2024-2025学年浙教版九年级数学上册专项复习：相似三角形常见模型之平行类相似（4大题型）含答案

专题突破4-1：相似三角形常见模型之平行类相似

01常考题型

题型1A字图及斜A型相似/\-------题型28字图相似

相似三角形常见模型

之平行类相似--------——

题型3平行类相似与特殊平行四边形的结合\QTIJKTHI以I-------题型4的亍类相似的综合

02技巧解密

一、A字图及其变形“斜A型”

☆:斜/型在圆中的应用:

如图可得：APABSAPCD

☆:"字图”最值应用

/字图中作动态矩形求最大面积时，通常当儿加为A48C中位线，矩形面积达到最大值!

试卷第1页，共12页

A

二、8字图及其变形“蝴蝶型”

当AB〃CD时

△AOB^ADOC

性质：

AB_OAOB

CD=OD=OC

当NA=NC时，

AAJB^ACJD

性质：

ABJAJB

CDJCJD

☆:“蝴蝶型”常见应用

①常出现在“圆”中，直接由相交弦得到，求角度相关此时注意“同弧所对圆周角相等”的应用;

②出现在“手拉手模型”中，用于证明“两直线垂直”或者“两直线成一固定已知角度”

☆：/字图与8字图相似模型均是由“平行”直接得到的，二有“||"，多想此两种模型

常见“〃”的引入方式：

①直接给出平行的已知条件；

②平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等几何图形中自带的平行；

③由很多中点构造的“中位线''的平行；

④根据线段成比例的条件或结论自己构造平行辅助线；

03题型突破

题型一A字图及其变型“斜A型”

试卷第2页，共12页

【例1】.（2023秋•兰溪市校级期中）

1.如图，在△NBC中，。是边上一点，过点D作DE〃BC交4c于点E,若

AD-.DB^A,则义叱：S.ABC的值为（）

【变式11].（2023秋•婺城区校级期中）

2.如图，。是△48C边上一点，连接CD,则添加下列条件后，仍不能判定

的是（）

ZACD=ZBB.ZADC=ZACB

ADCD

D.AC1=ADAB

ACBC

【变式1-2].（2023秋•河东区期末）

3.如图，在△NBC中，点P在边N8上，则在下列四个条件中：①N4CP=/B；②

ZAPC=/ACB；@AC2=AP-AB；@AB•CP=APCB,能满足△APC与△/C8相似的

条件以及性质的是（）

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③

【变式1-3].（2024秋•西湖区校级月考）

试卷第3页，共12页

4.如图，正方形"NP0内接于A/8C,点M、N在8C上，点尸、。分别在/C和4B边上,

且8C边上的高40=6cm,SC=12cm,则正方形必⑦。的边长为.

【变式1-4].（2024秋•义乌市期中）

5.在矩形中，AB=4,AD=6,E是2C的中点，连接过点。作。尸，4s于

点尸.

（1）线段。厂的长为

⑵连接盘，若"交。"点跖则黑

【变式1-5].（2023秋•婺城区校级月考）

6.如图，在钝角三角形4BC中，AB=6cm,/C=12cm,动点。从/点出发到3点止,

动点£从C点出发到/点止.点。运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒.如

果两点同时运动，那么当以点/、D、£为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间

是.

7.如图，四边形为平行四边形，£为边/。上一点，连接NC、BE,它们相交于点

试卷第4页，共12页

（2）若4E=2,EF=1,C尸=4,求的长.

【变式1-7].（2021秋•娄星区校级期中）

8.某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼

睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）.已知小明的跟晴离地面L6米，凉

亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高

为1.7米.请根据以上数据求出城楼的高度.

E

【变式1-8].（2024•温州模拟）

9.如图，在矩形48co中，AB=2AD,点£在CD上，ZDAE=45°,尸为2c的中点,

连接AF,分别交AD于点G,H,连接斯.

⑴求证：BD=2EF.

（2）当即=6时，求G”的长.

题型二8字图及其变型“蝴蝶型”

【例2】.（2024秋•杭州月考）

10.如图，线段/8、CD的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点若每个小正

方形的边长都是1,则段的值是（）

试卷第5页，共12页

【变式2-1].（2014秋•宁海县月考）

27

11.半圆。的直径48=9,两弦48、相交于点E,弦CD=《,且AD=7,则。E=

D

【变式2-21.（2019•丹江口市模拟）

12.如图所示，在正方形N8CD中，G为CD边中点，连接/G并延长交8C边的延长线于

E点、,对角线AD交NG于尸点.已知尸G=2,则线段/£的长度为.

【变式2-3].（2024•钱塘区三模）

13.如图，在菱形4BCD中，点E在边/。上，连结CE交对角线8。于点尸，过点E作EG〃48

交BD于点G.

(1)若CD=CE,ZA=110°,求N8CF的度数.

⑵若AD=15,DE=2AE,求尸G的长.

⑶求证：DF2=FGBF.

【变式2-4].(2024•瑞安市校级模拟)

试卷第6页，共12页

14.如图，在四边形/BCD中，BC//AD,BC=5,AD=9.点E在线段/C上，EF//BC

交4B于点、F,EG〃CD交AD于点、G,FG交AC千点、H,连结50.

（1）试判断尸G与AD的位置关系，并说明理由.

⑵求黑的值.

（3）若E为NC的中点，80=12,求尸G的长.

题型三平行类相似与特殊平行四边形的结合【例3】.（2024秋•义乌市校级月考）

15.在平行四边形4SC7?中/N=,贝US.ADN：S四边形CMA®为（）

【变式3-1].（2024•温州三模）

16.如图，正方形N8C。由四个全等的直角三角形拼接而成，连结Z7F交于点若

【变式3-2].（2024秋•海曙区校级月考）

17.如图，菱形/BCD中，对角线/C、8。交于点O,EFLBD,垂足为点“，EF分

试卷第7页，共12页

别交AD、。。及8C的延长线于点£、M、F,且EDCF=1：2,则D/：的值为（）

【变式3-3].（2024秋•海曙区校级月考）

18.如图，已知在矩形48CZ）中，〃■是4D边的中点，3M与NC垂直，交直线NC于点N,

连接。N,则下列四个结论中：@CN=2AN；®DN=DC；③鼻=应；

④AAMNSACAB.正确的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【变式3-4].（2024秋•西湖区校级月考）

19.如图，在ZUBC中，点。E,厂分别在边”,/C,3C上，连接DE,EF.已知四边形跳地

np1

是平行四边形，

DC4

（1）若A8=4,求线段的长；

（2）若△/£>£的面积为2,求平行四边形BFED的面积.

【变式3-5].（2024•鹿城区校级三模）

20.如图1,在菱形N8CD中，BELAD于点、E,G为C。的中点，延长GE交创的延长线

于点尸，已知/48£=30。，AB=3.氤P,0分别在线段GE、AB1.（不与端点重合），且

满足PG=Jl4。，设NQ=x,PF=y.

试卷第8页，共12页

BB

⑴求证：GE=EF.

(2)求y关于x的函数表达式.

(3)如图2,连结尸。.

①当尸。与r的一边垂直时，求x的值.

②当点。落在。尸的延长线上时,记尸。与班的交点为年求^的值.

题型四平行类相似的综合

【例4】.(2023秋•拱墅区月考)

21.以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格,4B、C、。均在格点上.

图①图②图③

(1)在图①中，言PD的值为;

(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.

①如图②，在48上找一点尸，使工尸=3；

②如图③，在8。上找一点尸，使ZUPBsACPD.

【变式4-1].(2024•上城区一模)

22.如图，点。为△4BC的边/C上一点，延长8。至点尸，使得CF〃48,点E在线段2c

试卷第9页，共12页

(2)若N/8C=60。，BD平分N4BC,求AD的长.

【变式4-21.(2024秋•诸暨市校级月考)

23.【阅读与思考】

下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务.

图1

如图1,在△NBC中，中线NDCE相交于点G,连接DE,

■-D,E分别是2C,48边的中点，

•・•①•

:.DE//AC,^.DE=-AC.

2

s，s

BE_BDDEEG_DGDE

',~BA=~BC=7c=2fCG=AG=AC=2

任务：

(1)笔记中横线部分应填写①；②S，S

(2)如图2,在4MNH中，点、K,Z分别在MN,MH边上,连接4K,⑶交于点E若

MK=；MN,ML=；MH,猜测狂与上小的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,在平行四边形4BCL•中，点£、F、G分别是BC、CD的中点，BELEG,

AB=3,AD=275.求4尸长.

【变式4-3].(2023秋•义乌市月考)

24.如图，在口48。中，48=10,2到的距离为6,点尸是CD边上的动点，连接AP

并延长直线/。于点E,将ABCP沿直线8E折叠到△8CP,直线8C'交直线4D于点尸.

(1)求证：BF=EF.

试卷第10页，共12页

⑵若四边形/BCD为菱形，且。尸=2,求正的值.

(3)若点P为CA的中点，在改变的过程中，当尸成为以为腰的等腰三角形时，

求/O的长.

【变式4-4].(2023•西湖区校级二模)

25.如图，平行四边形/BCD中，/C与3D相交于点O,点尸为BC中点，4P交BD于点、

E,连接CE,AE=CE.

⑴求证：平行四边形N2C。为菱形；

(2)若/8=5,AE=3,

①求差CF的值.

BE

②求AD的长.

【变式4-5].(2023•永嘉县三模)

4

26.如图1,在中，乙4=90。，AB=6,sinB=y.点。为的中点，过点。

作射线交/C于点点"为射线。E上一动点，过点M作于点N,点

Apd

P为边ACk一点,连结NO,且满足言==，设BN=x,NP=y.

BN5

(1)求线段MN的长.

(2)求了关于x的函数表达式.

(3)如图2,连结MP.

①当△〃相为等腰三角形时，求x的值.

②以点”为旋转中心，将线段MP按顺时针方向旋转90。得线段当点P落在BC边上

试卷第11页，共12页

时，求一二的值•

试卷第12页，共12页

1.D

【分析】由题意易得4。:。8=3:1,LADES^ABC,然后根据相似三角形的性质可求

解.

【详解】解：■■-DE//BC,

.-./\ADE^/\ABC,

AD:DB=3A,

AD:AB-3:4,

故选：D.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题

的关键.

2.C

【分析】本题考查添加条件证明三角形相似.根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例

且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断是解题的

关键.

【详解】A.当乙4。。=/8时，再由乙4=44,可得出△NCQS4ZHC,故此选项不符合题

.五一

忌；

B.当N/DC=N4C8时，再由//=//,可得出△/CDS^XBC,故此选项不符合题意；

C.当笔=品时，再由4无法判定△/CDs△/BC,故此选项符合题意；

ACBC

4cAD

D.当AC?=AD・AB,即F=F时，再由44=44,可得出,故此选项

ABAC

不符合题意.

故选C.

3.D

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知“两组对应角相等的两个三角形相似，两

边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键.

【详解】解：由//CP=/8,ZA=ZA,可以根据两组对应角分别相等的两个三角形相似

证明△4PCsZX/cB,故①正确；

由=ZA=ZA,可以根据两组对应角分别相等的两个三角形相似证明

答案第1页，共36页

△4PCs4ACB,故②正确；

ATAU

由4。2=/尸.43可得黑=嘿，再由乙4=44,可以根据两组对应边成比例，且它们的夹

APAC

角相等的两个三角形相似证明△/PCs△/C3,故③正确；

由=/尸结合乙4=44不能证明△/PCsa/CB,故④错误；

故选D.

4.4cm

【分析】图中的长等于正方形"N尸。的边长.欲求正方形MNP0的边长即的长，已

知5C和AD的长，4E可用尸。表示出来，考虑借助相似三角形的性质解题.

【详解】解：设正方形”〜尸。的边长为xcm,

•・•四边形Z5CQ是正方形，

:.MN=QM=PQ=xcm,ZPQM=ZQMN=90°

•・弘0是BC边上的高，

・•・ADVBC,

••・四边形。现加是矩形，

:.NDEQ=90°,DE=MQ=xcm,PQ//BC,

・•・AELPQ,

则£Z）=xcm,AE-AD-x=（6-x）cm.

・・,四边形MNP。是正方形，

PQ//BC.

.•.△APQSAACB.

又_L，

AEPQ

5C*

vPQ=xcm,AE=（6-x）cm,SC=12cm,AD=6cm,

6-x_x

6~12f

解得x=4.

故答案为：4cm.

【点睛】本题考查了矩形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，垂线定

义，掌握矩形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键.

答案第2页，共36页

248

y9

【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线分线段

成比例定理.

(1)利用三角形面积相等，列出等式，求解即可；

(2)延长。尸交C2的延长线于K,利用相似三角形的性质求出KE,再利用平行线分线段

成比例定理求解即可.

【详解】解：(1)根据题意，画出图：

A_________________D

•••四边形/日刀是矩形，

...CD=AB=4,BC=AD=6,ZB=ABAD=ZC=90°,

•・•£是5c的中点，

.-.BE=-xBC=-x6=3,

22

在RtAABE中，vAB2+BE1=AE2,

•1•AE=yjAB2+BE1=V42+32=5，

■：DFVAE,

,c\--A--D----A--B-----A--E----D--F--

AD・AB=AEDF,

“ADAB24

DF=-------=—；

AE5

24

故答案为：—；

(2)若4C交。尸于点延长。尸交5C延长线于点K,如图所示:

答案第3页，共36页

1Q7

：,EF=AE-AF=5——=-,

55

vZKEF=ZAEB,ZEFK=ZABE=90°,

AKEFS八AEB，

Kz空

/£

7

-

£35

---

3

，CK=KE+EC=1+3=应,

33

•・•AD//CK,

MAMDSACMK

CM_CK

•・而一而一

Q

故答案为：—.

9

6.3秒或4.8秒

【分析】本题考查相似三角形性质.根据题意分情况讨论列式求解即可求出本题答案.

【详解】解：如果两点同时运动，设运动，秒时，以点/、D、E为顶点的三角形与△NBC

相似，

则=CE=2t,AE^AC-CE=\2-2t,

①当。与8对应时，有LADEs44BC.

AD：AB=AE：AC,

."：6=(12-2。：12,

Z=3；

答案第4页，共36页

②当D与C对应时，有AADESAHCB.

AD：AC=AE：AB,

M2=(12-2r)：6,

t=4.8.

故答案为：3秒或4.8秒.

Q

7.(1)详见解析；(2)-

【分析】(1)利用平行四边形的性质得到4。|山。，贝！JS4C=乙4c5,然后证明

△EAFFEBA,则利用相似三角形的性质得到结论；

(2)先利用/〃=①7喈£计算出2E=4,则3/=3,再由/EII3C,利用平行线分线段成比

4

例定理计算出4月=§,然后利用尸〜△£",根据相似比求出45的长.

【详解】(1)证明：•・・四边形4BCQ为平行四边形，

・・/。|的C,

；/DAC=UCB,

••,UCB=UBE,

・•・乙DAC=UBE,

“EAF=Z-EBA,Z.AEF=乙BEA,

•••△EAFFEBA,

.'.EA：EB=EF：EA,

：・AE2=EF・BE；

(2)・：AE2=EF・BE,

22

・・.5£=—=4,

1

••.BF=BE-EF=4-1=3,

-AEWBC,

AFEFAF1,4

----------，即nn---=—，解倚AF=一,

FCBF433

•••△EAF〜AEBA,

4

AFEF-1

・•・——=——,即nn3=一

ABAE木2

AD

8

；・AB=—.

3

答案第5页，共36页

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形

中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般

方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系.也

考查了平行四边形的性质.

8.5.9米.

【分析】如图（见解析），过点A作/于点交CD于点N,先根据矩形的判定

与性质可得NN=2米，NM=40米，DN=MF=1.6米,CN=0.3米，再根据相似三角形的

ANCN

判定可得然后根据相似三角形的性质可得=y由此可得的长,

AMEM

最后根据GF=EM+-EG即可得出答案.

【详解】解：如图，过点A作/尸于点M,交CA于点N,

E

BDF

H——>+<----------------H

2米38米

则四边形ABDN和四边形ABFM都是矩形，

MF=AB=DN,AN=BD,AM=BF,CD//EF,

由题意得：A8=L6米，CZ>=1.9米，BD=2米,=38米，£G=1.7米，

；./N=2米，加=8。+。尸=40米，DN=MF=L6米,CN=CD-DN=03米,

■：CD//EF,

:.AACN~AAEM,

,ANCN2_0.3

"IMs40

解得£M=6（米），

则城楼的高度为GW=EM+MF—EG=6+1.6-1.7=5.9（米），

答：城楼的高度为5.9米.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用等知识点，通过作辅助线，构造相似三

角形是解题关键.

9.（1）见解析

答案第6页，共36页

（2）4

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及三角形的中位线定理：

（1）根据矩形的性质得出28=CD=2/。，NADC=ND4B=90。,结合直角三角形的性质、

等腰三角形的判定求出则O£=CE,即可求出所是的中位线，根据三

角形中位线的性质求解即可；

（2）结合（1）求出80=12,根据矩形的性质求出D差F=：1,大BF二1由

AB2AD2

AD//BC,即可判定△O£Gs△氏4G,^FBH^ADH,根据相似三角形的性质求出

QG=4,BH=4,根据线段的和差求解即可.

【详解】（1）证明：•・,四边形45c。是矩形，AB=2AD,

,AB=CD=2AD,ZADC=/DAB=90°,AD=BC,

-ZDAE=45°f

・•./DEA=90°-45°=45°=/DAE,

AD=ED,

:.CD=2DE,

：.DE=CE,

•.F为5。的中点，

・・・£/是△BCD的中位线，

・•.BD=2EF；

（2）解：由（1）知，BD=2EF,

EF=6,

.-.52）=12,

vAB=CD=2AD=2DE,AD=BC,方为5C的中点，

DE_1BF_1

W，~AD=2f

在矩形/BCD中，CD//AB.AD//BC,

©EGs小BAG,小FBH^ADH

DE_DGBHBF

，，'7B=~BG=2,~DH~7D=2f

DG_1BH_1

''12-DG~29U-BH~2f

DG=4,BH=4,

答案第7页，共36页

：.GH=BD-DG-BH=4.

10.A

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,

属于中考常考题型.如图，取格点J,K,设交格线于。.证明AAZOSABKO,求出

OK,OD,再证明ADOMSACBM,可得结论.

【详解】解：如图，取格点J,K,设N8交格线于。.

■：AJ//BK,

:.△AJOS^BKO,

:.JO:OK=AJ:BK=1:3,

3

:.OK=-,

4

7

:.OD=DK+OK=-,

4

DO//BC,

：ADOMS4cBM,

7

DMDO4_7,

.MC12

一标一7,

故选：A

11.3V2

【分析】本题考查圆周角定理及相似三角形的判定与性质，熟知相关性质定理是正确解决本

题的关键.

根据圆周角定理得出的两组相等的对应角，易证得“EBS.DEC,根据C。、4B的长，即

可求出两个三角形的相似比；设BE=x,则OE=7-x,然后根据相似比表示出/£、EC的

长，连接8C,首先在RM8EC中，根据勾股定理求得8C的表达式，然后在中，

由勾股定理求得x的值，进而可求出。E的长.

【详解】解：ZD=ZA,NDCA=ZABD,

答案第8页，共36页

:."EBsaEC；

ECDEDC_3

35

BE-x,贝lj£>£=7-x,EC=~x/百=§（7-x）;

连接BC,则NZCB=90。；

D

34

CRLBCE中，BE=x,EC=-x,贝"C=1；

O

35164

在Rt/k/BC中，AC=AE+EC---------x,BC=-x；

3155

由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2,

整理,得f一14巳+31=0,

解得：X[=7+3近（不合题意舍去），x2=7—3A/2,

则。£=7-x=3亚.

12.12

【分析】根据正方形的性质可得出/5IIC。，进而可得出△GQR根据相似三角形的

ApAg

性质可得出====2,结合尸G=2可求出NRNG的长度，由CGII4B、ZB=2CG可得出

GFGD

CG为的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出“£的长度，此题得解.

【详解】•••四边形48co为正方形，.•.48=CD,ABWCD,.-.^ABF=AGDF,4BAF=4DGF,

AF4B

■.AABF-AGDF,—=—=2,：.AF=2GF=A,：.AG=6.

GFGD

■：CGUB,AB=2CG,,CG为△E/2的中位线，；./£=2/6=12.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相

答案第9页，共36页

似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键.

13.(1)/BC尸=70。

(2)尸G=4

(3)证明见解析

【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形性质和判定，相似三角形的判

定与性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识.

(1)根据菱形的性质可得//=110。，AD//BC,N4DC=180。-44,根据。=CE可得

ZADC=ZCED,再根据平行线的性质即可求得的度数；

(2)根据平行线的性质可证ADEGSAD/B,可得器=黑=空=：,根据m=15可得

DAABDB3

QG=10,再根据EG//AB,可得ZFDC=ZFGE,ZFCD=ZFEG,从而证得AFDCS公FGE,

口FGEGEGDG2“工分金

且而=而=益=砺=屋从而求待PG的长;

FGEF

(3)由(2)同理可证：AFDCS^FGE,得到---=---,证明石尸,得到

DFCF

DFEF/［。厂FG目

工，进而倚到而=而，从而证倚如?=2见

BF

【详解】(1)解：.・・四边形/BCD为菱形，乙4=110。,

.•.Z^Z>C=180o-110o=70°,AD//BC,

CD=CE,

.•.△CQ£是等腰三角形，ZADC=ZCED=70°,

•:AD〃BC,

./BCF=ZCED=70°；

(2)解:vEG//AB,

.△DEGS^DAB,

DEDEDG

.五-DE+AE―五'

•AD=15,DE=2AE,

DE_DE_DG_2

~DA~DE^AE~DB~3

.DG=10,

又・•・四边形"BCD为菱形，

DC=AB,DC//AB//EG,

:AFDCS^FGE,

答案第10页，共36页

FGEGEGDG2

~FD~^C~AB~DB-3

FG+FD=DG=10,

:.FG=4；

(3)证明：由(2)同理可证：AFDCSAFGE,

.FGEF

,^F~~CF9

•・,AD//BC,

，ADEFS^BCF,

.DFEF

.DFFG

一而一BF’

..DF?=FGBF.

14.(1)FG//BDf见解析

(2)-

(3)6

【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质

等知识.熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是

解题的关键.

Ar4FAEAGAFAG、丁皿

(1)由£尸〃5C,可得——=——,由£G〃C。，可得---,贝n！!-f--二---，证明

ABACACADABAD

在AGs小BAD,贝=进而可证FG〃9；

FFAFAGAF

(2)证明则---=---,证明△4EGS44CD,则---=---,可得

BCACADAC

4GFFFFBC5FHEF4留十

—,可求旦="=巳，证明所〃^EFH^AGH,则西计算求

ADBCAGAD9

解即可;

APAJ7Ap1

(3)由(1)知，,由E为/C的中点，可得r=由(1)可知

ABACAB2

FGAFFG1

JAGSABAD,贝=即不？=彳，计算求解即可.

BUAB122

【详解】(1)解：FG//BD,理由如下；

EF//BC,

AF_AE

~AB~AC

答案第11页，共36页

-EG//CD,

AEAG

,•刀-IF'

AFAG

••瓦―茄’

又•:/FAG=/BAD,

・••八FAGS^BAD,

・•.ZAFG=/ABD,

FG//BD；

(2)W：-EF//BC,

ZAFE=ZABC,ZAEF=ZACB,

：.AAEFS"CB,

EFAE

,•茄一就‘

-EG//CD,

同理，AAEGS^ACD,

AGAE

,•而一就‘

AGEF

,•茄一就’

EFBC_5

••前一而一“

-EF//BC,BC//AD,

•­EF//AD,

ZEFH=ZAGH,ZFEH=ZGAH,

.MEFHS^AGH,

FHEF

•・前一前‘

FH5

...=一；

HG9

,.,AFAE

(z3x)解：由(z1)知，--=――，

ABAC

•・・£为ZC的中点，

AF

—―，

AB2

由(1)可知AE4GSAA4£>,

答案第12页，共36页

FGAFFG1

•••——=——，即Rn——=-,

BDAB122

解得，FG=6,

・,•尸G的长为6.

15.B

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相

似三角形的性质是解题关键.根据平行四边形的性质证明根据相似三角形

S1

的面积比等于相似比的平方，求出甘迪=之,设邑3,=x，则S-=16x,根据同高三

角形的面积比等于底边比，求出S”=4x,进而可得S.mv=5x,然后推出

S四边形CAW5=19%,即可得出结果.

【详解】解：•••四边形/BCD为四边形，且AN=：NB,

：.AB//CD,AB=CD,AN=-AB=-CD,

44

MANMSKDM,

MNAN

"MD~CD~49

,S^ANMJAN^1

S.CDM{CD}16,

设S4ANM=%，则S&ADM=16%,

S"=MN=1

3ADMMD4'

S丛ADM~4x,

S^ADN=S^AMN+S“DM=5x,S“c0=S“DM+^^CDM=4x+16x=20x

•••S“BC=S.ACD=20、，

S四边形=S&ABC_S“NM=19%,

S"DN-S四边形CMNS-5,19•

故选：B.

16.C

【分析】过点〃作HQ///3交。后于点。，HG交DE于点、N,

答案第13页，共36页

【详解】解：如图所示，过点H作HQ//4B交DE于点Q,HG交DE于点N,设/B=3a,

利用8。〃。,//0〃8,四〃所,得到三角形相似，对应线段成比例，求出9=生匣，从

7

而得到黑=言即可得出结果-

•.•正方形ZBCD由四个全等的直角三角形拼接而成,

△AEH=^BFE=ACGF=ADHG,

设45=3a,

AH1

,~AE~29

AE=BF=CG=DH=2a,

BE=CF=DG=AH=tz,

HG=y/5a,

HQ//AB,

,HQ_DHHQ_2a

一=---即=—

AEAB2a3a

4

-HQ!ICD,

4

HNHQ即铲—HN

2VG-DG

ay[5a-NH

，*宇

•.♦HNHEF,

4小a

HM=网即

HM

IAFEF7

~MFy[5a

HM4

~MF~^

答案第14页，共36页

故选：c.

【点睛】本题主要考查了三角形相似，得出对应线段成比例，由线段平行，得出三角形相似

是解本题的关键.

17.D

【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判断,

先由菱形的性质得到ND〃3C,AC1BD,AD=BC,再证明/C||E尸，进而证明四边形

NEFC是平行四边形，得到=由此可得到。E：BF=1-.5,再证明

△TYEHs4BFH,得到==—,则DH：DB=—.

BHBF56

【详解】解：•・・四边形/BCD是菱形，

AD//BC,AC1BD,AD=BC,

EF上BD,

：.AC\\EF,

・•・四边形是平行四边形，

・•.AE=CF,

vED：CF=1：2,

/.ED：AE=1:2,

ED:AD=ED：BC=1:3,

・•・DE：BF=1:5,

•・•AD//BC

DHDE\

••而一而一丁

:.DH：DB，,

6

故选：D.

18.B

【分析】通过证明△/“Ns/XCBN,可得0"=则，可证CN=2/N；过D作DH〃BM

BCCN

交/C于G,可证四边形是平行四边形，可得BH=MD=；BC,由直角三角形的性

质和等腰三角形的性质可得DN=DC；由平行线性质可得=,

ZABC=ZANM=90°,可证△/九Ws2Xc/B；通过证明△/BMs△台。，可得

答案第15页，共36页

务款可求必争c，即可得器哆则可求解.

【详解】解：在矩形/5C。中,

AD〃BC,

:AAMNSKBN,

AM_AN

^C~~CN"

河是Z。边的中点,

,AM=MD=-AD=-BC,

22

.AN-1

,,一，

NC2

:.CN=2AN,故①正确；

如图，过。作。〃〃氏Vf交ZC于G,

•••DH//BM,BM1AC,

-：DH//BM,AD//BC,

二四边形BA0H是平行四边形,

BH=MD=-BC,

2

BH=CH,

•••NBNC=90°,

NH=HC,且。〃_L4C,

〃是NC的垂直平分线，

：.DN=CD,故②正确；

••・四边形/BCD是矩形，

AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,

:.NDAC=NACB,ZABC=ZANM=90°,

FAMNSACAB,故④正确；

■：^AMN^CAB,

答案第16页，共36页

.MNAB

…而一而’

•・•AD//BC,

：.ADAC=ZBCA,S.ABAC+ZACB=90°,ZDACZAMB=90°f

:.ZBAC=ZAMB,>ZBAM=ZABC,

:AABMS八BCA,

.AM_AB

AB1=-BC2,

2

AB=—BC,

.AB

.旦=叵,故③错误.

AD2

故选：B.

【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，斜边上的中

线，中垂线的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的

关键.

19.(1)1

⑵12

【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的

比等于相似比的平方是解题关键.

(1)证明△/DESZX/8C,根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；

(2)根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△/2C的面积是32,同理可得A£FC

的面积是18,根据面积差可得答案.

【详解】(1)解：,•・四边形跳切是平行四边形，

:.DE\\BF,

:.DE//BC,

:.LADEs△力,

.ADDE

一下一茄一"

•・•AB=4,

答案第17页，共36页

.­.AD=1；

(2)解："ADEs"BC,

1

.s.ADE,(DE\py：

"S"hcjUJ16,

•••△4DE的面积为2,

:.AABC的面积是32,

••・四边形BFED是平行四边形,

EF//AB,

:.AEFCSAABC,

.•.△EFC的面积是18,

:•平行四边形跳‘矶)的面积=32-18-2=12.

20.⑴见详解

3

(2)y=—y/3x+3A/3,0<x<—

⑶①!或者?②w

【分析】(1)根据含30。角的直角三角形的性质可得/E=；AB,即可得

CG=GD=DE=AE,再证明AEGD四AE",问题得证；

13

(2)先证明=尸=30。=乙455，即有骸=55，进而可得4E1=5/6=5,

GE=EF=BE=*,则有GF=GE+EF=3百，即有GP=Gk-Pk=3右一了，结合

PG=43AQ,AQ=X,可得36一>=3，问题随之得解；

(3)①分类讨论，当