数学常考压轴题九年级人教版专题01一元二次方程的实际应用五种考法含答案及解析

专题01一元二次方程的实际应用五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2题型一：增长率问题 2题型二：与图形有关问题 4题型三：数字问题 10题型四：营销问题 14题型五：动态几何问题 19压轴能力测评 261、增长率问题 基本公式：， 表示增长前的数，表示增长率，表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出、．如果是降低率，则为．2、与图形有关问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．3、数字问题对于数的应用题主要是要知道数的表示．例如：一个三位数个位、十位、百位分别为x、y、z，那么这个三位数则可以表示为．4、营销问题总利润单件利润总件数；总利润总售价总成本价．根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可．5.动态几何问题解决动态几何问题时，先要分析动点的运动轨迹，根据条件设出未知数后，用含有未知数的式子表示出图形中变化的线段，再根据题目中的等量关系列出方程.动态几何问题我们在后续的三角形相似的学习中还会遇到，同学们要抓住解题关键，找准变量以及等量关系，才能够从容应对.题型一：增长率问题【例1】（2021·湖南张家界·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？【变式1】（2022·安徽·模拟预测）据统计2019年某款APP用户数约为2400万，2021年底达到5000万．假设未来几年内仍将保持相同的年平均增长率，则这款APP用户数首次突破一亿的年份是（

）A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年【变式2】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元?【变式3】（20-21九年级上·重庆·期末）某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32平方米，现计划为100套公寓地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B两种地砖，其中50套公寓全用A种地砖铺满，另外50套公寓全用B种地砖铺满，A种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，B种地砖是每块而积为0.16平方米的正方形，且A种地砖每块的进价比B种地砖每块的进价高40元，购进A、B两种地砖共花费350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余）（1）求A、B两种地砖每块的进价分别是多少元？（2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A种地砖的公寓套数增加了，铺满B种地砖的公寓套数增加了，由于地砖的购进量增加．B种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了，但A种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B两种地砖的总花费比原计划增加了，求a的值．题型二：与图形有关问题【例2】（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第38页的部分内容．问题1学校生物小组有一块长、宽的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为，小道的宽应是多少？分析问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图①，不验发现小道的占地面积与位置无关．设小道宽为，则两条小道的面积分别为和，其中重叠部分小正方形的面积为，根据题意，得……请根据教材提示，结合图①，写出完整的解题过程．【结论应用】如图②，某小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的人行步道（一纵一横）和一个边长为人行步道宽度7倍的正方形林闲广场，两条人行步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设行步重的宽为．（1）求人行步道的宽．（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图③所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，直接写出塑胶跑道的总面积．【变式1】（21-22九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（

）A． B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800【变式2】（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读材料，并解决问题．【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．

【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：第一步：将原方程变形为，即x（______）；第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长）第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______；【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图②来解．已知图②是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的一个正根为______．

【变式3】（22-23九年级上·福建三明·期中）有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．(1)如图，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．请写出两条小路的面积之和______（用含、的代数式表示）；若，且草坪的总面积为，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？(2)如图，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路（为常数），若，且草坪的总面积为平方米，求的值．题型三：数字问题【例3】（20-21九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果（

）A．741 B．600 C．465 D．300【变式1】（23-24九年级上·四川成都·期末）已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，，，均不为整数），且，（为正整数）．在点与点之间的所有整数依次记为；在点与点之间的所有整数分别记为．若，则的值为．【变式2】．（23-24九年级上·四川成都·期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有种．【变式3】．（20-21九年级上·四川·阶段练习）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．（1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”；（2）已知一个“喜鹊数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，且m＋n＝﹣2，求满足条件的所有k的值．题型四：营销问题【例4】（2022·贵州毕节·中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？【变式1】（2023·湖北宜昌·中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．(1)求豆沙粽和肉粽的单价；(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；豆沙粽数量肉粽数量付款金额小欢妈妈2030270小乐妈妈3020230①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．【变式2】（20-21九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）近年来，故宫不断推陈出新，将文化底蕴和流行时尚元素融合，设计出了众多的爆款文创产品，600岁的故宫成为新晋网红．小赵看到了商机，打算采购一批故宫文创商品进行销售．他以每条45元的价格购进150条编织红绳手链，再以每条65元卖出．结果编织红绳手链很受欢迎，销售一空，于是小赵准备购进第二批编织红绳手链．（1）若第二次购进的编织红绳手链成本是每条40元，售价不变且全部卖完，要使两次销售的手链总利润不低于14250元，那么第二次至少得购进多少条编织红绳手链？（2）在第二次销售中，小赵按照（1）中的最低数量购进编织红绳手链，由于市场受限，编织红绳手链购进成本比预计的40元多，为保证利润，小赵将售价提高，在销售过程中，因质量问题，有的编织红绳手链下架不售卖，结果第二次销售的获利比第一次销售的获利多了8250元，求m的值．【变式3】（20-21九年级上·重庆北碚·期末）俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬”，没有腊味，如何能算得土是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．（1）每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？（2）12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为3400元．12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了，每袋香肠的售价减少了元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了，香肠的销售量比上半月香肠的销售量增加了，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．题型五：动态几何问题【例5】（22-23九年级上·贵州安顺·期末）如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：

(1)当x为何值时，为等腰三角形；(2)当x为何值时，的面积为；(3)当x为何值时，为等腰三角形．【变式1】（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿．边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？(3)如果P，Q分别从A，B同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由．【变式2】（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，为矩形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点Q以的速度向移动．(1)两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？(2)两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是？(3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？【变式3】（22-23九年级上·广东清远·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为秒．(1)当时，直接写出P，Q两点间的距离．(2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．(3)是否存在，使得的面积等于，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．1．（2024春•海淀区校级期中）如图，某单位准备将院内一块长，宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度．2．（2024•无锡校级二模）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价（元箱）与销售量（箱有如表关系：每箱售价（元6867666540每天销量（箱40455055180已知与之间的函数关系是一次函数．（1）求与的函数解析式；（2）水蜜桃的进价是40元箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了，同时水蜜桃的进货成本下降了，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了，7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求的值．3．（2023秋•射阳县期中）“黄桥烧饼全国闻名”，国庆节期间，黄桥某烧饼店平均每天可卖出300个烧饼，卖出1个烧饼的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，平均每天可多卖出100个，为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降元（1）零售单价下降元后，每个烧饼的利润为元，该店平均每天可卖出个烧饼（用含的代数式表示，需化简）；（2）在不考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的烧饼更多？4．（2023秋•南关区校级期末）果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．5．（2023•沛县模拟）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为．项目第一次锻炼第二次锻炼步数（步10000①平均步长（米步）0.6②距离（米60007020注：步数平均步长距离．（1）根据题意完成表格填空；（2）求；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．6．（2023•东阿县二模）为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2014年的绿色建筑面积约为950万平方米，2016年达到了1862万平方米．若2015年、2016年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；（2）2017年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2017年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2017年我市能否完成计划目标？7．（2023春•临淄区校级期中）如图，在矩形中，，，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动．（1）若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？（2）若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？8．（2023秋•禅城区校级月考）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米．（1）花圃的面积为米（用含的式子表示）；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价（元、（元与修建面积之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？

专题01一元二次方程的实际应用五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2题型一：增长率问题 2题型二：与图形有关问题 4题型三：数字问题 10题型四：营销问题 14题型五：动态几何问题 19压轴能力测评 261、增长率问题 基本公式：， 表示增长前的数，表示增长率，表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出、．如果是降低率，则为．2、与图形有关问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．3、数字问题对于数的应用题主要是要知道数的表示．例如：一个三位数个位、十位、百位分别为x、y、z，那么这个三位数则可以表示为．4、营销问题总利润单件利润总件数；总利润总售价总成本价．根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可．5.动态几何问题解决动态几何问题时，先要分析动点的运动轨迹，根据条件设出未知数后，用含有未知数的式子表示出图形中变化的线段，再根据题目中的等量关系列出方程.动态几何问题我们在后续的三角形相似的学习中还会遇到，同学们要抓住解题关键，找准变量以及等量关系，才能够从容应对.题型一：增长率问题【例1】（2021·湖南张家界·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？【答案】（1）10%；（2）13.31万【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意列出等式解出即可；（2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可．【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为，由题意得：，解得：，（不合题意，舍去），答：这两个月参观人数的月平均增长率为．（2）（万人），答：六月份的参观人数为13.31万人．【点睛】本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测．【变式1】（2022·安徽·模拟预测）据统计2019年某款APP用户数约为2400万，2021年底达到5000万．假设未来几年内仍将保持相同的年平均增长率，则这款APP用户数首次突破一亿的年份是（

）A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年【答案】B【分析】设年平均增长率为，根据该款APP在2019年底及2021年底的用户数，可列出关于的一元二次方程，解之可得及的值，将其代入与中，可求得2022年级2023年底的用户数，将其与10000万比较即可求解．【详解】解：设年平均增长率为，依题意得，，∴，∴或（不合题意舍去），∴（万），（万），∵7200万＜10000万＜10417万，∴该款APP用户在2023年首次突破一亿．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．【变式2】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元?【答案】(1)10%，(2)4元．【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）－150=1450，为了减少库存，计算得到的降价多的数量即可．【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x，依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）；答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得：，解方程得，∵在降价幅度不超过10元的情况下，∴不合题意舍去，答：每件商品应降价4元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决解决本题的难点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．【变式3】（20-21九年级上·重庆·期末）某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32平方米，现计划为100套公寓地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B两种地砖，其中50套公寓全用A种地砖铺满，另外50套公寓全用B种地砖铺满，A种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，B种地砖是每块而积为0.16平方米的正方形，且A种地砖每块的进价比B种地砖每块的进价高40元，购进A、B两种地砖共花费350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余）（1）求A、B两种地砖每块的进价分别是多少元？（2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A种地砖的公寓套数增加了，铺满B种地砖的公寓套数增加了，由于地砖的购进量增加．B种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了，但A种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B两种地砖的总花费比原计划增加了，求a的值．【答案】（1）A、B两种地砖每块的进价分别是60，20元；（2）【分析】（1）利用每套公寓需要地砖的数量=公寓的面积÷每块地砖的面积，可分别求出每套公寓需要A种地砖的数量及每套公寓需要B种地砖的数量，设B种地砖每块的进价为x元，则A种地砖每块的进价为(x+40)元，根据等量关系：购进A种地砖的钱数+购进B种地砖的钱数=350000，即可列出方程，解方程即可；（2）根据等量关系：购进A种地砖的钱数+购进B种地砖的钱数=总钱数，列出方程，即可得到关于a的方程，解方程即可求出a的值，当然取正值即可．【详解】（1）一套公寓用A种地砖需要：块一套公寓用B种地砖需要：块设B种地砖每块的进价为x元由题可得：解得：元故A、B两种地砖每块的进价分别是60，20元．（2）由题可得：整理得：解得然：．∵，∴【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，关键是找出等量关系，正确列出方程，同时（2）问是的方程比较复杂，要善于化简．题型二：与图形有关问题【例2】（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第38页的部分内容．问题1学校生物小组有一块长、宽的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为，小道的宽应是多少？分析问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图①，不验发现小道的占地面积与位置无关．设小道宽为，则两条小道的面积分别为和，其中重叠部分小正方形的面积为，根据题意，得……请根据教材提示，结合图①，写出完整的解题过程．【结论应用】如图②，某小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的人行步道（一纵一横）和一个边长为人行步道宽度7倍的正方形林闲广场，两条人行步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设行步重的宽为．（1）求人行步道的宽．（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图③所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，直接写出塑胶跑道的总面积．【答案】“教材呈现”：小道宽为；“结论应用”：（1）步道的宽为；（2）塑胶跑道的总面积为．【分析】教材呈现：设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为（32-x）m，宽为（20-x）m．根据长方形面积公式即可求出道路的宽；结论应用：（1）根据“两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等”列出方程并解答；（2）根据“长方形区域甲的面积比长方形区域乙大44m2”求得BC=EF=21m，所以再结合图形和矩形的面积公式解答．【详解】解：教材呈现设小道宽为由题意，得（32-x）（20-x）=540∴．解得，（不合题意，舍去）．答：小道宽为．结论应用（1）由题意，得．解得，（不合题意，舍去）．答：步道的宽为．（2）由题意，得AB-DE=100-80+1=21（m），∴BC=EF==21（m）∴塑胶跑道的总面积为1×（100+80+21-2）=199（m2）即塑胶跑道的总面积为．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．【变式1】（21-22九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长50米、宽30米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为800平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（

）A． B．50×30﹣50x﹣2×30x＝800C．（50﹣2x）（30﹣x）＝800 D．（50﹣x）（30﹣2x）＝800【答案】C【分析】把三条小道平移到边上，可以得到一个完整的种植面积，然后根据已知条件，列出方程即可求解，图见详解【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植面积，由题干可知，大的矩形长为50米，宽为30米，小路宽为米，所以种植区域的长为（）米，宽为（）米，根据矩形面积公式可得，（50﹣2x）（30﹣x）＝800．故选C．【点睛】本题考查列方程，关键是把握平移的性质，构造完整的矩形，方便列出方程．【变式2】（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读材料，并解决问题．【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．

【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：第一步：将原方程变形为，即x（______）；第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长）第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______；【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图②来解．已知图②是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的一个正根为______．

【答案】[类比迁移]，画图见解析，，；[拓展应用]，3，1或3．【分析】[类比迁移]类比例题求解、画图、计算即可；拓展应用根据题意把，变形为，根据图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，即可得到答案．【详解】[类比迁移]第一步：将原方程变为，即；第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形，如图所示：

第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：；解得原方程的一个根为；故答案为：，，；[拓展应用]，，四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，，，解得：，，当时，，，，方程的一个正根为1；当时，，，，方程的一个正根为3．综上所述，方程的一个正根为1或3．故答案为：，3，1或3．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是掌握将解一元二次方程的问题转化为几何图形问题求解的方法．【变式3】（22-23九年级上·福建三明·期中）有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．(1)如图，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．请写出两条小路的面积之和______（用含、的代数式表示）；若，且草坪的总面积为，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？(2)如图，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中条水平方向的小路，条竖直方向的小路（为常数），若，且草坪的总面积为平方米，求的值．【答案】(1)①②长为米，宽为米(2)或【分析】（1）①②根据两条小路的面积之和两个长方形的面积重叠的正方形的面积表示即可；②根据草坪的总面积为，列一元二次方程，求解即可；（2）根据草坪的总面积为平方米，列方程求解，再进一步求出符合条件的和的值，即可求出的值．【详解】（1）解：①根据题意，两条小路的面积之和平方米，故答案为：平方米；②根据题意，得，又∵，，原方程化为，解得（不符合题意，舍去），，（米），答：原来矩形场地的长为米，宽为米；（2）解：根据题意，得，整理得，，为正整数，是正整数且是的约数，是正整数且是的约数，当时，，，，；当时，，，，；当时，，，，，综上所述，或．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．题型三：数字问题【例3】（20-21九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果（

）A．741 B．600 C．465 D．300【答案】B【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，然后根据选项分别求出n的数值，即可作出判断．【详解】解：通过观察图形可知：第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，则前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，其中n为正整数，∴当n（n＋1）=741时，解得：（舍），，当n（n＋1）=600时，解得：（舍），当n（n＋1）=465时，解得：（舍），，当n（n＋1）=300时，解得：（舍），，故选：B．【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．【变式1】（23-24九年级上·四川成都·期末）已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，，，均不为整数），且，（为正整数）．在点与点之间的所有整数依次记为；在点与点之间的所有整数分别记为．若，则的值为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数轴上两点距离；根据题意得出之间共有个或个整数，进而可得，设之间的数分别为，，根据题意列出一元二次方程，解方程，得出整数解，进而即可求解．【详解】解：∵，∴之间共有个或个整数，∵6个连续的整数满足∴，当时，间有个整数，则之间的3个整数设为，之间的个整数为，∴，解得：或当上有个整数，，无整数解；当时，间有个整数，则之间的4个整数设为，之间的个整数为，∴，解得：或，当，间有个整数，则之间的4个整数设为，之间的个整数为，∴，无整数解；当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为，∴，无整数解或，无整数解当时，则之间的5个整数设为，之间的个整数为，∴，无解，综上所述，或或，则或或，∴，或∵是正整数，∴故答案为：．【变式2】．（23-24九年级上·四川成都·期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有种．【答案】3【分析】本题考查对题干“完美分割”的理解，一元二次方程的应用，根据“分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和”推出相乘的这一组数只能有2个或3个或4个数，再根据其个数分别运用列举法分析找出符合条件的分割，即可解题．【详解】解：，一组数的积要小于，，，相乘的这一组数最多只能有个，，相乘的这一组数最少有2个，①若这一组数有2个，当两个数连续时，设较小的数为，则另一个为，分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，，整理得，解得，（不合题意，舍去），符合条件的完美分割为和；当两个数不连续时，，两个数的乘积不小于，分别讨论、、、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和，当两个数不连续时，没有符合条件的完美分割，②若这一组数有3个，当三个数连续时，设中间的数为，则另两个为，，，整理得，即，为1到10的整数，没有符合条件的，当三个数不连续时，设其中最大的数为，分别讨论、、）其中始终大于组合内第二个数、以及、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和，其中符合条件的完美分割有和；③若这一组数有4个，当四个数连续时，、均不符合，后面的皆不符合，当四个数不连续时，设其中最大的数为，，，解得，、、均不符合，后面的皆不符合；可得符合条件的完美分割就是题干中的完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有3种，故答案为：3．【变式3】．（20-21九年级上·四川·阶段练习）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．（1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”；（2）已知一个“喜鹊数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，且m＋n＝﹣2，求满足条件的所有k的值．【答案】（1）241不是喜鹊数；最小的“喜鹊数”是121；（2）满足条件的所有k的值为121，242，363，484．【分析】（1）由题意代入验证即可解答；（2）求出m与n互为倒数，又m＋n＝−2，得出m＝−1，n＝−1，求出b＝a＋c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．【详解】解：（1）∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8∴241不是喜鹊数；∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，∴十位上的数字的平方最小为4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鹊数”是121；（2）∵k＝100a＋10b＋c是喜鹊数，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0，将cn2＋bn＋a＝0两边同除以n2得：a（）2＋b（）＋c＝0，∴将m、看成是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2＋bx＋c有两个相等的实数根，∴m＝，即mn＝1，∵m＋n＝﹣2，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b＋c＝0，∴b＝a＋c，∵b2＝4ac，∴（a＋c）2＝4ac，解得：a＝c，∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．题型四：营销问题【例4】（2022·贵州毕节·中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？【答案】(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解；(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润；(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可．【详解】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，由题意可知：，解出：，故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，由题意可知：，解出：，设销售利润为元，则，∴是关于m的一次函数，且3＞0，∴随着m的增大而增大，当时，销售利润最大，最大为元，故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，解出：a1=3，a2=7，故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．【变式1】（2023·湖北宜昌·中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．(1)求豆沙粽和肉粽的单价；(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；豆沙粽数量肉粽数量付款金额小欢妈妈2030270小乐妈妈3020230①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．【答案】(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元(2)①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，依题意列一元一次方程即可求解；（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求解；②根据销售额=销售单价销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值．【详解】（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，依题意得，解得；则；所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；（2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意得，解得，所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②依题意得，解得或，，∴，．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意找到题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键．【变式2】（20-21九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）近年来，故宫不断推陈出新，将文化底蕴和流行时尚元素融合，设计出了众多的爆款文创产品，600岁的故宫成为新晋网红．小赵看到了商机，打算采购一批故宫文创商品进行销售．他以每条45元的价格购进150条编织红绳手链，再以每条65元卖出．结果编织红绳手链很受欢迎，销售一空，于是小赵准备购进第二批编织红绳手链．（1）若第二次购进的编织红绳手链成本是每条40元，售价不变且全部卖完，要使两次销售的手链总利润不低于14250元，那么第二次至少得购进多少条编织红绳手链？（2）在第二次销售中，小赵按照（1）中的最低数量购进编织红绳手链，由于市场受限，编织红绳手链购进成本比预计的40元多，为保证利润，小赵将售价提高，在销售过程中，因质量问题，有的编织红绳手链下架不售卖，结果第二次销售的获利比第一次销售的获利多了8250元，求m的值．【答案】（1）第二次至少购进450条编织的红绳手链．（2）m的值为20．【分析】（1）根据题意，设第二次购进x条，列出不等式，解不等式即可得到答案；（2）根据题意，先求出每件成本为，售价为，销售量为，然后列出方程，解方程即可得到答案．【详解】解：（1）设第二次购进x条，根据题意得，解得：；∴第二次至少购进450条编织的红绳手链．（2）根据题意，每件成本为：，售价为：，销售量为：，则，解得：或（舍去），∴，∴m的值为20．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而列出方程进行解题．【变式3】（20-21九年级上·重庆北碚·期末）俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬”，没有腊味，如何能算得土是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．（1）每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？（2）12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为3400元．12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了，每袋香肠的售价减少了元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了，香肠的销售量比上半月香肠的销售量增加了，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．【答案】（1）每袋腊肉进价为40元，每袋香肠进价为50元；（2）10．【分析】（1）设每袋腊肉的进价为x元，则每袋香肠的进价为(x+10)元，根据题意可列分式方程，求解即可．（2）根据题意可求出上半月腊肉销售量和香肠销售量，再用a表示出下半月调整售价后，腊肉的售价和销量、香肠的售价和销量．最后根据下半月利润，列出关于a的方程，解出a即可．【详解】（1）设每袋腊肉的进价为x元，则每袋香肠的进价为(x+10)元，根据题意可列方程：，解得：，经检验是原方程的解．故每袋腊肉进价为40元，每袋香肠进价为40+10=50元．（2）设上半月腊肉销售量为m袋，则上半月香肠销售量为袋．根据题意可列方程：，解出：，则上半月腊肉销售量为80袋，香肠销售量为60袋．下半月调整售价后，腊肉的售价为元，销量为袋；香肠的售价为元，销量为袋．下半月的利润为元．即可列出方程．∴．解得：，（舍）．故a的值为10．【点睛】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系是解答本题的关键．题型五：动态几何问题【例5】（22-23九年级上·贵州安顺·期末）如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：

(1)当x为何值时，为等腰三角形；(2)当x为何值时，的面积为；(3)当x为何值时，为等腰三角形．【答案】(1)当时，是等腰三角形(2)x为1或5时，的面积为(3)x为或时，是等腰三角形【分析】（1）由题意得，得，当为等腰三角形时，，得出方程，解方程即可；（2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可；（3）根据题意，分两种情况：①当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，，根据题意得：，∴，当为等腰三角形时，，∴，解得：，即当时，是等腰三角形；（2）解：由题意得：，整理得：，解得：，答：当x为1或5时，的面积为；（3）解：根据题意，分两种情况：①当时，如图1所示：

在和中，由勾股定理得：，，∴，解得：或（不合题意舍去），∴；②当时，如图2所示：

在和中，，，∴，解得：或（不合题意舍去），∴．综上所述，当x为或时，是等腰三角形．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法、勾股定理、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．【变式1】（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿．边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？(3)如果P，Q分别从A，B同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由．【答案】(1)1秒后的面积等于；(2)3秒后，的长度为；(3)不存在，理由见解析【分析】（1）经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）设运动时间为秒，则，，，再由勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）解：设经过x秒以后，面积为，此时，，，由，得，整理得：，解得：或（舍）；答：1秒后面积为；（2）解：设经过x秒后，的长度等于，由，即，解得：（舍去）或．则3秒后，的长度为；（3）解：设运动时间为秒，以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q时，则，，，由勾股定理，得，整理，得，∵，∴方程无实数解，∴不存在．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，由勾股定理列方程求解是解决问题的关键．【变式2】（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，为矩形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点Q以的速度向移动．(1)两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？(2)两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是？(3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？【答案】(1)两点从出发开始到秒时，四边形的面积为(2)两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是(3)经过秒或秒或秒或秒时，点组成的三角形是等腰三角形【分析】（1）设两点从出发开始到秒时，四边形的面积为，根据梯形面积公式列方程求解即可；（2）过点作于点，设两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离是，根据勾股定理列方程求解即可；（3）根据等腰三角形不同的腰进行分类讨论，求解即可．【详解】（1）解：设两点从出发开始到秒时，四边形的面积为，根据题意得：，，则，解得：，答：两点从出发开始到秒时，四边形的面积为；（2）解：过点作于点，设两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离是，根据题意可得：，，根据勾股定理得：，整理得：，解得：或，答：两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离是；（3）解：过点作于点，于点，设运动时间为，则，分三种情况：当时，，∵，∴；当时，在直角中，由勾股定理得：，解得：；当时，在直角中，由勾股定理可得，解得：（舍去）；综上所述：经过秒或秒或秒或秒时，点组成的三角形是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程．【变式3】（22-23九年级上·广东清远·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为秒．(1)当时，直接写出P，Q两点间的距离．(2)是否存在，使得是等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．(3)是否存在，使得的面积等于，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)或．【分析】（1）求出，，再利用勾股定理即可求出；（2）因为，所以当是等腰三角形时，只有，表示出，当时，；当时，；当时，；利用，即可求出t的值；（3）由（2）可知：，当时，；当时，；当时，；利用，解关于t的方程即可．【详解】（1）解：当时，由题意可知：，，∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴是等腰三角形时，只有，由题意可知：，∵Q从点B出发以每秒2cm的速度沿向点C匀速运动，到达点C后返回点B，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，∴当时，；当时，；当时，；∵∴，解得：，故不符合题意；，解得：，符合题意；，解得：，符合题意；综上所述：或；（3）解：假设存在t使得的面积等于，由（2）可知：，当时，；当时，；当时，；∴当时，；解得：或（舍去）当时，，解得：或（舍去）；当时，，因为，故无解，综上所述，当或时的面积等于．【点睛】本题考查动点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的几何应用，解题的关键是理解题意，结合图形表示出的值．1．（2024春•海淀区校级期中）如图，某单位准备将院内一块长，宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度．【分析】设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．【解答】解：设小道进出口的宽度为米，依题意得．整理，得．解得，，．（不合题意，舍去），．答：小道进出口的宽度应为1米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程．2．（2024•无锡校级二模）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价（元箱）与销售量（箱有如表关系：每箱售价（元6867666540每天销量（箱40455055180已知与之间的函数关系是一次函数．（1）求与的函数解析式；（2）水蜜桃的进价是40元箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了，同时水蜜桃的进货成本下降了，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了，7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少7120元，求的值．【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；（2）直接根据题意表示每箱的利润进而得出总利润等式求出答案；（3）根据题意分别表示出降价前后的利润进而得出等式求出答案．【解答】解：（1）设与之间的函数关系是：，根据题意可得：，解得：，故与之间的函数关系是：；（2）由题意可得：，解得：，，顾客要得到实惠，售价低，所以舍去，所以，答：要使顾客获得实惠，每箱售价是56元；（3）在（2）的条件下，时，，由题意得到方程：，解得：，（舍去），答：的值为20．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知7月份各量之间的变化得出等量关系进而求出是解题关键．3．（2023秋•射阳县期中）“黄桥烧饼全国闻名”，国庆节期间，黄桥某烧饼店平均每天可卖出300个烧饼，卖出1个烧饼的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，平均每天可多卖出100个，为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降元（1）零售单价下降元后，每个烧饼的利润为元，该店平均每天可卖出个烧饼（用含的代数式表示，需化简）；（2）在不考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的烧饼更多？【分析】（1）每个烧饼的利润等于原来利润减去零售单价下降的钱数即可得到；每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．【解答】解：（1）每个烧饼的利润为元，；（2）令．化简得，．即，．解得或．可得，当时卖出的烧饼更多．答：当定为0.4时，才能使商店每天销售该烧饼获取的利润是420元并且卖出的烧饼更多．故答案为：，．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．4．（2023秋•南关区校级期末）果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销