2024年北京某中学初三（上）期中数学试题（含答案）

2024北京六十六中初三(上)期中

数学

2024.11

试卷说明:

1.本试卷共三道大题,共五页。

2.卷面满分100分,考试时间120分钟。

3.试题答案一律在答题纸上作答，在试卷上作答无效。

一、选择题(每小题2分，共16分)

1.中国瓷器，积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分.瓷器上的图案设计精美,

极富变化，下面瓷器图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.B.C.D.

2.二次函数尸3（x+1产4的最小值是

A.1B.-1C.4D.-4

3.把抛物线3晚向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为

A.xy2+啰B.xy2+是

C.xy2+-§=D.xy2+-§=

4.用配方法解方程N+6X=2,变形后结果正确的是

A.(X+3)2=2B.(x+3)2=llC.(X-3)2=2D.(X-3)2=11

5.如图，四边形/BCD内接于。O,若/4=60。，。。的半径为3,贝UBD的

长为

A.6B.3C.

6.某电影首周累计票房约3.5亿元,第三周累计票房约6.8亿元，若每周累计票房的增长率相同，设增长

率为x,根据题意可列方程为

A.3.5/=6.8B.3.5（1+无）=6.8

C.3.5(1+x)2=6.8D.3.5(1-x)2=6.8

7.在如图所示的正方形网格中，四边形N8CD绕某一点旋转某一角度得到四边形N7TCD，，(所有顶点都

是网格线交点)，在网格线交点N,P,。中，可能是旋转中心的是

A.点MB.点NC.点PD.点。

8.如图，二次函数y=af+6x+c（aWO）的图象经过点/,B,C.现有下面四个推断：

①抛物线开口向下；

②4a〈b

③当"2W4时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m必有两个不相等的实数根；

④直线y=Ax+c（左W0）经过点N,C,当依+。<办2+云+C时，x的取值范围是

-4<x<0；

其中推断正确的是

A.①②③B.①③④C.①④D.①②③④

二'填空题（本题共16分，每小题2分）

9.开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标（0,3）的抛物线的解析式.

10.关于x的一元二次方程X2F+〃L2=0,有一个根是0,则加=.

11.如图，。。为RtAABC的内切圆，点。、E、P为切点，若AD=6,BD=4,则△NBC的面积

为.

第11题第12题

12.如图，将△AOB绕点O逆时针旋转50。后得到△AO8，，若乙4。8=15。，则等于.

13.已知点/（-1,力），B（4,二）在二次函数的y=（x-2）2+c图象上，yi与歹2的大小关系为

yi—V2.（填或“=”）

14.如图，PA,分别与。。相切于A,3两点，ZP=60°,PA=6,则。。的半径为.

第14题第15题

15.函数%=炉+"+。与%的图象如图所示，当yi2y2时，x的取值范围是.

16.下表记录了二次函数3；=加+队+2(QM)中两个变量x与歹的5组对应值，其中

X[<X2<1.

是.

三、解答题(本题共68分，第17题8分，第18--25题各5分，第26题6分，第27,28题各7分)

17.解下列一元二次方程：

(1)X2+2X-8=0(2)2x2-2x-l=0

18.已知：f+ZxTR,求代数式3f+6x+10的值.

19.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=必+〃的图象经过点A(0,1),B(3,4).

求此二次函数的表达式及顶点的坐标.

20.2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京召开，回顾了十年来共建“一带一路”取得的

丰硕成果.为促进经济繁荣，某市大力推动贸易发展，2021年进出口贸易总额为60000亿元，2023年进出

口贸易总额为86400亿元.若该市这两年进出口贸易总额的年平均增长率相同，求这两年该市进出口贸易

总额的年平均增长率.

21.如图，Afi是。。的直径，弦CO1AB于点E,

CD=6,BE=].求。。的半径.

22.已知关于x的一元二次方程r-4x+加+2=0有两个不相等的实数根.

(1)求加的取值范围；

(2)若加为正整数，求此时方程的根.

23.如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O,B

为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)，04=3,03=4,且

ZAOB=150°.线段CM关于直线。8对称的线段为将线段

。2绕点。逆时针旋转45。得到线段OBL

⑴画出线段04',OB'；

(2)将线段08绕点。逆时针旋转角445。<々<90。)得到线段

OC,连接，若4c=5,求NB0C的度数.

24.如图，。是等边三角形4BC内一点，将线段AD绕点/顺时针旋转60。，得到线段连接CD,BE.

⑴求证：UEB=UDC；

(2)连接OE,若乙〃)C=110。，求N8ED的度数.

A

25.如图1,某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心。处竖直安装一根高度为1.25m的水管/处是喷

头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分，

建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心。的最远水平距离为2.5m,水流

竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离OD为1m.

DB

(1)求喷出水流的竖直高度y(m)与距离水池中心。的水平距离x(m)之间的关系式，并求水流最大竖直高

度CD的长；

(2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动(假设抛物线水流移

动时，保持对称轴及形状不变)，若水管CM的高度增加0.64m时，则水流离喷水池中心。的最远水

平距离为m.

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?+bx+c(a>0)经过点A(3,3a+c).

(1)求该抛物线的对称轴；

(2)点M(l-2a,%),N(a+2,%)在抛物线上.若。<%<%，求。的取值范围.

27.如图，△4BC中，AC=BC,N4CB=9Q。,ZAPB=45°,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90。

得到线段CQ,连接N0.C

(1)依题意，补全图形，并证明：AQ=BP；

(2)求/勿尸的度数；-------

(3)若N为线段48的中点，连接NP,请用等式表示线段N尸与CP之间的\

数量关系，并证明.7P

28.定义：对于给定函数尸狈2+6x+c(其中a,b,c为常数，且存0),则称函数丁=1加+法+。(北。)

[ax2-bx-c(x<0)

为函数y=axz+6x+c•中a,6,c为常数，且存0)的“相依函数”，此“相依函数”的图像记为G.

(1)已知函数yn-d+Zx-l.

①写出这个函数的“相依函数”；

②当TW启1时，此相依函数的最大值为.

⑵若直线y=m与函数y=-/+2%-1的相依函数的图象G恰好有两个公共点，求出机的取值范围;

(3)设函数g/nx.的相依函数的图象G在一名烂2上的最高点的纵坐标为刃，当

时，直接写出〃的取值范围.

2°

参考答案

本试卷满分100分，依据得分率，成绩以等级制呈现，具体等级划分标准如下:

等级

AiAiA3BiB2B3

正确率(％)95及以上90-9485-8980-8475-7970-74

等级DiD

c2c3D23

正确率(％)65-6960-6455-5950-5445-4944及以下

一、选择题(每题2分，共16分)

12345678

BDCBCCAD

二、填空题(每题2分，共16分)

9.的+310.m=2

11.2412.35°

13.>14.2V3

15.或加入16.2<k<-

3

三、解答题(本题共68分，第17题8分，第18-25题各5分，第26题6分，第27-28题,各7分)

17.(1)x2+2x-8=0

解：(x+4)(x-2)=0............................3分

Xj=

-4fX2=2........................4分

(2)2X2-2X-1=0

解：a=2b=-2c=-1

△=b2-4ac=12............................1分

-b±y/b2-4ac2±V122±2A/3

X=-------------=------=-------...2分

2a44.....................

+V31-V31

x\~2，*2-2

........................4分

18.解:,3X2+6X+10=3(X2+2X)+10........................4分

•/x2+2x-1=0

二3X2+6X+10=3(x2+2x)+l0=13........................5分

19•解：•二次函数y=—+根％+〃的图象经过点A(0,1),B(3,4)；

I"=1............................2分

19+3m+〃=4

解得：『=一2.............................3分

[n=l

,•y=Y—2%+1

当天=-三=1，............................4分

2x1

y=F_2xl+l=0............................5分

・•・顶点的坐标为(1,0).

20.设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为丘............1分

60000(1+')2=86400............................2分

(l+x)2=—

25

l+x=+-

5

解得：xi=0.2&=-2.2............................4分

经检验：x=-2.2不符实际意义，舍去

.*0.2=20%

答：这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为20%..................5分

21.解：连接。C,如图........1分

设。。的半径为X.

是。。的直径，CO,A3,A

/.CE=-CD=3./\

2(7T)

在RtAOEC中，ZOEC=90°,\//

由勾股定理，noc2=OE2+CE2.”

即x2=(x—I)2+32.................................4分

解得尤=5.

的半径为5.................................5分

22・角平(])•b——4,c—in+2

\=b2-Aac=16-4(m+2)=8-4m............................1分

・・,一元二次方程有两个不相等的实数根

・8-4m>0............................2分

m<23分

(2)9：m<2

m=1

Y—4x+3=0

x1=1,x2—35分

23.(1)

.......................2分

(2)如图，在△AOC'中，OA=OA=3,OC，=O8=4,AC，=5,

A'C'2=OA'2+OC'2.

：.AA'OC是直角三角形.

ZA'OC'=9Q°.........................3分

-：ZAOB=150°,04与。4关于直线03对称，

AZA'OB=150°.........................4分

.,."03=60。，即a=60。.

ZB'OC'=ZCOB'-ZB'OB=60°-45°=15°..............................5分

24.(1)证明：：AD绕点A顺时针旋转60。得到线段AE

：.AE=AD,NEW=60°.............................1分

AABC是等边三角形

AB=AC,ZBAC=60°.............................2分

NEAB=NDAC

：.AEAB=ADAC

：.ZAEB=ZADC.............................3分

(2)解：VZADC=11O°

：.ZAEB=ZADC=110°.............................4分

,/AE=AD,ZEA。=60°

AEAD是等边三角形

ZAED=60

NBED=ZAEB-ZAED=500......................5分

25.M：(1)由题意，/点坐标为(0,125),3点坐标为(2.5,0).

设抛物线的解析式为_y=a(xT)2+—#0)......1分

・・,抛物线经过点4点A

1.25=〃+%,

0=a(2.5-l)2+^.

a=-1,

解得:

k=2.25.

•—1)2+2.25(0<x<2.5).........................................................................3分

.*.x=l时，y=2.25.

・•・水流喷出的最大高度为2.25m.........................4分

(2)2.7........................5分

26•解:(1)2抛物线y二办？+为多+。(〃>。)经过点A(3,3A+C),

3a+c=9a+3b+c.

b=-2a.

x=-

2a

即抛物线的对称轴为％=1.2分

(2),：a>0,抛物线的对称轴为x=l,

••1-2Q<1,。+2〉1

点M(1-2a,%)在对称轴左侧，点N(a+2,为)在对称轴右侧.

依题意可得点M,N(0,c)在抛物线上的位置如右图(示意图)所示.

设点N(a+2,%)关于对称轴x=1

的对称点为点N1

则N'(-%%)•

a>0,c<yt<y2,

•■—ci<1—2a<0.

........................5分

-<a<l

2

・・・为V%V%•6分

27.(1)补全图形，如图1.

证明：・・・线段C尸绕点。顺时针旋转90。得到线段CQ,

・•・CP=CQ,ZPCQ=90°.

丁NACB=90。,

：.ZBCP=ZACQ.

AC=BC,

：.ABCP^AACQ.

AQ=BP.2分

(2)解：连接0p如图2.

由(1)可得△尸CQ是等腰直角三角形，

，ZCQP=ZCPQ=45°.

：.ZCQA+ZPQA=45°.