数学常考压轴题华师版九年级专题08解直角三角形应用与特殊几何图形的综合的六种考法含答案及解析

专题08解直角三角形应用与特殊几何图形的综合的六种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、解直角三角形应用与特殊三角形的综合 1类型二、解直角三角形应用与平行四边形的综合 5类型三、解直角三角形应用与菱形的综合 10类型四、解直角三角形应用与矩形的综合 14类型五、解直角三角形应用与正方形的综合 18类型六、解直角三角形应用与其他图形的综合 22压轴能力测评（15题） 26解题知识必备1.含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形方法总结：作垂线构造直角三角形时“不破坏”特殊角（30°，45°，60°），如下展示部分常见构造方法：2.非特殊角的非直角三角形方法总结：作垂线构造直角三角形时，竖直作垂线与水平作垂线.压轴题型讲练类型一、解直角三角形应用与特殊三角形的综合例题：（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆．(1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离．(2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到）【变式训练1】（2024·广东·模拟预测）如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知，，与的夹角为α．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为，并用铁链锁定B、C两点、此时农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的E处到地面的高度．（结果精确到，参考数据：）

【变式训练2】（2024·贵州贵阳·二模）“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处（），C，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”,于点O，支杆与树干的横向距离．(1)天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度；(2)下雨时收拢“晴雨伞”，使由减少到，求点E下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）类型二、解直角三角形应用与平行四边形的综合例题：（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形，其中，，此时它与出入口等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为60°．(1)求点到地面的距离；(2)一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．【变式训练1】（2024·宁夏银川·二模）如图1是某旅游景点的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得，，．（参考数据：，，）(1)求证：四边形为平行四边形；(2)求雕塑的高（即点到的距离）．（结果保留小数点后一位）【变式训练2】（2024·江西吉安·二模）现如今，许多乡村、社区都安装了健身器材．如图1，这是健身器材中的骑马机，它是一种利用曲轴连杆机构原理，模拟人体在骑马状态下前后“字”立体摇摆，从而达到全身有氧运动的新型健身器材，其侧面的简图如图2所示，已知，，．(1)若．求证：四边形是平行四边形．(2)若，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，）类型三、解直角三角形应用与菱形的综合例题：（2024·江西南昌·模拟预测）图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，已知，，M，N，P，Q四点分别是的中点（N，P两点也分别在和上），底座，垂足为O，经测量，，，．(1)求证：四边形为菱形．(2)求折叠资料架的高（点A到底座HI的距离）．（参考数据：．结果保留一位小数）【变式训练1】（2024·吉林·二模）如图1是汽车内常备的千斤顶，图2是它的平面示意图，四边形是菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变线段的长度，同时改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即点与点之间的距离）．经测量，．(1)当时，求的长（结果保留整数）．(2)从增加到时，这个千斤顶高度升高了______cm（结果保留整数）．（参考数据：，，）【变式训练2】（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）“新冠疫情”期间学校在校门口搭建如图1所示的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块可分别沿等长的立柱上下移动，，．（参考数据：，，，）

(1)若移动滑块使，求棚宽的长（精确到）．(2)在遮阳棚内安装如图4所示的红外线测温门（门高），门的顶端应与点持平或低于点，试问此时最大为多少度？类型四、解直角三角形应用与矩形的综合例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形可由矩形绕点旋转得到，点在上，延长交于点．连接．

(1)判断四边形的形状并给予证明；(2)若点在水平地面上，与水平地面平行，，求点到水平地面的距离．（结果精确到．）参考数据：【变式训练1】（2024·四川成都·模拟预测）如图是一辆自卸式货车的示意图，矩形货厢的长．卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为．货厢对角线，的交点可视为货厢的重心，测得．假设该车在水平地面上进行卸货作业．(1)若，求点B到的距离；(2)卸货时发现，当A，G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由．（参考数据：）【变式训练2】（2024·四川泸州·一模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．

(1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到的距离为米，到地面的距离为1.2米，求点到地面的距离的长．(2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，）类型五、解直角三角形应用与正方形的综合例题：（2024·山东烟台·一模）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H.经测量，点A距地面，到树的距离，.求树的高度.【变式训练1】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）在测量旗杆高度的活动课上，某兴趣小组自制了一个测高仪测量旗杆高度，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量旗杆高度的示意图，测高仪上的点B、A与旗杆顶点P在一条直线上，铅垂线交于点N．经测量，点A距地面，到旗杆的距离．(1)若点N于点C重合，则旗杆的高度为________；(2)若．求旗杆的高度(结果精确到)．【变式训练2】（2023春·江西九江·九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形与正方形的面积相等，且，

(1)判断四边形的形状，并说明理由．(2)求的长．（参考数据：）类型六、解直角三角形应用与其他图形的综合例题：（2023秋·山东威海·九年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，）

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离；(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．【变式训练1】在日常生活中我们经常使用订书机，如图，是订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B滑动，在滑动过程中，的长保持不变，已知．

(1)如图1，当，B、E之间的距离为，求连接杆的长度．(2)现将压柄从图1的位置旋转到与底座垂直，如图2所示，求在此过程中点E滑动的距离．【变式训练2】（2023秋·河北石家庄·九年级校联考阶段练习）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．

(1)当悬臂与桌面平行时，=___________°(2)问悬臂端点到桌面的距离约为多少？(3)已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）压轴能力测评（15题）一、单选题1．（2024·吉林长春·一模）如图是一把遮阳伞的示意图，遮阳伞立柱垂直于，垂足为点D，米．当遮阳伞撑开至如图所示的位置时，，则此时伞内半径的长度为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米2．（2024·浙江·二模）图1是某款篮球架，图2是其部分示意图，立柱垂直地面，支架与相交于点A，支架交于点G，米，米，，则立柱的高为（

）米A． B． C． D．二、填空题3．（2024·广东·模拟预测）长尾夹一般用来夹书或夹文件，因此也称书夹．长尾夹的侧面可近似的看作等腰三角形，如图1是一个长尾夹的侧平面示意图，已知．按压该长尾夹的手柄，撑开后可得如图2所示的侧平面示意图．测量得．求这时这个长尾夹可夹纸厚度为（参考数据：）4．（2024·福建泉州·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入并水中会发生折射现象（如图1）．为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得入射角，折射角，，则光斑移动的距离的长为．（用含，，的代数式表示）三、解答题5．（23-24九年级下·四川绵阳·开学考试）某小区外面的一段长120米的街道上要开辟停车位，计划每个停车位都是同样的长方形且每个长方形的宽均为2.2米，如果长方形的较长的边与路段的边平行，如图1所示，那么恰好能够停放24辆车．（备注：，，）(1)如果长方形的边与街道的边缘成角，那么按图1，图2中的方法停放，一个停车位占用街道的长度各是多少？(2)如果按照图2中的方法停放车辆，这段路上最多可以停放多少车辆？6．（2023·江苏盐城·一模）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道，两扇活页门的宽，点B固定，当点C在上左右运动时，与的长度不变．(1)若，求的长（结果保留到小数点后一位）；(2)当点C从点A向右运动时，求点O在此过程中运动的路径长（结果保留到小数点后一位）．（参考数据：，取）7．（2024·贵州毕节·三模）为建设美好公园休息区，增强民众生活幸福感，如图1，某公园服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于民众休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高度记为，遮阳篷AB长为6米，与水平面的夹角为．

(1)求点A到墙面的距离；(2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地的高度．（结果精确到米；参考数据：，，）8．（22-23九年级·浙江宁波·自主招生）如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离．(1)如图，当，时，求视线距离的长；(2)如图，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：，，）9．（2023·浙江宁波·一模）如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即、之间的距离）．经测量，可在和之间发生变化（包含和），．(1)当时，求此时的长；(2)当从变为时，这个千斤顶升高了多少？（精确到，，，）10．（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到）(1)求“大碗”的口径的长；(2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，）11．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转．(1)订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离；(2)使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度．（参考数据：，，结果精确到）12．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座固定，，且，连杆长度为，机械臂长度为．点B，C是转动点，且与始终在同一平面内．(1)转动连杆，机械臂，使，，如图2，求机械臂端点D离操作台l的高度的长（精确到，参考数据：）．(2)物品在操作台l上，距离底座A端的点M处，转动连杆，机械臂，机械臂端点D能否碰到点M？请说明理由．13．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为．(1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）(2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）14．（2024·辽宁·模拟预测）云梯，又称飞梯、竹飞梯，最早出现于商周，春秋时期鲁国公输盘加以改进，在古代属于战争器械，用于攀越城墙攻城的用具．《武经总要·攻城法》记载：“云梯以大木为床，下施六轮，上立二梯，各长丈余，中施转轴，四面以生牛皮为屏蔽，内以人推进，及城则起飞梯于云梯之上，以巍城中，故曰云梯．”图1是某款云梯，忽略其梯身等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面简化结构图如图2所示，已知，，，．(1)求的长；(2)如图3，某次应用云梯时，云梯的顶端D搭在与AB垂直的城墙上，，且，求此时点B距离城墙的距离．结果精确到．参考数据：，，，）15．（2023·上海黄浦·三模）我们知道良好的坐姿有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康，那么首先要有正确的写字坐姿，身子上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放，胸膛挺起，理想状态下，如图1所示，将图1中的眼睛记为点A，腹记为点B，笔尖记为点D，且与桌沿的交点记为点C．（参考数据：，，，，）(1)若，求A到的距离及C、D两点间的距离（结果精确到）；(2)老师发现小红同学写字姿势不正确，眼睛倾斜至图2的点E，点E正好在的垂直平分线上，且，于是要求其纠正为正确的姿势．求眼睛所在的位置应上升的距离．（结果精确到）

专题08解直角三角形应用与特殊几何图形的综合的六种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、解直角三角形应用与特殊三角形的综合 1类型二、解直角三角形应用与平行四边形的综合 5类型三、解直角三角形应用与菱形的综合 10类型四、解直角三角形应用与矩形的综合 14类型五、解直角三角形应用与正方形的综合 18类型六、解直角三角形应用与其他图形的综合 22压轴能力测评（15题） 26解题知识必备1.含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形方法总结：作垂线构造直角三角形时“不破坏”特殊角（30°，45°，60°），如下展示部分常见构造方法：2.非特殊角的非直角三角形方法总结：作垂线构造直角三角形时，竖直作垂线与水平作垂线.压轴题型讲练类型一、解直角三角形应用与特殊三角形的综合例题：（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆．(1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离．(2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到）【答案】(1)(2)【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】（1）利用等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，求得，结合，解答即可．（2）证明，利用三角函数解答即可．本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．【详解】（1）解：∵，∴，∵伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，∴，∴，∴，∵撑杆．∴，故点到地面的距离为．（2）解：根据题意，得，，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，答：在水平地面上投影的长度约是．【变式训练1】（2024·广东·模拟预测）如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知，，与的夹角为α．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为，并用铁链锁定B、C两点、此时农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的E处到地面的高度．（结果精确到，参考数据：）

【答案】农夫所在的E处到地面的高度为米．【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点作于，先利用三角形内角和等边对等角求出，，解直角三角形，求解即可．【详解】解：如图所示，过点作于H，

∵米，，米，米，∴，米，米，∴，在中，米；答：农夫所在的E处到地面的高度为米．【变式训练2】（2024·贵州贵阳·二模）“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处（），C，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”,于点O，支杆与树干的横向距离．(1)天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度；(2)下雨时收拢“晴雨伞”，使由减少到，求点E下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）【答案】(1)遮阳宽度为；(2)点E下降的高度为．【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查解直角三角形的应用和锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）在中利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答；（2）过点E作于点F，得，再在中锐角三角函数的定义可得，最后求出和时的长即可解答．【详解】（1）解：由对称性可知，，在中，，，，，答：遮阳宽度为；（2）解：如图，过点E作于点F，，，，，，，在中，，当时，，当时，，∴点E下降的高度为，答：点E下降的高度为．类型二、解直角三角形应用与平行四边形的综合例题：（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形，其中，，此时它与出入口等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为60°．(1)求点到地面的距离；(2)一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．【答案】(1)(2)汽车能安全通过【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）过点作于点，交于点，根据解直角三角形的知识进行解答即可；（2）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可．【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点，则，，，；（2）在上取，作于点，交于点，交于点，当汽车与保持安全距离时，∵汽车宽度为，，，，，，∴汽车能安全通过.【变式训练1】（2024·宁夏银川·二模）如图1是某旅游景点的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得，，．（参考数据：，，）(1)求证：四边形为平行四边形；(2)求雕塑的高（即点到的距离）．（结果保留小数点后一位）【答案】(1)见解析(2)雕塑的高为【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、利用平行四边形的判定与性质求解【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．（1）根据，，可证明，即可证明结论；（2）根据四边形为平行四边形．得出．，在中，，进而即可求解．【详解】（1）证明：∵，，．∴四边形为平行四边形．（2）过点作于，∵四边形为平行四边形，∴．∵，∴．在中，，即，∴．答：雕塑的高为．【变式训练2】（2024·江西吉安·二模）现如今，许多乡村、社区都安装了健身器材．如图1，这是健身器材中的骑马机，它是一种利用曲轴连杆机构原理，模拟人体在骑马状态下前后“字”立体摇摆，从而达到全身有氧运动的新型健身器材，其侧面的简图如图2所示，已知，，．(1)若．求证：四边形是平行四边形．(2)若，，，求点到的距离．（结果精确到，参考数据：，，）【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、证明四边形是平行四边形、三线合一、等边对等角【分析】（1）根据等边对等角和三角形内角和得，，继而得到，即可得证；（2）如图，过点作于点，延长，交于点，在中，得到，在中，得到，继而得到，可得结论．【详解】（1）证明：如图，连接，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形；（2）解：如图，过点作于点，延长，交于点，∵，，∴，∵，∴，∴点到的距离为的长，∵，，∴在中，，∵，，，∴，∴在中，，∴，∴，∴点到的距离约为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，平行四边形的判定，等腰三角形性质，等腰三角形三线合一性质，三角形内角和，平行线的判定和性质等知识点．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．类型三、解直角三角形应用与菱形的综合例题：（2024·江西南昌·模拟预测）图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，已知，，M，N，P，Q四点分别是的中点（N，P两点也分别在和上），底座，垂足为O，经测量，，，．(1)求证：四边形为菱形．(2)求折叠资料架的高（点A到底座HI的距离）．（参考数据：．结果保留一位小数）【答案】(1)见解析(2)折叠资料架的高约为【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、证明四边形是菱形【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（1）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据线段中点的定义可得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形可得四边形为菱形，即可解答；（2）先利用线段中点的定义可得，然后根据题意可得：，再在中，利用锐角三角函数的定义求的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）证明：∵，∴四边形是平行四边形，∵M是的中点，，∴，∵，∴，∴四边形为菱形；（2）解：如图：∵点Q是的中点，∴，由题意得：，，，在中，，∴，∴，∴折叠资料架的高约为．【变式训练1】（2024·吉林·二模）如图1是汽车内常备的千斤顶，图2是它的平面示意图，四边形是菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变线段的长度，同时改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即点与点之间的距离）．经测量，．(1)当时，求的长（结果保留整数）．(2)从增加到时，这个千斤顶高度升高了______cm（结果保留整数）．（参考数据：，，）【答案】(1)的长约为(2)13【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、利用菱形的性质求线段长【分析】（1）连接，交于点O，根据四边形是菱形，得到，根据，解答即可．（2）连接，交于点O，根据四边形是菱形，当得到，根据，当得到，根据，解答即可．本题考查了菱形的性质，正弦函数的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握菱形的性质，正弦函数的应用是解题的关键．【详解】（1）连接，交于点O，∵四边形是菱形，，，∴，∴，∴．（2）连接，交于点O，∵四边形是菱形，，，∴，∴，∴．∵四边形是菱形，，∴，∴，∴．故千斤顶升高了，故答案为：13．【变式训练2】（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）“新冠疫情”期间学校在校门口搭建如图1所示的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块可分别沿等长的立柱上下移动，，．（参考数据：，，，）

(1)若移动滑块使，求棚宽的长（精确到）．(2)在遮阳棚内安装如图4所示的红外线测温门（门高），门的顶端应与点持平或低于点，试问此时最大为多少度？【答案】(1)(2)的最大值为【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用）【分析】（1）根据题意可知是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可求出的值，根据，由此即可求解；（2）如图所示，，过点作于点，根据三角函数的计算即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴在中，，，∵，，∴，且，∴，∴．（2）解：如图所示，，过点作于点，

∴，∴，∴，∴，即的最大值为．【点睛】本题主要考查直角三角形，勾股定理，三角函数的计算的综合，掌握直角三角形与勾股定理，三角函数的计算方法是解题的关键．类型四、解直角三角形应用与矩形的综合例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形可由矩形绕点旋转得到，点在上，延长交于点．连接．

(1)判断四边形的形状并给予证明；(2)若点在水平地面上，与水平地面平行，，求点到水平地面的距离．（结果精确到．）参考数据：【答案】(1)平行四边形，见解析(2)【分析】（1）由旋转性质结合矩形的性质推出，利用证明，得到，据此可证明四边形是平行四边形；（2）延长交水平地面于点，连接．利用正切函数求得的长，得到，推出，再根据余弦函数求得的长，据此即可求解．【详解】（1）解：四边形是平行四边形．证明：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵四边形是矩形，∴，由旋转性质得，∴，∴，∴，由旋转得，∴，∵，∴四边形为平行四边形；（2）解：如图，延长交水平地面于点，连接．

∵，，∴，∴，∴，由（1）知，又，∴，由平行线的性质知，∴，∴，即点到水平地面的距离约为．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形．【变式训练1】（2024·四川成都·模拟预测）如图是一辆自卸式货车的示意图，矩形货厢的长．卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为．货厢对角线，的交点可视为货厢的重心，测得．假设该车在水平地面上进行卸货作业．(1)若，求点B到的距离；(2)卸货时发现，当A，G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由．（参考数据：）【答案】(1)(2)该货车不会发生事故，理由见解析【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线．（1）过点作，垂足为，在中，，求出，进而求出；（2）分别过点，作，，垂足分别为，，四边形是矩形，，在中，，在中，推出，，在中，，比较即可作答．【详解】（1）过点作，垂足为，如图，则，在中，，，，，两点在垂直方向上的距离为；（2）该货车不会发生事故，理由如下：分别过点，作，，垂足分别为，，则，四边形是矩形，，在中，，，在中，，，，在中，，，货车不会发生事故．【变式训练2】（2024·四川泸州·一模）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．

(1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到的距离为米，到地面的距离为1.2米，求点到地面的距离的长．(2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，）【答案】(1)点到地面的距离的长为0.2米(2)轿车能驶入小区，见解析【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解题意，构建直角三角形解题是关键；（1）过点作，垂足为，证明，在中，米，，再进一步可得答案；（2）当，米时，可得，求解米，在中，求解米，再进一步可得答案．【详解】（1）解：过点作，垂足为，

结合题意得：，，，在中，米，（米），米，（米），点到地面的距离的长为0.2米；（2）轿车能驶入小区理由：当，米时∵，米（米），在中，（米），（米），轿车能驶入小区．类型五、解直角三角形应用与正方形的综合例题：（2024·山东烟台·一模）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H.经测量，点A距地面，到树的距离，.求树的高度.【答案】树的高度约为【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查解直角三角形的应用，由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解，得到是解决问题的关键．【详解】解：由题意可知，，，则，，，，则，，，则，，．答：树的高度约为．【变式训练1】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）在测量旗杆高度的活动课上，某兴趣小组自制了一个测高仪测量旗杆高度，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量旗杆高度的示意图，测高仪上的点B、A与旗杆顶点P在一条直线上，铅垂线交于点N．经测量，点A距地面，到旗杆的距离．(1)若点N于点C重合，则旗杆的高度为________；(2)若．求旗杆的高度(结果精确到)．【答案】(1)(2)【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查解直角三角形的应用；（1）根据正方形的性质得到∠，得到，求得，于是得到结论；（2）由题意可知，，，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）解：四边形是正方形，，，，，，，，答：旗杆的高度为；故答案为：；（2）由题意可知，，，则，，，，则，，，则，，．答：旗杆的高度．【变式训练2】（2023春·江西九江·九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形与正方形的面积相等，且，

(1)判断四边形的形状，并说明理由．(2)求的长．（参考数据：）【答案】(1)四边形是菱形，详见解析(2)【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得，即可得出结论；（2）作于点M，解，即可求解．【详解】（1）解：四边形是菱形

，理由：正方形与正方形的面积相等，，，∴四边形是平行四边形，，，，∴四边形是菱形．（2）解：作于点M，

在中，，，得

，．【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定、正确求解直角三角形是解题的关键．类型六、解直角三角形应用与其他图形的综合例题：（2023秋·山东威海·九年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，）

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离；(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为(2)没有危险【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．【详解】（1）如图，作，垂足为点，

在中，，，，，平行线间的距离处处相等，，答：车后盖最高点到地面的距离为．（2）没有危险，理由如下：如图，过作，垂足为点，

，，，，，在中，，．平行线间的距离处处相等，到地面的距离为．，没有危险．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．【变式训练1】在日常生活中我们经常使用订书机，如图，是订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B滑动，在滑动过程中，的长保持不变，已知．

(1)如图1，当，B、E之间的距离为，求连接杆的长度．(2)现将压柄从图1的位置旋转到与底座垂直，如图2所示，求在此过程中点E滑动的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）过点D作交与点P，在中，通过解直角三角形可求出的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度；（2）在中，利用勾股定理可求出的长度，结合（1）中的长度即可求出答案．【详解】（1）解：在图1中，过点D作交与点P，

在中，，在中，，∴，即连接杆的长度为；（2）解：在中，，∴，∴在此过程中点E滑动的距离为，【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式训练2】（2023秋·河北石家庄·九年级校联考阶段练习）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．

(1)当悬臂与桌面平行时，=___________°(2)问悬臂端点到桌面的距离约为多少？(3)已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解；（2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形，；在中解出，即可求解；（3）过作，，在中解出即可求解．【详解】（1）解：如图：当悬臂与桌面平行时，作

，悬臂也与桌面平行∴故答案为：（2）解：过作与交于，过作与交于

∴四边形为矩形∴，∵∴在中∵∴∴（3）解：过作，，

∴在中∴∵∴∴【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键．压轴能力测评（15题）一、单选题1．（2024·吉林长春·一模）如图是一把遮阳伞的示意图，遮阳伞立柱垂直于，垂足为点D，米．当遮阳伞撑开至如图所示的位置时，，则此时伞内半径的长度为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据，即可求解．【详解】解：∵，∴米故选：B．2．（2024·浙江·二模）图1是某款篮球架，图2是其部分示意图，立柱垂直地面，支架与相交于点A，支架交于点G，米，米，，则立柱的高为（

）米A． B． C． D．【答案】A【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．先在中利用直角三角形的边角间关系表示出，再利用线段的和差关系得结论．【详解】解：，．在中，，．．故选：A．二、填空题3．（2024·广东·模拟预测）长尾夹一般用来夹书或夹文件，因此也称书夹．长尾夹的侧面可近似的看作等腰三角形，如图1是一个长尾夹的侧平面示意图，已知．按压该长尾夹的手柄，撑开后可得如图2所示的侧平面示意图．测量得．求这时这个长尾夹可夹纸厚度为（参考数据：）【答案】【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）【分析】如图1，在，求得．如答图2，在中，利用余弦函数求得，据此即可求解．本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．【详解】解：图1，作于点．∵，∴，．在，，∵，，∴．由题意可知：，．如答图2，作于点，于点．在中，．∵，∴．同理可证：，∴．∵四边形为矩形，∴．答案：这时这个长尾夹可夹纸厚度为．故答案为：4．（2024·福建泉州·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入并水中会发生折射现象（如图1）．为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得入射角，折射角，，则光斑移动的距离的长为．（用含，，的代数式表示）【答案】【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】延长交于，利用三角函数解答即可．本题考查了列代数式的知识，掌握三角函数的性质是解题关键．【详解】解：延长交于．，，，，．故答案为：三、解答题5．（23-24九年级下·四川绵阳·开学考试）某小区外面的一段长120米的街道上要开辟停车位，计划每个停车位都是同样的长方形且每个长方形的宽均为2.2米，如果长方形的较长的边与路段的边平行，如图1所示，那么恰好能够停放24辆车．（备注：，，）(1)如果长方形的边与街道的边缘成角，那么按图1，图2中的方法停放，一个停车位占用街道的长度各是多少？(2)如果按照图2中的方法停放车辆，这段路上最多可以停放多少车辆？【答案】(1)2.2米，5.09米；(2)37辆【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义，是解题的关键．（1）按图1方法停放，可直接得出占用街道的长度；按图2的方法停放，需要算出点A到路边的距离；（2）在(1)的基础上，只停1辆车时，需要的宽度，再求出每增加1辆车，增加的宽度，进而即可解答．【详解】（1）解：按图1方法停放，可直接得出占用街道的长度即为长方形的宽，即2.2米；按图2方法停放，如图过点A作路沿于点B，过点D作于点C，由题意可得，车长（米），，，米，，∴，∴，∴（米），∵（米），∴（米），∴（米）答：按图1停放，一个停车位占街道长2.2米，按图2停放，一个停车位占街道长5.09米；（2）解：如图，过点M作于点G，过点F作于点P，∴（米），（米），∴只停1辆车时，需要宽度（米），每增加1辆车，宽度增加（米），车位数为（辆），答：最多可停放37辆车．6．（2023·江苏盐城·一模）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道，两扇活页门的宽，点B固定，当点C在上左右运动时，与的长度不变．(1)若，求的长（结果保留到小数点后一位）；(2)当点C从点A向右运动时，求点O在此过程中运动的路径长（结果保留到小数点后一位）．（参考数据：，取）【答案】(1)的长约为；(2)点O在此过程中运动的路径长约为．【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、求某点的弧形运动路径长度【分析】本题考查解直角三角形的应用，求弧长：（1）作于H，解直角三角形，求出的长，再利用线段的和差关系进行计算即可；（2）根据题意，点运动的路径长为半径为，圆心角为60度的弧长，利用等边三角形的性质和弧长公式进行计算即可．【详解】（1）解：如图，作于H，，，在中，，，，的长约为；（2），，，是等边三角形，半径为，圆心角为60度的弧长，点O在此过程中运动的路径长约为．7．（2024·贵州毕节·三模）为建设美好公园休息区，增强民众生活幸福感，如图1，某公园服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于民众休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高度记为，遮阳篷AB长为6米，与水平面的夹角为．

(1)求点A到墙面的距离；(2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地的高度．（结果精确到米；参考数据：，，）【答案】(1)点A到墙面的距离约为米(2)遮阳篷靠墙端的离地高度约为米【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查了，解直角三角形的应用，解题的关键是：连接辅助线构造直角三角形．（1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解，（2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解，【详解】（1）解：如图，过点A作，垂足为F，

在中，米，，，∴（米），∴点A到墙面的距离约为米．（2）解：如图，过点A作，垂足为G．∵，，∴四边形是矩形，∴，米，∵米，∴（米），在中，，，∴（米），∴米，在中，米，，，∴（米），

∴（米）．故遮阳篷靠墙端的离地高度约为米．8．（22-23九年级·浙江宁波·自主招生）如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离．(1)如图，当，时，求视线距离的长；(2)如图，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：，，）【答案】(1)视线距离的长为；(2)需要将支架调整到．【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形【分析】（）连接，延长交于点，根据题意可得四边形是矩形，，再由勾股定理即可求解；（）连接，延长交于点，由题意可得：，，，，再由余弦即可求解；本题考查了平行线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用及正确做出辅助线是解题的关键．【详解】（1）如图，连接，延长交于点，根据题意可得四边形是矩形，，，∴，，∴，在中，由勾股定理得：，∴视线距离的长为；（2）如图，连接，延长交于点，由题意可得：，，，，在中，，即，∴，∴，∴需要将支架调整到．9．（2023·浙江宁波·一模）如图所示为汽车内常备的一种菱形千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即、之间的距离）．经测量，可在和之间发生变化（包含和），．(1)当时，求此时的长；(2)当从变为时，这个千斤顶升高了多少？（精确到，，，）【答案】(1)(2)【知识点】利用菱形的性质求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）、等边三角形的判定和性质【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，菱形的性质，等边三角形的性质与判定：（1）连接交于点E，由四边形是菱形得到，当时，，由得到是等边三角形，则；（2）当时，在中，，则，则，当时，中，则可得到，得到，即可得到答案【详解】（1）解：如图所示，连接交于点E，∵四边形是菱形，∴，当时，，∴是等边三角形，∴；（2）解：∵四边形是菱形，∴，，当时，在中，，∴，∴，∴，当时，在中，，∴，∴∴这个千斤顶升高了，答：这个千斤顶升高了．10．（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到）(1)求“大碗”的口径的长；(2)求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，）【答案】(1)“大碗”的口径的长为；(2)“大碗”的高度的长为．【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．（1）证明四边形是矩形，利用，代入数据计算即可求解；（2）延长交于点，求得，利用正切函数的定义得到，求得的长，据此求解即可．【详解】（1）解：∵，，，∴四边形是矩形，∴，答：“大碗”的口径的长为；（2）解：延长交于点，如图，∵矩形碗底，∴，∴四边形是矩形，∵，∴，，∴，∴，∴，答：“大碗”的高度的长为．11．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转．(1)订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离；(2)使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度．（参考数据：，，结果精确到）【答案】(1)压杆端点到底座的距离为(2)即压杆端点到底座的高度为【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．（1）过点作于点，延长交于点，根据题意可得，由，四边形是矩形，，可得，进而得到，然后根据，求出，最后根据，即可求解；（2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据矩形的性质可得，，可推出，然后求出，结合进而得到，，可得，推出，，根据周角求出，进而根据三角函数求出，最后根据线段的和差即可求解．【详解】（1）解：如图2，过点作于点，延长交于点，，，四边形是矩形，，，，，，，又，，，，即压杆端点到底座的距离为；（2）如图3，过点作于点，过点作于点，过点作于点，四边形是矩形，，，，，，，又，，，，，，，，，，，即压杆端点到底座的高度为．12．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座固定，，且，连杆长度为，机械臂长度为．