数学常考压轴题九年级人教版压轴题10圆的五种考法含答案及解析

压轴题10圆的五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、四点共圆 1类型二、圆中最值问题 14类型三、定点定长构造辅助圆 22类型四、定弦定角构造辅助圆 26类型五、对角互补构造辅助圆 33压轴能力测评（10题） 40类型一、四点共圆一．填空题1．（2022秋•大丰区期中）如图，中，，，．以为弦的圆分别交、于、两点．点在边上，且满足．若，则的面积的最小值是．二．解答题2．（2022秋•建湖县期中）如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．（1）若，则；（2）过点作于，判断、、之间的数量关系并证明；（3）若、，求的值．3．（2023秋•鄞州区期中）如图，在△中，点，为，上的点，，，交于，△与△的外接圆相交于点（异于，，分别为△和△的垂心．证明：（1）平分；（2），，三点共线．（注：利用坐标系、复数解题者不给分）4．（2022秋•沙坪坝区校级期中）在中，已知，作，是上一点，，连接、，在上截取，连接．（1）如图1所示，若，，求的周长；（2）如图2所示，若分别取、的中点、，连接、，求证：；（3）如图3所示，，，将沿着直线翻折得到，连接，直线交于点，为中点，当取得最小值时，请直接写出的面积．5．（2022秋•鼓楼区期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、；Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图；Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图．（1）在图1、2中，取的中点，根据得，即，，，共圆；（2）在图3中，画经过点，，（图．假设点落在外，交于点，连接，可得，所以，得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论Ⅲ同理可证．（3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）（4）如图7，点是外部一点，过作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且点，，在同一条直线上．求证：点在的外接圆上．类型二、圆中最值问题一．填空题1．（2022秋•长沙期中）如图，的半径为1，，为的切线，切点为，，，点为劣弧上一动点，过点作的切线，分别交，于点，，的最小值是．二．解答题2．（2022秋•东城区校级期中）对于平面直角坐标系中的图形和点给出如下定义；为图形上任意一点，若，两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的倍，则称点为图形的“分点”．已知点，，，．（1）①在点，，中，线段的“分点”是；②点，若点为线段的“二分点”，求的值；（2）以点为圆心，为半径画图，若线段上存在的“二分点”，直接写出的取值范围．3．（2022秋•江阴市期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点在轴的正半轴上，且，以点为圆心，1为半径画，与轴交于点（点在点的下方），点是的中点，点是上的一个动点，从点开始以5度秒的速度沿圆周逆时针运动一周，设运动时间为秒．（1）如图1，连接，当时，求的值；（2）如图2，点在运动过程中，连接，以为边在左侧作等边，①当秒时，求点的坐标；②连接，当最大时，求此时的值和这个最大值．类型三、定点定长构造辅助圆一．填空题1．（2023秋•常州期中）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，的最大值为．二．解答题2．（2022秋•秀洲区期中）如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点．（1）小智同学通过思考推得当点在上方时，的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：，、、三点在以为圆心以为半径的圆上．．（2）若，求的长．（3）线段最大值为；若取的中点，则线段的最小值为．类型四、定弦定角构造辅助圆一．填空题1．（2023春•梁子湖区期中）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为．二．解答题2．（2023秋•滨海县期中）（1）【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．①已知：如图1，，若，求的度数．解：若以点为圆心，为半径作辅助圆，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到．②如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值．解：，，点在以为直径的圆上，设圆心为点，则、、三点共线时最小，最小值为．（2）【问题解决】①如图3，在平行四边形中，已知，，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为．②如图4，△中，，，，为上一动点，以为直径的交于，求线段的最小值．（3）【问题拓展】如图5，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，当最大时，直接写出点的坐标．3．（2022秋•泗洪县期中）已知：和外一点．（1）如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：．（2）尺规作图：在图乙中，过点画的两条切线、，、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）．类型五、对角互补构造辅助圆1．（2021秋•越秀区校级期中）如图1，在中，，平分，且于点．（1）判断的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若，，，求的长；（3）如图3，在（1）的结论下，若将绕着点顺时针旋转得到，连接，作交于点．试探究与的数量关系，并说明理由．2．（2021秋•西城区校级期中）如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．（1）求证：；（2）延长交于点，求证：为的中点；（3）若的边长为1，直接写出的最大值．3．（2023秋•东城区校级期中）如图1，在中，，，直线是过点的直线于点，连接．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段，，之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点作，交于点，进而得出：．（2）探究证明将直线绕点顺时针旋转到图2的位置写出此时线段，，之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线绕点旋转的过程中，当面积取得最大值时，若长为1，请直接写的长．1．（2023秋•旌阳区校级期中）如图，在中，直径，于点，．点是弧上动点，且与点、不重合，是直径上的动点，设，则的取值范围是A． B． C． D．二．解答题2．（2023秋•义乌市期中）如图1，在中，，，，是的中点．经过，，的交于点．（1）求的长．（2）当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动点．记，．①求关于的表达式．②连结，当的面积最大时，求的值．（3）如图2，连结，，延长交于点，连结．当与中的某一边相等时，求四边形的面积．

压轴题10圆的五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、四点共圆 1类型二、圆中最值问题 14类型三、定点定长构造辅助圆 22类型四、定弦定角构造辅助圆 26类型五、对角互补构造辅助圆 33压轴能力测评（10题） 40类型一、四点共圆一．填空题1．（2022秋•大丰区期中）如图，中，，，．以为弦的圆分别交、于、两点．点在边上，且满足．若，则的面积的最小值是．【分析】连接，利用四点共圆和同弧所对的圆周角相等证明，从而得到△，当最小时，的面积就最小，作的外接圆，过点作交于点，连接、，，当最小时，就最小，当、、三点共线时，最小，此时，在中，，求出，可得的最小值为，再求，即的面积的最小值为．【解答】解：连接，，，，，，，、、、四点共圆，，，，，，，，△，，，，，边上的高，当最小时，的面积就最小，作的外接圆，过点作交于点，连接、，，，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，，当最小时，就最小，，当、、三点共线时，最小，此时，，在中，，解得或，，，的最小值为，，的面积的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆心角与圆周角的关系，四点共圆的性质，三角形外接圆的性质是解题的关键．二．解答题2．（2022秋•建湖县期中）如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．（1）若，则；（2）过点作于，判断、、之间的数量关系并证明；（3）若、，求的值．【分析】（1）根据四边形外接圆的性质，同弧所对的圆周角相等，可得；（2）过点作于点，可证明，，则；（3）在中，，在中，，再求解即可．【解答】解：（1）四边形是圆的内接四边形，，是四边形的一个外角，，，，弧所对的圆周角分别为、，，，，故答案为：75；（2）过点作于点，，，，，，，，，，又，，，，，即；（3）在中，，在中，，，，，，，．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，四点共圆的性质，直角三角形勾股定理，三角形全等的判定及性质是解题的关键．3．（2023秋•鄞州区期中）如图，在△中，点，为，上的点，，，交于，△与△的外接圆相交于点（异于，，分别为△和△的垂心．证明：（1）平分；（2），，三点共线．（注：利用坐标系、复数解题者不给分）【分析】（1）通过证明△△得出，然后由推导出，再由邻补角的性质得出，即可证明结论；（2）根据题意构造、、、四点共，以及、、、四点共，然后由相似三角形推导出点、对于和等幂，再由根轴的性质得出是的垂直平分线，最后根据得到，进而证得三点共线．【解答】（1）证明：在△和△中，，，，△△．，，为△的外接圆半径）．．又，，平分．（2）证明：连接、并延长分别交于、，连接、并延长交于、．中点为，中点为，，、、、四点共．，，、、、四点共．，△，△△，，．同理得．点、对于和等幂，，在和的根轴上．和的根轴是过两圆的交点的直线．，在和的公共弦上．又，即和是等圆，四边形为菱形．是的垂直平分线，为中点．由（1）知△△，、分别为△和△的对应边上的中线，，点在的垂直平分线上．，，三点共线．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆幂定理，菱形的性质，等腰三角形的性质等．本题辅助线繁多，综合性强，通过四点共圆判断出、两点对于和等幂是解答本题的关键．4．（2022秋•沙坪坝区校级期中）在中，已知，作，是上一点，，连接、，在上截取，连接．（1）如图1所示，若，，求的周长；（2）如图2所示，若分别取、的中点、，连接、，求证：；（3）如图3所示，，，将沿着直线翻折得到，连接，直线交于点，为中点，当取得最小值时，请直接写出的面积．【分析】（1）过点作于，则，由，可得，设，则，由勾股定理可得，，可得，，利用勾股定理可得，进而可得，即可求得答案；（2）延长至，使，在上截取，连接，，设，则，可证得是等边三角形，得出：，，再证得，可得，利用三角形中位线定理可得，再由直角三角形性质可得，即可证得结论；（3）连接，先证得点在的外接圆上，当且仅当点为半径经过点时，取得最小值，连接，过点作于，利用解直角三角形可得，，，，，，由勾股定理可得，，再利用，即可求得答案．【解答】（1）解：过点作于，则，，，，，，，，，设，则，，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，的周长；（2）证明：延长至，使，在上截取，连接，，设，则，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，在和中，，，，，，、分别是、的中点，，点是斜边的中点，，；（3）解：如图，连接，由翻折得：，，，，，，，，，，，点在的外接圆上，当且仅当点为半径经过点时，取得最小值，如图，连接，过点作于，，，，，，，，，，在中，，，，，．【点评】本题是几何综合题，考查了等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的判定，三角形面积等，涉及知识点多，难度大，添加适当的辅助线是解题的关键与难点．5．（2022秋•鼓楼区期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、；Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图；Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图．（1）在图1、2中，取的中点，根据得，即，，，共圆；（2）在图3中，画经过点，，（图．假设点落在外，交于点，连接，可得，所以，得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论Ⅲ同理可证．（3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）（4）如图7，点是外部一点，过作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且点，，在同一条直线上．求证：点在的外接圆上．【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质可得结论；（2）由圆周角的性质可得，再结合题干条件，得出矛盾，由此可得出结论；（3）如图，连接，由点、、、四点共圆得，由点、、、四点共圆得，从而证明即可；（4）连接和，由点，，，四点共圆可得，，由点，，，四点共圆可得，再由外角的性质及角的和差可得，由此可得点，，，四点共圆，即点在的外接圆上．【解答】解：（1）在图1、2中，取的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，即，，，共圆；故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）在图3中，画经过点，，（图．假设点落在外，交于点，连接，可得，，得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论Ⅲ同理可证．故答案为：；；（3）如图6，连接，由点、、、四点共圆得，由点、、、四点共圆得，，，，，，为的边上的高．（4）如图7，连接和，由点，，，四点共圆可得，由点，，，四点共圆可得，，，，，，点，，，四点共圆，即点在的外接圆上．【点评】本题考查了圆的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，内心的定义．第（3）（4）题解题关键是选取适当的四点证明共圆，再利用圆周角定理证明角相等．类型二、圆中最值问题一．填空题1．（2022秋•长沙期中）如图，的半径为1，，为的切线，切点为，，，点为劣弧上一动点，过点作的切线，分别交，于点，，的最小值是．【分析】由切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形外心的性质，可以求解．【解答】解：连接，，，，，，为的切线，切于，，，，四边形内角和是，，，，，，，同理：，，设的外心是点，作于，连接，，，，点是的外心，，，，，，，，，，，，，，的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查有关圆的最值问题，关键是掌握切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形外心的性质．二．解答题2．（2022秋•东城区校级期中）对于平面直角坐标系中的图形和点给出如下定义；为图形上任意一点，若，两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的倍，则称点为图形的“分点”．已知点，，，．（1）①在点，，中，线段的“分点”是；②点，若点为线段的“二分点”，求的值；（2）以点为圆心，为半径画图，若线段上存在的“二分点”，直接写出的取值范围．【分析】（1）①分别求出点、、到线段的最小值和最大值，看是否满足“分点”定义即可，②对的取值分情况讨论：，，和，根据“二分点”的定义可求解，（2）设线段上存在的“二分点”为，．对的取值分情况讨论，且，且，，根据二分点的定义可求解．【解答】（1）解：①如图，点在上，故最小值为0，不符合题意，点到的最小值为，最大值为，点是线段的“分点”，点到的最小值为1，最大值为点不是线段的“分点”，故答案为：点；②当时，点到的最小值为，点到的最大值为，点为线段的“二分点”，，即，△，故无解，舍去；当时，点到的最小值为1，点到的最大值为，最大值不是最小值的2倍，所以舍去，当时，点到的最小值为1，点到的最大值为，点为线段的“二分点”，，（舍去），当时，点到的最小值为，点到的最大值为，点为线段的“二分点”，同时，无解，舍去；综上，．（2）如图所示，设线段上存在的“二分点”为，，当时，最小值为：，最大值为：，，即，，，当且时，最小值为：，最大值为，，即，，，，不存在，当且时，最小值为：，最大值为：，，即，，，不存在．当时，最小值为：，最大值为：，，即，．综上所述，的取值范围为或．【点评】本题考查坐标上的两点距离，勾股定理，点到圆的距离．根据题目所给条件，掌握“分点”的定义是解题的关键．3．（2022秋•江阴市期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点在轴的正半轴上，且，以点为圆心，1为半径画，与轴交于点（点在点的下方），点是的中点，点是上的一个动点，从点开始以5度秒的速度沿圆周逆时针运动一周，设运动时间为秒．（1）如图1，连接，当时，求的值；（2）如图2，点在运动过程中，连接，以为边在左侧作等边，①当秒时，求点的坐标；②连接，当最大时，求此时的值和这个最大值．【分析】（1）如图，过点作，交于点，，由平行得出点的旋转角，进而可得出时间；（2）①将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，易证△，所以，；过点作轴于点，过点作于点，所以，由互余可知，，所以，，所以，，，则，，进而可得点的坐标；②由旋转可知，点在以点为圆心，1长为半径的圆上运动，当最大时，点，，三点共线，设与轴的另一个交点为，则，，由点是的中点可知，，，，，进而可得，所以，易证△，进而可得△，所以，即此时点与点重合，所以．【解答】解：（1）如图：是直角三角形，是中点，，，又，，点的轨迹是中圆心角所对的弧，，当点运动到延长线与的交点时，点的轨迹是中圆心角所对的弧，．故的值为6或42；（2）①如图，，，，，当时，，，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，由旋转可知，，，是等边三角形，，，，△，，，过点作轴于点，过点作于点，，，，，，，，，，，，，．，；②由旋转可知，点在以点为圆心，1长为半径的圆上运动，当最大时，点，，三点共线，如图所示，设与轴的另一个交点为，，，点为的中点，，，由①可知，，，，，，，，，，，△，，，，△，，即此时点与点重合，．综上，，最大值是4．【点评】本题属于圆的综合题，涉及考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的相似与判定，含的直角三角形的三边关系，根据题意得出点的轨迹是解题关键．类型三、定点定长构造辅助圆一．填空题1．（2023秋•常州期中）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，的最大值为．【分析】先判断出点的运动轨迹是在半径为2的上，再取，连接，则是的中位线，，进而可得最大值时，取最大值，此时、、三点共线，计算即可求出结果．【解答】解：为坐标平面内一点，，点的运动轨迹是在半径为2的上，如图，取，连接，点为线段的中点，是的中位线，，最大值时，取最大值，此时、、三点共线，此时在中，，，的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查了坐标和三角形的中位线，定点定长构造辅助圆等，解题关键是确定点的运动轨迹．二．解答题2．（2022秋•秀洲区期中）如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点．（1）小智同学通过思考推得当点在上方时，的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：，、、三点在以为圆心以为半径的圆上．．（2）若，求的长．（3）线段最大值为；若取的中点，则线段的最小值为．【分析】（1）根据，得、、三点在以为圆心以为半径的圆上，根据圆周角定理可知的度数；（2）由是等腰三角形可求出，利用勾股定理求出的长，从而得出答案；（3）根据直径是圆中最大的弦知当经过圆心时，线段的最大值为，取的中点，连接，可证，则点在以为直径的圆上，当经过点时，最短，此时，从而解决问题．【解答】解：（1），、、三点在以为圆心以为半径的圆上，，故答案为：，45；（2）由折叠可知，垂直平分，，设、交于点，则，，，，在中，由勾股定理得，，；当点在的下方时，如图，，、、三点在以为圆心以为半径的圆上，，即，由翻折可知，，，是等腰直角三角形，，在中，，，综上所述，的长为或；（3），，，三点在以为圆心，以为半径的圆上，当经过圆心时，线段的最大值为，在中，，，，，，连接，取的中点，连接，如图，垂直平分，，，，，，，点在以点为圆心，为直径的圆上，，点在上，当经过点时，最短，此时，，，即线段的最小值为，故答案为：8；．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，利用定点定长构造辅助圆是解题的关键．类型四、定弦定角构造辅助圆一．填空题1．（2023春•梁子湖区期中）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为．【分析】先找出点的运动路线为以为直径的圆，设圆心为，作点关于直线的对称点，连接交于点，可推出的长即为的最小值，再求出的长即可．【解答】解：四边形是矩形，，，，点的运动路线为以为直径的圆，作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，，则，，，的最小值为；连接，四边形是矩形，点是的中点，点为的中点，，，，四边形是矩形，，点关于直线的对称点，，在△中，由勾股定理，得，的最小值为，故答案为：7．【点评】本题考查轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，能利用一条线段的长表示两线段的和的最小值是解题的关键．二．解答题2．（2023秋•滨海县期中）（1）【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．①已知：如图1，，若，求的度数．解：若以点为圆心，为半径作辅助圆，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到．②如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值．解：，，点在以为直径的圆上，设圆心为点，则、、三点共线时最小，最小值为．（2）【问题解决】①如图3，在平行四边形中，已知，，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为．②如图4，△中，，，，为上一动点，以为直径的交于，求线段的最小值．（3）【问题拓展】如图5，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，当最大时，直接写出点的坐标．【分析】（1）①利用圆周角定理即可求得答案；②由正方形性质可得：，，，由勾股定理得：，推出点在以为直径的上，则、、三点共线时最小，即可求得答案；（2）①过点作于，利用解直角三角形得，，，由勾股定理得，再由，可得点在以为圆心为半径的上，即当、、三点共线时最小，的最小值；②连接，由是的直径，可得，推出，即点在以为直径的圆上，进而可得当、、三点共线时，最小，运用勾股定理即可求得答案；（3）当最大时，过、两点的与轴相切，利用待定系数法可得直线的解析式为，线段的垂直平分线为，设，根据，建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）①如图1，以点为圆心，为半径作辅助圆，，，，故答案为：25．②点为正方形内一点，且，若，求的最小值．如图②，以为直径作，四边形是正方形，，，，在△中，，，，点在以为直径的上，则、、三点共线时最小，的最小值，故答案为：．（2）①如图3，过点作于，，，，则，，，在△中，，点与点关于直线对称，，点在以为圆心为半径的上，当、、三点共线时最小，的最小值，故答案为：．②如图4，连接，是的直径，，，即点在以为直径的圆上，以为直径作，交于，当、、三点共线时，最小，△中，，，，，，，故线段的最小值为．（3）当最大时，过、两点的与轴相切，设直线的解析式为，把，代入，得：，解得：，直线的解析式为，线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上，线段的垂直平分线为，设，，，解得：或（舍去），点的坐标为，，故答案为：．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．3．（2022秋•泗洪县期中）已知：和外一点．（1）如图甲，和是的两条切线，、分别为切点，求证：．（2）尺规作图：在图乙中，过点画的两条切线、，、为切点（要求：保留作图痕迹，不写作法）．【分析】（1）如图，连接、、．只要证明，可得．（2）以为直径作，两圆交于点、，直线、即为所求；【解答】解：（1）如图，连接、、．、是切线，，，，在和中，，，．（2）以为直径作，两圆交于点、，直线、即为所求；【点评】本题考查切线的性质、全等三角形的判定和性质，直径的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．类型五、对角互补构造辅助圆1．（2021秋•越秀区校级期中）如图1，在中，，平分，且于点．（1）判断的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若，，，求的长；（3）如图3，在（1）的结论下，若将绕着点顺时针旋转得到，连接，作交于点．试探究与的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由，知点、、、上四点共圆，则，即可得出结论；（2）将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的垂线，交的延长线于，得是等腰直角三角形，从而可解直角三角形，在中，利用勾股定理得可求出的长度，从而解决问题；（3）在上截取，利用证明，得，，可证明、是等腰直角三角形，从而解决问题．【解答】解：（1），平分，，，点、、、上四点共圆，，，是等腰直角三角形；（2）将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的垂线，交的延长线于，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，在中，由勾股定理得，；（3）．，理由如下：如图，在上截取，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，四点共圆等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（2021秋•西城区校级期中）如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．（1）求证：；（2）延长交于点，求证：为的中点；（3）若的边长为1，直接写出的最大值．【分析】（1）利用证明，即可得出结论；（2）过点作交的延长线于点，利用等角对等边可得，由（1），得，再利用证明，从而解决问题；（3）由（2）知，则点，，，四点在以为直径的圆上，故的最大值为直径．【解答】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到线段，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，，在和中，，，；（2）证明：如图，过点作交的延长线于点，，，，，，由（1）可知，，，，，，，，，，在和中，，，，即为的中点；（3）解：如图，连接，是等边三角形，，，，，点，，，四点在以为直径的圆上，的最大值为直径，即最大值为1．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．（2023秋•东城区校级期中）如图1，在中，，，直线是过点的直线于点，连接．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段，，之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点作，交于点，进而得出：．（2）探究证明将直线绕点顺时针旋转到图2的位置写出此时线段，，之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线绕点旋转的过程中，当面积取得最大值时，若长为1，请直接写的长．【分析】（1）由题意：，推出