2024年北京某中学高一（上）期中数学试卷及答案

2024北京五十五中高一（上）期中

数学

本试卷共4页，共150分，考试时长100分钟

第一部分（选择题共40分）

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项，把答案填在答题纸上）

1.已知全集°={123,4,集合A={1,2,3}B={3,4},则A(C*)=()

A.{0,4}B.{3,4}C.{152}D.0

2.设命题p:VxeR,|X|+2>0,则R为

A.3x0G7?,|X|+2>0B.3x0e7?,|x|+2<0

C.3x0e7?,|x|+2<0D.VxwR，k|+2W0

3.若函数y=f（x）的定义域为{xIOWxWl},值域为{y|0Wy〈l},那么函数y=/（x）的图象可能是（）

abab

C.k>2a+b/---

D.------->y/ab

ab2

5.已知函数/（x—l）=4x+3,则/（2）值为()

A.7B.9C.11D.15

6.如果偶函数在［2,5］上是减函数且最小值是4,那么“X）在［-5,-2］上是（）

A.减函数且最小值是4B.减函数且最大值是4

C.增函数且最小值是4D.增函数且最大值是4

7.设函数/（%）的定义域为［0,1］,贝『"（x）在区间［0,1］上单调递增”是““X）在区间［0』上的最大值为

/⑴”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.若一元二次不等式ak+H+cvOmaCER)的解集为{引一1<%<2},则人一。十，的最小值为()

a

A.-4B.-2C.2D.4

2%〉tn

9.已知函数/(%)={2/c的图象与直线>=%恰有2个公共点，则实数机的取值范围是

'7x+4x+2,x<m

()

A.[-2,-1)[2,+oo)B.

c.[-2,-1]D.[2,+S)

10.用Card(A)表示非空集合A中的元素的个数，定义A*3=|Card(A)—Card(B)|,若&={-1[},

3=1|(加+3x)(f+ax+2)=0},若A*3=1,设实数a的所有可能取值构成集合S.则Card(S)=

()

A.6B.5C.4D.3

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸上)

11.函数〃彳)=«71+’的定义域为____.

x2

12.已知集合A={2a—I,/,。},B={l-a,a-5,9},若满足Ac3={9},则实数a的值为.

13.已知函数/(%)=g2一%+机，对一切实数x,/(x)<0恒成立，则加的一个值可以为

14.定义max{a,仇c}为。，b,c中的最大值，设/?(x)=max卜2,；匕6—x1,则九(x)的最小值为

JQ

15.函数f(x)=一~；(xeR),给出下列四个结论

l+|x|

①/(X)的值域是(T，l);

②任意和％eR且苞#%，都有\"八，〉0；

石一々

③任意xpx2e(0,+oo)且Xw/，都有〉'芯+%]；

2V2J

④规定力(x)=/(x),力+i(x)=/(力(x)),其中〃eN*，则几

其中，所有正确结论的序号是.

三、解答题(共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.)

16.已知集合4={%|必一5%一14<0},B={x\m+l<x<m+3,m&R}.

(1)当相=5时，求A8和BC[RA；

(2)若AcRB=A,求〃?的取值范围.

17.已知函数/(x)=x|x|-2x

(1)判断函数/(x)的奇偶性并用定义证明;

(2)用分段函数的形式表示函数/(%)的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数/(x)的图象

A

18.已知函数/(x)=改+巳的图像经过点4L3),3(2,0).

x

(1)求函数F(x)的解析式；

(2)判断函数/(%)在(0,+co)上的单调性并证明；

(3)当xeg,m时，的最小值为3,求机的值.

19.已知二次函数/(x)的最小值为1,且〃0)=〃2)=3.

(1)求“X)的解析式：

(2)解关于x的不等式：f(x)+2ax-3>0,其中ae[3a,a+l]；

(3)当xe[—1,1]时，f(x)〉2x+2/n+l恒成立，试确定实数机的取值范围.

20.已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另外投入16万元，设该公司一

年内共生产x万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为R(x)万元，且已知

400-6%,0<x<40

夫(%)=d740040000,c

--,x>40

、XX"

(1)求利润W(万元)关于年产量X(万件)的函数解析式：

(2)当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润.

21.已知集合P^Z,且集合尸具有以下性质：

①尸中的元素有正整数，也有负整数；

②尸中的元素有奇数，也有偶数；

③若则x+yeP；

@-UP,

回答下列问题.

(1)若x€P,求证：3xeP；

(2)判断集合尸是有限集还是无限集，并说明理由;

(3)判断0和2与集合尸的关系，并说明理由.

参考答案

第一部分（选择题共40分）

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项，把答案填在答题纸上）

1.【答案】C

【分析】求出4邑再求解与A的交集.

【详解】根据题意可得。3={1,2},则4八（弓3）={1,2}.

故选：C

2.【答案】B

【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题即3x0e7?,|x|+2<0

故选8

3.【答案】C

【分析】根据各选项一一判断其定义域与值域，即可得解.

【详解】对于A：函数的定义域为{x|0Wx〈l},但是值域不是{y|OVy<l},故A错误；

对于B：函数的定义域不是{x|0Wx〈l},值域为{ylOWyWl},故B错误；

对于C：函数的定义域为{x|04xWl},值域为{y|OWy<l},故C正确；

对于D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D错误.

故选：C

4.【答案】C

【分析】由。<6<0,可得A错：利用作差法判断B错；利用基本不等式可得C正确；由

ab

g£<o,而而>o,可得D错.

【详解】a<b<0,—>—,故A错；

ab

a<b<0,/.a2>b2即/—/<0,>0,可得2—@=——<0,—<—，故B错；

ababab

a<b<0,.-.->0,->0,且2/处,则2+q〉2耳^=2,故C正确；

ababab\ab

a<b<0,巴叱<0,而4ab>0，则巴吆<4ab,故D错.

22

故选：C

5.【答案】D

【分析】令x=3,结合题意即可求解.

【详解】令xT=2,得x=3,

所以〃2)=4x3+3=15.

故选：D.

6.【答案】C

【分析】由偶函数在对称区间上的单调性相反求解即可.

【详解】偶函数/(x)在［2,5］上是减函数且最小值是4,所以"5)=4,

则/(x)在［-5,-2］上是增函数且最小值为/(-5)=4,

故选：C

7.【答案】A

【分析】根据函数的单调性、最值以及充分和必要条件等知识确定正确答案.

【详解】若“/(%)在区间［0,1］上单调递增”，

则““X)在区间［0』上的最大值为了⑴”；

若“/(x)在区间［0』上的最大值为了⑴”，

则/(%)在区间［0』］上不一定单调.

所以“/(%)在区间［0,1］上单调递增”是“八可在区间［0,1］上的最大值为“1)”的充分不必要条件

故选：A

8.【答案】D

【分析】根据不等式的解集求得dc与。的关系，结合基本不等式即可求得答案.

【详解】一元二次不等式+bx+c<0(a,b,ceR)的解集为{x［—l<x<2},

即一1,2为。必+bx+c=0(a,。,ceR)的两实数根,

f-1+2=--

1a'b=­a

故彳—1x2=*，即c=-2a,

Iaa>0

va>0

4444

则b—c+—=a+—22jax—=4,当且仅当〃=—时，即。=2时取等号,

aa\aa

4

即b-c+一的最小值为4.

a

故选：D

9.【答案】A

【分析】将原问题等价转换为令g(x)=〃x)r,g(x)有两个零点，注意到

2—％=0=%=2,九2+3%+2=0=%=—2或%=—1,从而对m分类讨论即可求角军.

2—冗X>771

【详解】令g(x)=〃x)-x,则g(x)=<y，由题意g(x)有两个零点,

+3x+2,x<m

2-X=0=>X=2,X2+3X+2=0=>X=-2§KX=-1,

当机<一2时，g(x)=0=>x=2,

当/”=一2时，g(x)=0=>x=±2,

当-2<加<一1时，g(x)=0=>x=±2,

当相=一1时，g(x)=0=>x=±2,或》=-1,

当一1</力<2时，g(x)=0=>x=±2,或％=-1,

当机=2时，g(x)-Q=>x=-2,或x=_］,

当机>2时，g(x)=0=>x=-2,或％=-1,

综上所述，满足题意的根的取值范围为［-2,-1)［2,+8).

故选：A.

10.【答案】B

【分析】先求得Card(B)的可能取值，然后对。进行分类讨论来求得。，进而求得Card(S).

【详解】Card(A)=2,要使A*B=|Card(A)—Card(3)|=|2—Card(3)|=l,

则Card(B)=1或Card(B)=3.

当a=O时，=卜|3*(*2+2)=o}={0},满足Card(B)=l.

当aw0时，首先ad+3x=x(〃％+3)=0有两个不同的解1=0或%=——,

a

其次，对于％2+〃％+2=0，A=〃2-8,

当A=。时,a=2V2或a=—2V2,

当a=2V2时,%2+ax+2=+2A/2X+2=(%+V2)=0,x——yf2,

此时3=|-V2,0,金}=<-V2,0,孚］,满足Card(B)=3.

当a=—2A/2时，％?+ax+2=—2^/Zx+2=(%—*\/2)=0,x-,\/2，

此时3=1V2,0,-=］后内「手>，满足Card(3)=3.

当A<0,即-2啦<"2拒时，/+°》+2=0无解，Card(B)=2不符合题意.

当A〉0,即a<—2行或a〉20时，

%2+ax+2=0的解为x=—a—而三或x=—a+万百

22

x=0不是x2+ax+2=0的解，

当a=3时，B-{0,-1,-2},满足Card（B）=3,

当a=-3时，3={0,1,2},满足Card（3）=3,

当_3M_3,_2闾u（2夜,3）u（3,+e）时,Card⑻=4,不符合题意.

综上所述，S={0,2夜,3,—2也一3},Card（S）=5.

故选：B

【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、

步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题

方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸上）

11.【答案】［1,2）。（2,+8）

【分析】根据函数的解析式，列不等式求函数的定义域.

%-1>0

【详解】函数的定义域需满足〈cC，解得：xNl且XW2,

x—2/0

所以函数的定义域是［1,2）。（2,+⑹.

故答案为：［1,2）u（2,+8）

12.【答案】一3

【分析】根据交集定义，若AcB={9},则9eA且9e3,从而讨论集合的情况，确定实数。的

值.

【详解】由题意可得，9eA且9e3,

当2a—1=9时，解得。=5,

此时A={9,25,0},B={-4,0,9},AnB={0,9},不符合题意,舍去;

当/=9时，解得。=±3,

当a=3时，A={5,9,0},B=［-2,-2,9）,8中元素不满足互异性，不符合题意，舍去，

当a=—3时，A={—7,9,0},B={4,-8,9},AnB={9},符合题意，

综上所述，a=-3,

故答案为：一3.

13.【答案】一1(答案不唯一)

【分析】讨论的取值，解相应不等式，求出符合题意的机的范围，即可求得答案.

【详解】当相=0时，f(%)=-%<0,.1.%>0,不合题意;

当用中0时，对一切实数％,y(x)<o恒成立,

m＜01

需满足<△=1-4病＜0'解得.＜一5'

故加的一个值可以为一1,

故答案为：-1(答案不唯一)

14.【答案】4

【分析】根据题意画出函数丸(可的图象，再根据图象即可得到函数丸(x)的最小值.

【详解】分别画出y=x2,y=(x,y=6—x的图象，则函数可力的图象为图中实线部分,

\2x=-3x=2

由<),解得《或<，即4(2,4),

y=6-xy=9。=4

所以"(x)的最小值为4.

故答案为：4.

15.【答案】①②④

【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可;

X1

【详解】①：当时，f(x)=——=1-------

l+xX+1

当xNO时，该函数单调递增，所以有/(x"〃0)=0,

当xNO时，因为/'(%)—1=1—---—1=—-—<0,

x+1x+1

所以/(x)—l<0n/(x)<l,因此当x»o时，OWf(x)<l；

x1

当x<0时，/(x)=^=-----1,此时函数单调递增，

1—X1—X

所以有/(x)<〃0)n/(x)<0,

/(x)-(-l)=^>0^/(x)>-l,所以有—l</(x)<0,

1-X

所以/(%)的值域是(-M),故①正确；

②:不妨设罚>%2，由‘°’>0n/(xJ-/(%2)>。0/(不)>/(%)，

*1—*2

所以该函数是实数集上的增函数，

由①可知：该函数在xNO时，单调递增，且04/(x)<l,

当x<0时，单调递增，且-1</(%)<0,所以该函数是实数集上的增函数，符合题意，故②正确;

③：当任意看,％2£(°，+8)且再时，

13

令再=1,%2=3,/(%)+/(%2)=/(1)+/⑶二2.4二5,

2―2-2-8

斗〃2)=j显然(<；，

'乙)DOJ

因此」(番);)(乙)〉)(生产)不成立,故③不正确；

X

④：当0时，/(%)=----，

1+X

X

力(%)=/(%)=］，

X+1

x

f2(x)=f(fSx))=^-=-^-

%I]2x+l

X+1

X

力(x)=/(力(x))=2%+1=x

%+]3%+1

2x+l

X

3x+l

£

于是有力（x）=一因此九[；]=­彳一=77三=4,故④正确,

nx+1IOX^+110+212

2

故答案为：①②④

【点睛】关键点睛：利用分式型函数的性质是解题的关键.

三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）

16.【答案】（1）AB={x-<x<）|；=<x<8}

（2）/"卜九<-5或根〉6}

【分析】（1）求出集合A3后根据集合的运算法则计算；

（2）根据集合运算得出集合间包含关系，再由包含关系求参数范围.

【小问1详解】

当机=5时，8={x|6WxW8},

因为4={%|-2<%<7},所以AB={x-<x<）|；BnlRA={.r|7<x<8}

【小问2详解】

因为3={x\m+l<x<m+3,meR},

所以={x|x+1或x>根+3},

因为AC「RB=A,所以AN（R3,

因为A={x[—2<x<7},

所以m+1〉7或相+3<-2,

得机>6或机<-5,

所以m的取值范围为{川根<-5或m>6}.

17.【答案】（1）奇函数，证明见解析

、（X2-2x,x>0一~

（2）/（%）=,,图象见解析

''[-X2-2X,X<0

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明.

（2）根据绝对值的知识化简/（x）的解析式，并画出图象.

【小问1详解】

“X）是奇函数，证明如下：

函数%区—2%的定义域是R,

f(-x)=-中|+2x=-/(x),

所以“X)是奇函数.

【小问2详解】

依题意，(%)=巾-2x=-22x，xN0,

~x—2羽x<0

由此画出/(X)的图象如下图所示：

-5

X

4

18.【答案】(1)f(x)=—xH—

X

(2)/(x)在(0,+co)上单调递减；证明见解析

(3)1

【分析】(1)代入已知点坐标求得参数值得函数解析式;

(2)根据单调性定义证明;

(3)结合单调性得最小值从而可求解.

【小问1详解】

由题意知函数/(X)="+9的图像经过点A(l,3),B(2,0),

X

〃+/?=3

a=-1

故<b»解得＜

2〃+—=0Mb=4-

2

4

故f(x)=-x-\—；

X

【小问2详解】

函数/(%)在(0,+s)上单调递减；

证明：设V%,%£(°，+00)，且不<%2，

贝U/(玉)一F(%2)=~X1■*(一九2H)

玉光2

/、4(%2一%)/、玉/+4

=(%2一%)+-------—二(犬2—九1)X—-----,

XxX2xrx2

YY+4

因为9-xl>0,x1x2>0,故(％一占)义>0,

即/(西)〉/(々)，故函数/(%)在(0,+°°)上单调递减.

【小问3详解】

由⑵知/(x)在［；,加是减函数，

4

因此/(x)5=f(m)=-m+—=3,解得加=1或m=—4,

m

又〃，〉*，所以帆=1.

19.【答案】(1)/(X)=2X2-4X+3

(2)(-00,0)u(2-a,+oo)

(3)(-oo,-l)

【分析】(1)根据题意，设/(x)=a(x—l『+l(awO),根据/(0)=3,求得a=2,即可得到函数的

解析式；

(2)原不等式等价于/+(a-2)久>0,进一步确定。的范围即可得解.

(3)依题意可得不等式相<妙一3%+1在区间［-1,1］上恒成立，令g(x)=%2-3x+l,结合二次函数的

性质，即可求解.

【小问1详解】

由题意，函数〃x)是二次函数，且〃0)=/(2),可得函数〃x)的对称轴为x=l,

又由最小值为1,可设/(x)=a(x-iy+l(awO),

又/(0)=3,即ax(O—lj+i=3,解得。=2,

所以函数的解析式为〃X)=2(X—1)2+1=2X2—4X+3.

【小问2详解】

f(x)+2ax-3>0Q2x2+(2a—4)x>0«%2+(a—2)x>0,

a>3a

因为〃£[3〃,a+l],所以<a<a-\-l=>o«0,

3a<a+1

所以％2+(a—2)%>00%<0或x>2-af

所以若ae[3a,a+l],则关于x的不等式：/(x)+2ax-3>0的解集为(一叫0)。(2-a,+e).

【小问3详解】

因为当时，/(%)>2%+2爪+1恒成立，

即当xe[-1,1]时，2/—4%+3>2%+2加+1恒成立，

即当尤时，根<%2一3x+l恒成立，

设函数g(x)=%2-3x+l,xe[-l,l],

则g(x)在区间[-L1]上单调递减,

Ag("在区间[T1]上的最小值为g(1)=-1,

m<-1,

故实数机的取值范围为：(-00,-1).

—6%2+384%—40,0<x<40

20.【答案】(1)W40000”℃”c；

-----------16x4-7360,x>40

(2)当年产量为32万件时，公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.

【分析】(1)利用利润等于收入减去成本，分两种情况讨论得到分段函数的解析式；

(2)求