高中数学复习专题02回归分析与独立性检验（原卷版）

《2020年数学（文）选考与统计部分二轮专项提升》专题02回归分析与独立性检验高考题型特点：这部分属于高考必考内容，既考客观题，也考大题，难度中等。二、重难点：1.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程.2.独立性检验是根据K2的值判断两个分类变量有关的可信程度.三、易错注意点：1.求回归方程，关键在于正确求出系数a^，b^，由于a^，b^的计算量大，计算时应仔细谨慎，分步进行，避免因计算而产生错误.2.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义.根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值.3.独立性检验中统计量K2的观测值k0的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错.四、典型例题：例1．（2019全国1文17）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828例2．（2015湖北）已知变量和满足关系，变量与正相关，下列结论中正确的是（）A．与正相关，与负相关B．与正相关，与正相关C．与负相关，与负相关D．与负相关，与正相关例3．（2012新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．−1B．0C．eq\f(1,2)D．1例4．（2015北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．例5．（2018全国卷Ⅱ）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．6．（2017新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9．9510．129．969．9610．019．929．9810．04抽取次序910111213141516零件尺寸10．269．9110．1310．029．2210．0410．059．95经计算得QUOTE，QUOTE，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，=1，2，…，16．(1)求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(ⅰ)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？(ⅱ)在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0．01)附：样本的相关系数，．五、强化提升训练：1．根据如下样本数据：x34567y4.0a－5.4－0.50.5b－0.6得到的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a.若样本点的中心为(5，0.9)，则当x每增加1个单位时，y就()A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位C．增加7.9个单位 D．减少7.9个单位2．已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：x24568y304050m70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，则表中m的值为()A．45 B．50C．55 D．603.(2019·焦作模拟)已知变量x和y的统计数据如下表：x34567y2.5344.56根据上表可得回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.25，据此可以预测当x＝8时，eq\o(y,\s\up6(^))＝()A.6.4 B.6.25 C.6.55 D.6.454.(2019·丹东教学质量监测)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝6.705，则所得到的统计学结论是：有________的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”()P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A.99.9% B.99% C.1% D.0.1%5.(2019·衡水中学调研)已知变量x，y之间的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.7x＋10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是()x681012y6m32A.变量x，y之间呈负相关关系B.可以预测，当x＝20时，eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.7C.m＝4D.该回归直线必过点(9，4)6.(2019·黄山一模)在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中，下列说法正确的是()A.若K2的观测值为k＝6.635，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌B.由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺癌C.若从统计量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，是指有1%的可能性使得判断出现错误D.以上三种说法都不正确7.(2019·承德期末)某城市收集并整理了该市2018年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了下面的折线图.已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据折线图，下列结论错误的是()A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月D.最低气温低于0℃的月份有4个8．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据，第i次试验零件个数xi(单位：个)与加工零件所花费时间yi(单位：小时)的数据资料，算得eq\o(∑,\s\up9(10),\s\do14(i＝1))xi＝80，eq\o(∑,\s\up9(10),\s\do14(i＝1))yi＝20，eq\o(∑,\s\up9(10),\s\do14(i＝1))xiyi＝184，eq\o(∑,\s\up9(10),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝720，那么加工零件所花费时间y对零件个数x的线性回归方程为________．9．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)：零件数x/个1020304050加工时间y/分钟6268758189由最小二乘法求得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\o(a,\s\up6(^))的值为________．10．在西非“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染总计服用104050未服用203050总计3070100附表：P(K2≥k0)0.100.050.025k02.7063.8415.024参照附表，在犯错误的概率不超过________的前提下，认为“小动物是否被感染与服用疫苗有关”．11．某小卖部销售某品牌饮料的零售价与销量间的关系统计如下：单价x/元3.03.23.43.63.84.0销量y/瓶504443403528已知x，y的关系符合回归方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))，其中eq\o(b,\s\up9(^))＝－20.若该品牌饮料的进价为2元，为使利润最大，零售价应定为________元．12．某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销售量y(单位：万件)之间的关系如表：x1234y12284256(1)在图中画出表中数据的散点图；(2)根据散点图选择合适的回归模型拟合y与x的关系(不必说明理由)；(3)根据y关于x的回归方程，预测第5年的销售量．参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up9(n),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do14(i＝1))xiyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up9(n),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(\x\to(x))2)，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(\x\to(x)).13．“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情．每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇2009～2018年梅雨季节的降雨量(单位：mm)的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：(1)“梅实初黄暮雨深”，请用样本平均数估计Q镇明年梅雨季节的降雨量；(2)“江南梅雨无限愁”，Q镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大(把握超过八成)，而乙品种杨梅2009～2018年的亩产量(单位：kg)与降雨量的发生频数(年)如2×2列联表所示(部分数据缺失)，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？(完善列联表，并说明理由)降雨量亩产量[200,400)[100,200)∪[400,500]合计＜6002≥6001合计10附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.70614．在2019年女子世界杯期间，法国部分餐厅销售了来自中国的小龙虾，这些小龙虾均标有等级代码．为得到小龙虾等级代码数值x与销售单价y(单位：元)之间的关系，经统计得到如下数据：等级代码数值x384858687888销售单价y/元16.818.820.822.82425.8(1)已知销售单价y与等级代码数值x之间存在线性相关关系，求y关于x的线性回归方程(系数精确到0.1)；(2)若莫斯科某餐厅销售的中国小龙虾的等级代码数值为98，请估计该等级的中国小龙虾销售单价为多少元？参考公式：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))的斜率和截距的最小二乘法估计分别为eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(\x\to(x)).参考数据：eq\o(eq\o(∑,\s\up9(6)),\s\do6(i＝1))xiyi＝8440，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(6)),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝25564.15．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制的频率分布直方图如图所示．规定80分以上者晋级成功，否则晋级失败(满分为100分)．(1)求图中a的值；(2)估计该次考试的平均分eq\x\to(x)(同一组中的数据用该组的区间中点值代表)；(3)根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．晋级成功晋级失败合计男16女50合计参考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋dP(K2≥k)0.400.250.150.100.050.025k0.7081.3232.0722.7063.8415.02416．(2019·湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制