH=ZBCF,

,:CD=BC,/CDH=/BCF,DH=CF,

ACDH^ABCF(SAS),

CH=BF,

：4EF是等腰直角三角形，DH±EF,

：.DH=FH,

由勾股定理得,DF=YJDH2+FH2=y/2FH,

/.FH^—DF,

2

/•BF=CH^CF+FH^CF+—DF,

2

...BF^CF+—DF.

2

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三

角形内角和定理等知识.熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判

定与性质，三角形内角和定理是解题的关键.

7.⑴见解析

(2)377

【分析】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，证明四边形3EC。是矩形

是解题的关键.

(1)先证明四边形ABED是平行四边形，则=AB=DE,由AD=CD,B£»J_AC得到BE=8,

证明四边形BECD是平行四边形；又由2或心=90。即可得到结论；

(2)根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出CZ)=AD=3,BD=«,即可求出矩形的面积.

【详解】(1)证明：•..过点。作的平行线，过点8作AC的平行线，两平行线相交于点E,

.•.四边形极汨是平行四边形；

/.AD=BE,AB=DE,

VAB=BC,。为AC中点.

AD=CD,BD±AC,

BE=CD,

・.・BE||CD,

四边形BECD是平行四边形；

NBDC=90。

二四边形3EC。是矩形；

(2)如图，

D.FE

MB

•.•DM=2,AABZ)是直角三角形，的中点为M,

；•AB=2DM=4，

VAD=3,。为AC中点.

•*-CD=AD=3,BD=>jAB2-AD2=V42-32=A/7，

矩形BECD的面积为BDCD=3A/7.

8.(l)®ZBEG=90°-a；②®BE=BD+BG;

(2)BG=s/2BE+BD.

【分析】(1)利用正方形和等腰三角形的性质，进行角的等量代换求解即可得到①；过尸作用于点

H,利用正方形的性质证出△曲是等腰直角三角形，得至"FH=RB,通过勾股定理建立等量关系可得到

HB=aBG和DA=^BD,接着判定出即可得到Ea=QA=^BD,代入

222

3E=团+即可得到关系式；

(2)根据题意作出图象后，过E作尸于点M,利用等腰三角形的性质可以得到ZW=MF,利用勾

股定理求出BG^BF^BM+MF^BM+DM=BM+BD+BM^2BM+BD,代入求

2

解即可.

【详解】(1)①解：：ABC。是正方形，3D为对角线，

NADB=ZCDB=/DBA=NDBC=45°,

ZFDE=ZDEA+ZADB=a+45。，

*/ED=EF,

：.ZEFD=ZFDE=a+45°,

:点G与尸关于直线AB对称，

AEFB芬EGB,

二NG=NEFD=a+45°,NEBG=/DBA=45。,

：.ZBEG=180°—ZEBG—NG=180°—45°-a—45°=90°—a；

②解：过下作于点H,如图所示：

F

DC

E\HA/B

G

,/ABCD是正方形，

ZDAB=90°ZFHB,

FH//DA,

:.NHFB=/ADB=45。,

△FHB是等腰直角三角形，

FH=HB,

.•.在中，FH2+HB2=FB2,

2HB2=FB2,

；・HB^—FB^—BG,

22

.•.在RtUMB中，ZM2+AB2=BZ)2.

2DA2=BD1,

/.DA=—BD,

2

由①得AEFBZAEGB,

：.ZFEH=ZBEG=90°-a,

又：ZEDA=90°-ZDEA=90°-a,

•*.NFEH=NEDA,

，在AEHF和VADE中

ZFEH=ZEDA

<EF=ED,

ZFHE=ZDAE

:.AEHFqAADE(ASA),

/.EH=DA=—BD,

2

"：BE=EH+HB,

/•BE=—BD+—FB,

22

4IEB=DB+FB-,

(2)解：由题意作图，过E作上以_15尸于点M,如图所示:

VED=EF,EMA.BF,

DM=MF,

'：NEBM=NDBA=45。,

为等腰直角三角形，

:.BM=EM,

.,.在中，BM2+EM2=BE2,

•*-2BM2=BE2，

/•BM=®BE,

2

:点G与尸关于直线AB对称，

：.BG=BF=BM+MF=BM+DM=BM+BD+BM=2BM+BD,

，BG=IBM+BD=2x—BE+BD=y/2BE+BD.

2

【点睛】本题为四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判

定，轴对称图形，勾股定理等知识点，合理作出辅助线进行边的转化是解题的关键.

9.(1)见解析

Q)币

【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理及勾股定理等知

识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

(1)由三角形中位线定理可得上〃AB,DE=-AB,可证四边形ABD尸是平行四边形，然后由菱形的判

2

定即可得出结论；

(2)过点E作砒由四边形4©尸是菱形，可得筋=即=。9=2,AB〃所从而得出

/ED"=/4BC=60。，根据直角三角形性质得出DH==DE=g,然后由勾股定理得BE的长.

22

【详解】(1)证明：・・•点。、E分别是边BC、AC的中点,

,上是AABC的中位线，BC=2BD,

DE||AB,DE=—AB,

2

又

四边形MDF是平行四边形，

vBC=2AB,BC=2BD,

AB=BD.

■■■平行四边形ABD尸是菱形；

(2)解：如图，过点E作EH上BC,

AF

•••四边形ABDF是菱形,

/Hl

DH

；.AB=BD=DF=2,AB〃DF,

:"EDH=ZABC=6。。,

:./DEH=3。。，

由(1)^DE=-AB=1,

2

.-.DH=|DE=1,EH=y/DE2-DH2=^l2

:.BH=DB+DH=2+L=),

BE=\lBH2+EH2-5

2

故答案为："

10.⑴见解析

(2)S四边形DBFC=

【分析】考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理，熟练堂

握相关的定理与性质即可解题，难度中等.

(1)根据平行四边形的判定定理首先推知四边形“狙C为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半得到其邻边相等：CD=BD,得证；

(2)由三角形中位线定理和勾股定理求得边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解

【详解】(1)证明：尸〃BF//DC,

:.四边形DBFC是平行四边形.

•.•在Rt^ABC中，ZASC=90°,点。是AC的中点,

BD=CD=-AC.

2

，平行四边形O8R?是菱形.

(2)解：：£>,E分别是AC,A3的中点，

•*.OE是VABC的中位线.

；AD=3,DE=1,

AC=2AZ)=6,BC=2DE=2,

二AB=7AC2-BC2=762-22=4及•

:四边形OBFC是菱形，

•'S四边形DBFC=2SADBC=S4ABe=—AB-BC=-x4五x2=4A/2.

4

11.AE的长为］.

【分析】本题考查了折叠和勾股定理.根据折叠找到相等线段，再由勾股定理得出D尸的长，设他=x,

贝|3E=EF=3—x,在RtAE4产中勾股定理即可求出AE的长.

【详解】解：：四边形ABCD是矩形，

AAD=BC=5,CD=AB=3,ZA=ZD=90°.

•••沿CE折叠，

；.CF=CB=5,BE=EF,

.•.在Rt^CD产中，DF=A/CF2-CD2=752-32=4-

AFAD-DF=5-4=1,

设AE=x,贝ij8E=EF=3-x,

在Rt^E4R中，由Ag+AFZuE1尸2得：x2+l2=(3-x)2,

44

解得：x=-,即AE的长为

12.(1)7?,S

⑵(-3,0)或(5,0)

(3)-3<m<6

【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，正方形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思

想，进行求解，是解题的关键.

(1)观察图象可知：R、S能够成为点A,8的“相关菱形”顶点；

(2)如图2中，过点A作AH垂直无轴于X点.根据正方形的性质可知9=4,由此可求得点2的坐标

即可；

(3)过点M作龙轴，垂直为G,可得到AMGN为等腰直角三角形，然后分为点N与点E重合、点

N与点O两种情况求得m的最大值和最小值，从而可确定出m的范围.

【详解】(1)如图1中，观察图象可知：R、S能够成为点A,B的“相关菱形”顶点.

图1

故答案为：氏S；

(2)如图2中，过点A作AHr垂直无轴于X点.

V八

A

图2

;点A,B的“相关菱形”为正方形，

为等腰直角三角形.

VA(l,4),

AH=4,OH=1,

；•BH=AH=4.

6=-3或5.

.♦•B点的坐标为(-3,0)或(5,0).

(3)如下图所示：当点N与点E重合时，过点"作尤轴，垂直为G.

/.ANMG为等腰直角三角形，

EG=GM=3,

M(6,3).

如下图所示：当点N与点。重合时，过点M作灰ZGJLx轴，垂直为G.

:点M,N的“相关菱形”为正方形，

...△M0G为等腰直角三角形，

OG=GM=3,

M(-3,3).

.•.根的取值范围是：-3<m<6.

13.⑴见解析

eDr36

(2)BE=—^―

【分析】本题考查了平行线的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定

理是解题的关键.

Q)利用平行线和角的平分线，证明AO=CD,继而判断四边形ABCD是平行四边形，结合=得

证.

(2)由菱形的性质得OA=OC=；AC,BDA.AC,OB=OD^-BD=1,AB=CB=5由勾股定理可

22

得：OA=YJAB2-OB2=2>在RtABCE中，CE2=BC2-BE2,在RIAACE中，

CE2=AC2-AE2=AC2-(AB+BE)2,BPBC--BE2=AC2-(AB+BE)2,求解即可.

【详解】(1)证明：：A5〃DC,

二Z.OAB^ZDCA,

AC平分

ZOAB^ZDAC,

：.ZDCA=ZDAC,则AD=CD,

又•:AB=AD,

CD=AD=AB,

,/AB//CD,

/.四边形ABC。是平行四边形，

•/AB=AD,

四边形ABC。是菱形.

(2)解：•••四边形ABCD是菱形，

：.OA=OC=^AC,BD1AC,OB=OD=；BD=1,AB=CB=非,

由勾股定理可得：OA=\IAB2-OB2=2>

CE1AB,

在RtABCE中，CE2=BC2-BE1,

在Rt^ACE中，必=AC?-姐=AC?一(A3+㈣?,

：.BC2-BE2=AC2-(AB+BE)2,即：5-BE2=16-(75+BE)2,

解得：BE=—.

5

14.Q)MD=MN

⑵MD=MN

⑶S_11+6及$_11-6@

]—4，2—4

【分析】⑴连接AE,证明AME乌必£>尸，得=再根据直角三角形斜边上中线的性质和三角形

中位线定理可得答案；

(2)连接AE,由(1)同理可证明结论；

(3)连接AE,连接AE,AC,设AE交皿/于0,交CD于G,首先证明ADMN是等腰直角三角形，可

得%MV=：A尸?，再根据三角形三边关系知3夜-2WAR43后+2，从而解决问题.

O

【详解】(1)MD=MN,

证明如下：

•••四边形ABCD是正方形，

:.AB=BC=CD=DA,NB=NADF=90°,

・；CE=CF,

:.BE=DF,

/.△ABE^AADF(SAS),

:.AF=AE,

••・MN为/\AEF的中位线，

.\MD=-AF,

2

:.MD=MN；

(2)仍然成立，证明如下:

如图，连接AE,

四边形A5c。是正方形,

AB=BC=CD=DA,ZABE=ZADF=90°

•：CE=CF

:.BC+CE=DC+CF,

即BE=DF,

/.△ABE^AADF(SAS)

:.AF=AE,

•・・加,"为4尸,跖的中点，

:.AM=MF,FN=EN

:.MD=-AF,MN=-AE

22

:,MD=MN；

(3)如图3,连接AE,AC,

设A七交"f于。，交CO于G,

\DM=MF=AM

ZMDF=AMFD=ZAEB,

・・・ZDGO=NCGE,ZODG=ZCEG,

:.ZDOG=ZECG=90°,

­.­MN//AE,

:./DOG=/DMN=9。。,

.\MN.LDM,

・・•四边形ABC。是正方形，AB=3,

:.AC7AB2+BC2=3万

•;MN=DM=AM,

・•.SQMN二:MMOM=；AAf2尸］=；A产

ZZ