高中数学复习瓶颈10 概率统计的应用问题（解析版）

11/112020高考数学必备考试技能之“瓶颈”题突破】瓶颈十：概率统计的应用问题典例某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为（）A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米信息联想信息①：根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果A是正确的；信息②：根据回归方程的表达式，得到两个变量的关系，判定B、C、D的对错.全面剖析A，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；B，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高三些，臂展就长一些，故正确；C，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；D，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.故答案为D.反思感悟本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点、极差、线性相关的有关内容，主要考查了学生的分析问题、解决问题的能力。必备技能在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的,线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.针对训练*举一反三1．（2020·陕西省榆林中学高三三模）某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B．与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍C．2015年与2018年艺体达线人数相同D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.2．（2020·江西省高三月考）2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.全力抗疫成为举国上下的首要大事，而口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为(单位:十万只)，已知这组数据的平均值为4，方差为且成递增的等差数列，成等比数列，则这组数据的极差为（）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【解析】根据题意：，，故.，故，，故.方差为，故或，故极差为.故选：.3．（2020·河北省石家庄二中高三月考）已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，根据平均数的计算公式，可得，设收集的48个准确数据分别记为，则，，故．选A．4．（2020·江苏省海安高级中学高三月考）已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为A．75万元 B．85万元C．99万元 D．105万元【答案】B【解析】由题意得，∴样本中心为．∵回归直线过样本中心，∴，解得，∴回归直线方程为．当时，，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．故选B．5．（2020·广东省高三月考）2020年10月18日-27日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得133金64银42铜，共239枚奖牌.为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（）附：男性运动员女性运动员对主办方表示满意200220对主办方表示不满意50300.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为，故①错误；，故②错，③对故选：B.6．（2020·安徽省高三三模）开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种，已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，她第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率，给出以下论述：①小明同学第二天一定选择面食套餐；②；③；④前n天小明同学午餐花费的总费用数学期望为.其中正确的是()A．②④ B．①②③ C．③④ D．②③④【答案】D【解析】第1天小明选择了米饭套餐，根据题意小明同学第二天选择面食套餐的可能性为，不是100%，所以①不正确；依题意，，则，故②正确；当第天选择米饭套餐时，第天选择米饭套餐的概率为；当第天选择面食套餐时，第天选择米饭套餐的概率为，故，故③正确；设第天小明同学午餐花费为，则，因为，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以，所以前n天小明同学午餐花费的总费用数学期望为，故④正确.故选：D7．（2020·山东省莱州一中高三月考）通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男

女

总计

爱好

40

20

60

不爱好

20

30

50

总计

60

50

110

由附表：

0．050

0．010

0．001

3．841

6．635

10．828

参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】A【解析】由，而，故由独立性检验的意义可知选A8．（2020·全国高三月考）一只蚂蚁从正四面体的顶点点出发，沿着正四面体的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在点的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，蚂蚁每次爬行到下一个顶点的概率均为，设第秒时蚂蚁不在顶点的概率为，易知.则，∴，∴数列是以为为首项，以为公比的等比数列.∴，∴第4秒时蚂蚁在点的概率为.故选：C9．（2020·全国高三专题练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周牌算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则，区域涂同色的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，至少使用3种颜色．由使用颜色数量，下面我们分三种情况：（1）使用5种颜色：选色，涂上去，共有种；（2）使用4种颜色：选色，先涂有4种，下面，①、若、同色，则和各涂剩余的两色，有种，②、若、不同色，则和必同色，有种．共种；（3）使用3种颜色：选色，先涂有3种选择，用掉一种颜色，下面只有、同色，、同色，有种，共种，共计种，其中，区域涂同色的有种，则，区域涂同色的概率为．故选：．10．（2020·河北易县中学高三月考）已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（）附：若随机变量，则，.A．0.1359 B．0.7282 C．0.6587 D．0.8641【答案】D【解析】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：故所求的概率为，故选：D11．（2020·河南省高三一模）2020年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是.记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为，若当时，恒成立，则M的最小值为__________.【答案】【解析】根据题意，为观众甲第次看到广告后不来此景区的概率，则，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，显然数列单调递减，所以当时，，所以，所以的最小值为.12．（2020·广东省佛山一中高三一模）以下四个命题，其中正确的序号是____________________．①从匀速传递的产品生产流水线上，每20分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④分类变量与，它们的随机变量的观测值为，当越小，“与有关系”的把握程度越大.【答案】②③【解析】①为系统抽样,①不正确；④分类变量与，它们的随机变量的观测值为，当越小，“与有关系”的把握程度越小，④不正确；根据相关系数的性质可知②正确；由回归方程的性质可知③正确．故答案为②③.13．针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的.若有的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，求男生至少有______人.【答案】【解析】设男生人数为，由题意可得列联表如下：喜欢韩剧不喜欢韩剧总计男生女生总计若有的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则，即，解得.因为各部分人数均为整数，所以若有的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有人.故答案为：.14．（2020·湖北省高三二模）某团队派遣甲、乙、丙、丁四人分别完成一项任务，已知甲完成任务的概率为，乙完成任务的概率为，丙、丁完成任务的概率均为，若四人完成任务与否相互独立，则至少2人完成任务的概率为____.【答案】【解析】由题意知，由相互独立事件的概率公式得，4个人都没有完成任务的概率为，4个