2024-2025学年上海市某中学高三年级上册期中考试数学试卷6（含详解）

格致中学二。二四学年度第一学期期中考试

高三年级数学试卷

（测试120分钟内完成，总分150分,试后交答题卷）

友情提示：昨天,你既然经历了艰苦的学习,今天,你必将赢得可喜的收获！

祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强,去迎接胜利！

一,填空题：（本大题共有12题,满分54分,第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考生在答题纸

的相应位置直接填写结果.

2-i

Z-

1.已知复数i（i为虚数单位），则z的虚部为.

2,函数了（力=百工+^”的定义域为

3.若直线4：2x+枢v+i=o与‘2i=3x—1垂直，则实数加=—

4.已知集合人=｛川"<"""+1｝,8=｛乂一4"*<。｝,若人口3,则实数。的取值范围是.

+8

5.等比数列｛"/满足q=1,02%+2。5=0,则=1，.

6.在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表

示十位，“叶”表示个位,则这组数据的第75百分位数是.

211368

302244559

4111336789

502455889

2x+J

7.二项式I”x）的展开式的常数项是

8.已知尸（xo'yo）（°<xo<i）是曲线°：«+6=1上一点，作曲线°在点尸处的切线/,/与工轴，丁轴分别交于点

A,B,。为坐标原点，则侬+3卜.

9.如图（1），在长方体ABCD—ERGH中，AB=BC=2,AE=1,。为上底面EEGH的中心.现将矩形EEGH绕

7T

点。在原平面内顺时针旋转4角，连接AE,DE,AF,防，8G,CG,",得到如图㈡）所示的

十面体,若这个十面体的各个顶点都在球”的球面上,则球以的表面积是.

H

GH

ABB

图⑴图(2)

10,已知/（"¥）=指5111（0%+9）（0〉0,0<夕<2兀），函数,=/0）的部分图像如图所示，已知点A,。为y=/（x）的

。"o一ABDC=--\A^\

图像与X轴的交点，其中134点3,C分别为y=/（x）的图像的最高点和最低点，且21I,则

<P=.

二1

（x-k）2ek<—

11.已知人为常数，若关于1不等式e对任意的％6（6+°°）都成立,则实数左的取值范围为

22

C:=+』=l（a〉6〉0）

12.从椭圆ab外一点PQo,Vo）向椭圆引两条切线，切点分别为A,3,则直线A3称作点P关于

至+迎=1

椭圆C的极线，其方程为/〃.现有如图所示的两个椭圆G,G,它们的中心都在坐标原点，对称轴都是坐标

轴,离心率分别为6,‘2,C?在G内，椭圆G上的任意一点M关于G的极线为加，若原点°到直线兀的距离为定值

二,选择题：（本大题共4题，第13,14题每题4分，第15,16题每题5分,满分18分）

13.己知。〃是非零实数,若。<》，则下列不等式一定成立的是（）

ooio11ba

A.a2<b1B.ab1<c^bC.—y<—7—D.—>—

ababab

14.己知事件A与3相互独立，且0<P（A）尸（B）<1,则下列选项不一定成立是（

A.P（AnB）=（l-P（A））P（B）,B.P（AUB）=P（A）+P（B）.

C.P（AUB）=P⑸P⑻,D.P（A|B）P（B|A）=P（AnJB）.

15.已知圆锥S-O的底面半径为2,高为4,点尸为圆锥底面上任意一点，点Q为圆锥侧面（点。异于顶点S且不在底

面圆周上）上任意一点，则而•页的取值范围为（）

A.（-8,8）B.[0,8）C.[-4,4]D.（-4,4）

16.已知数列｛an｝,若存在数列也｝满足对任意正整数〃，都有（见—2）（%+1—2+1）＜0,则称数列也｝是｛an｝的交

错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列｛4｝,不存在等差数列出｝，使得也｝是｛“的交错数列,②对任

意给定的等比数列｛4｝,都存在等比数列出｝，使得也｝是｛4｝的交错数列.下列结论正确的是（）

A.①与②都是真命题，B.①为真命题,②为假命题.

C.①为假命题,②为真命题，D.①与②都是假命题.

三,解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.如图，在以45。,£＞,石,尸为顶点五面体中，四边形ABCD与四边形CD所均为等腰梯形，AB//CD,EF//

CD,CD=2AB=2EF=4,AD=DE=5AE=2五.

（1）证明：平面ABCD1平面CDEE.

（2）若M为线段C£＞上一点，且CM=1,求二面角A—石河―6余弦值.

18.已知/（x）=sin尤+G|COSX（XGR）.

（1）是否存在正数加，使得/（无）=/（加-%）对xeR都成立？若存在,求出加的一个值,若不存在,请说明理由.

（2）写出函数y=/（%）的一个周期,并求函数y=/（x）的值域.

19.2024年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯A和3,己知A和5烧制成功率分别为80%和90%,烧制

成功一个A,盈利30元,否则亏损10元，烧制成功一个及盈利80元,否则亏损20元.

(1)设X为烧制一个A和一个3所得的利润之和，求随机变量X的分布和数学期望.

(2)求烧制4个A所得的利润不少于80元的概率.

(3)公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”(得分不低于85分)和“满意”(得分低于85分)两类，通

过调查完成下表.

[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

年龄低于45岁61442317

年龄不低于45岁4647358

根据调查数据完成下列2x2列联表,并依据显著性水平«=0.05的独立性检验,判断居民对瓷器的喜欢程度是否与年

龄有关联?

非常满意满意合计

年龄低于45岁

年龄不低于45岁

合计

附：/=…(U)("d)，〃=a+'+c+乩「与k的若干对应数值见下表:

a0.250.050.005

k13233.8417.879

20.己知椭圆+二=1(。＞人＞0)的离心率为B,A,B分别为椭圆r的左,右顶点.过点C(l,0)作斜率为

a2b-2

K优。0)的动直线/交椭圆r于M,N两点，当k［变化时，&ABM面积的最大值为2.

(1)求椭圆「的标准方程.

(2)当仁=1时，求A4AW的面积.

(3)如图,设河关于原点。的对称点为尸，直线"，BN交于点。，设直线OQ的斜率为心，试探究片是否为定值？

化1

若是定值,请求出该定值,若不是定值,请说明理由.

21.函数y=/(X)的导函数为y=/'(X),令g(x)=，称y=g(x)是y=f(x)的特征函数.若g(x)＞。对一

切xe(w)恒成立,则称函数y=/(x)是(瓶,〃)上的绝对增函数.

(1)已知/(x)=xe"，判断函数y=/(x)是否是(0,+s)上的绝对增函数,并说明理由.

⑵已知/(%)=sin(x+6»)，函数y=/(x)是1o,|J上的绝对增函数,求0的直

(3)函数y=/(x)是(m,力上的绝对增函数,其特征函数y=g(x)在(m,n)上有唯一的零点%,求证：x0是函数

y=/(x)的极值点・

格致中学二。二四学年度第一学期期中考试

高三年级数学试卷

一,填空题：（本大题共有12题,满分54分,第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考生在答题纸

的相应位置直接填写结果.

2-i

Z-

1.已知复数i（i为虚数单位），则z的虚部为.

【答案】—2

【分析】根据除法运算可得z=-1-2i,进而可得虚部.

【详解】因为复数z=2二=—1—2i,所以z的虚部为—2.

1

故答案为：一2.

2.函数"%）=，1-x2+lnx的定义域为

【答案】（0,1]

【分析】

-2

根据解析式可得不等式组1解不等式组,即可得答案.

x>0,

l-x2>0,

【详解nO<xWl.

x>0,

故答案为：（0,1].

3.若直线4:2%+切+1=0与6:y=3x—l垂直，则实数m=_.

【答案】6

【分析】根据两直线垂直时,斜率乘积为-1,解方程求得m的值.

21

【详解】由直线小2%+切+1=0且斜率存在,则直线4：y=——x——.

mm

2

由直线乙：2%+殁+1=0与A:y=3九一1垂直，则——义3=—1解得m=6.

m

故答案为：6.

4.已知集合A={x\a«%«0+1},5={乂—44%<0},若418,则实数a的取值范围是.

【答案】{«M<a<-l}

【分析】分析可知Aw0,结合包含关系列式求解即可.

【详解】因为集合4={乂。<%«。+1},6={%]-44%<0},显然A/0.

a>-4

若416,则〈1C,解得TVav—1.

a+l<0

所以实数。的取值范围是

故答案为：｛a|—4<a<-1｝.

J~oo,

5.等比数列｛4｝满足q=1,+2%=0,贝!J£4=.

i=l

【答案】2

3

【分析】求出q值，再由无穷递缩等比数列的求和公式计算.

【详解】。2%+2。5=0，贝1。；/+2。闷4=0,即/+2q4=0,即q3(i+2q)=o.

因为q#0,则4=一；.

£412

2

故答案为：二.

3

6.在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数(单位：千人)，并绘制了茎叶图(如图)，其中“茎”表

示十位，“叶”表示个位,则这组数据的第75百分位数是.

211368

302244559

4111336789

502455889

【答案】50

【分析】分析可知这组数据的第75百分位数是第23位数,结合茎叶图即可得结果.

【详解】因为30x0.75=22.5,可知这组数据的第75百分位数是第23位数.

结合茎叶图可知第23位数是50,所以这组数据的第75百分位数是50.

故答案为：50.

7.的展开式的常数项是

【答案】H2

44

【分析】写出二项式展开式的通项=2~玛小丁，令8-§厂=0即可得到答案.

【详解】二项式展开式的通项为(产()丫8--r4

+1=/(2%%3,令8——r=0.

3

得r=6,所以4=22《=112.

故答案为：H2.

【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到求展开式中的特殊项,只需准确写出通项公式即可.

8.已知尸（Xo，%））（O<Xo<1）是曲线。：4+打=1上一点，作曲线c在点尸处的切线/,/与x轴，y轴分别交于点

A,B,0为坐标原点，则|C网+|。回=

【答案】1

【分析】先将曲线C：«+打=1转化为y=l-2jl+x,（0<x<l）,利用导数求出曲线C在点尸处的切线斜率，得

切线I的方程及/在天轴，y轴上的截距，化简31+31即得结果.

【详解】因为网飞,为）（0</<1）在曲线。：«+6=1上，则指'+=1

由\[x+yj~y=1得yj~y=1-\[x,平方，得y=1-2-x/x+x,(0<x<1)

_i]左=y'I=1—

y=i-2户j=,)卜=与r-

I)7x7入。

・・・曲线。在点尸处的切线/：y—%=1-

/

令％=0,y—%=1-

/

令y=o,—%=1-

••OA|+|oz?|=不+1-J尤o=1.

故答案为：1.

9.如图（1），在长方体ABCD-EFGH中，AB=BC=2,AE=\,。为上底面EEGH的中心.现将矩形EEGH绕

7T

点。在原平面内顺时针旋转8（0<8«一）角，连接AE,DE,AF,BF,BG,CG,CH,得到如图（2）所示的

4

十面体,若这个十面体的各个顶点都在球〃的球面上,则球〃的表面积是

H

B

图⑴图(2)

【答案】9兀

【分析】首先确定球心,再求球心到顶点的距离,即可求得外接球的半径,再代入球的表面积公式.

【详解】该十面体的外接球的球心是上下底面中心连线的中点,该点到该十面体每个顶点的距离均为

所以这个十面体的外接球的半径为|,从而其表面积s=4兀♦=9限

故答案为：971

10.已知/（x）=3^11（（»*+夕）（＜»〉0,0＜夕＜2兀），函数y=/（x）的部分图像如图所示，已知点A,。为y=/（x）的

图像与X轴的交点，其中点瓦C分别为y=/（x）的图像的最高点和最低点，且:W•加=-T/2,贝U

0=.

5兀

【答案】—

6

【分析】结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得。，再由函数零点即可得。.

【详解】因为。且6y＞0,可知的最小正周期T=@.

UJco

一71

又力＞0,所以=—.

2

又因为:是“X）递减区间内的零点.

JT1SJT

则5又§+0=2左兀+兀（左GZ）,解得夕=7+2左兀（左GZ）.

571

因为。＜。＜2兀，所以0=—.

故答案为：--.

6

21

11.已知k为常数,若关于X的不等式(x—k)2ek<-对任意的x€(0,+8)都成立,则实数k的取值范围为.

e

【答案】18，一g

2x[

【分析】分析可知左<0,整理可得1-1I/——7«0,换元令。=注<0,构建/(。=("1)建'一盘/<0,利用

导数求其最值,并结合恒成立问题分析求解.

【详解】显然左H0.

若左>0,当X趋近于+00,y=(》_4)2/趋近于+00,不合题意.

可知左<0,因为(X-左)2/W!，可得(彳―1]e%—J<0.

jryi

由尤>0,可得二<0,令/=土<0,可得(/—1)e'—一-1<0.

kkek

原题意等价于(?-1)2ef——!<0对任意的t0)都成立.

ek

构建〃。=(/_1)2占_+/<0,则-«)=,2_1此

令/'(。>0,解得/<一1,令/'(。<0,解得一1</<0.

可知/(/)在(―8,—1)内单调递增，在(—1,0)内单调递减.

41<0,解得上<—工.

则/⑺V/（T）=&_彘T

2

所以实数左的取值范围为「叫-g

故答案为：f-oo,--

12.从椭圆C：二+二=1(。〉6〉0)外一点PQo,y0)向椭圆引两条切线,切点分别为A,3,则直线AB称作点P关于

ab

椭圆c的极线,其方程为警+邛=1.现有如图所示的两个椭圆G，c2I它们的中心都在坐标原点,对称轴都是坐标

ab

轴,离心率分别为6,02,C?在G内，椭圆G上的任意一点M关于G的极线为I.M，若原点。到直线Q的距离为定值

1,则e；-4的最大值为.

【分析】根据定义写出极线的方程，由点到直线距离公式列出一个方程,再结合点在椭圆上找到02的关系再进行求解.

【详解】设M（九0,%）,椭圆G-^-+7T=1,椭圆G：=L

qa2b2

22

则有a：4+普=i①，由极线的定义得直线iM的方程为肉+萼=1.

"202

由原点到直线儿的距离公式Gy（及丫，化简可得书+*=i②.

限产司的2

“22_,2,2,4（,2\（h2\

对比①②可得a；=片，所以e：=七=」一^~!-=1^-=1--1--\1+与=e；（2-e；）.

所以4一心e；（2—e；）—W=e；（l—《J,"/©]一

当且仅当e；=1—e；时，即e2=/"=”成立.

故答案为：—

4

二,选择题：（本大题共4题，第13,14题每题4分，第15,16题每题5分,满分18分）

13.已知〃，6是非零实数，若a<乩则下列不等式一定成立的是（）

11ba

A.a1<b2B.ab20<c^0bC.--7<—7—D.—>—

ababab

【答案】C

【分析】对于ABD：举反例说明即可，对于C：利用作差法分析判断即可.

【详解】对于选项AD：例如。=-1乃=1,满足“<乩但"=/=1,2=@=—],故八口错误.

ab

对于选项B：利用”=1,Z?=2,满足avb,但〃Z?2故B错误.

对于选项C：因为白-£=焉・

且〃<乩〜是非零实数,则

可得―71----17=~272~<。，即~~2<TT，故C正确.

ababababab

故选：c.

14.已知事件A与3相互独立，且。（尸（A）尸（5）<1,则下列选项不一定成立的是（）

A.P（AnB）=（l-P（A））P（B）,B.P（AUB）=P（A）+P（B）.

C.P（AU§）=P⑻P⑻,D.P（A|B）P（B|A）=P（AnJB）.

【答案】B

【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式,结合对立事件的定义逐一判断即可.

【详解】因为A与3相互独立，所以A与否，了与3,］与豆也相互独立.

A选项，P（AnB）=P（A）P（B）=（1-P（A））P（B）,故A一定成立.

B选项,P（AuB）=p（A）+P（B）-P（AB）.

而P（AB）=P（A）尸（B）>0,所以P（AuB）^P（A）+P（B）,故B不成立.

C选项,P（A<7B）=l-P（AoJB）=1-P（AB）-P（AJB）-P（AB）=P（AB）=P（A）P（B）,

故c一定成立.

D选项，唳忸）0（码）=9渭常常叽HAM）.

故D一定成立.

故选：B.

15.已知圆锥S-O的底面半径为2,高为4,点尸为圆锥底面上任意一点，点Q为圆锥侧面（点Q异于顶点S且不在底

面圆周上）上任意一点，则丽•货的取值范围为（）

C.[-4,4]D.(-4,4)

【答案】D

【分析】延长SQ交底面圆周于B,过。作。6_1底面圆于G点,利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦

的范围计算即可.

【详解】如图所示，延长SQ交底面圆周于3,过。作QGL底面圆于G点.

显然赤.宛=赤•（而+前+诙）=砺.旃K2cos（丽丽）|OG|.

由题意可知cosOP,OGe[-1,1],0<|OG|<2.

所以而•页的取值范围为（-4,4）.

16.已知数列｛an｝,若存在数列也｝满足对任意正整数n,都有（见—2）（%+1-2+1）<0,则称数列也｝是｛«„｝的交

错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列｛4｝,不存在等差数列出｝,使得也｝是｛«„｝的交错数列,②对任

意给定的等比数列｛4｝,都存在等比数列出｝，使得也｝是｛4｝的交错数列.下列结论正确的是（）

A.①与②都是真命题，B.①为真命题,②为假命题.

C.①为假命题,②为真命题，D.①与②都是假命题.

【答案】A

【分析】对于①：根据等差数列通项公式为一次函数形式分析判断，对于②：根据等比数列通项公式为指数型,并举例

说明即可.

【详解】对于①：因为数列｛4｝,｛2｝均为等差数列.

设=kn+m,bn=c〃+d,则an-bn=｛k—cjn+m—d.

rn—d

若左—c>0,可知当〃〉——:一时，一〃〉0恒成立,不满足交错数列.

k-c

若左-c=0,可知4-仇的符号不变,不满足交错数列.

rrj—d

若女—c<0,可知当〃〉-------时，4-2<0恒成立,不满足交错数列.

k-c

综上所述：对任意等差数列｛4｝,｛2｝,｛4｝均不是｛4｝的交错数列，故①正确.

对于②：因为数列｛叫为等比数列，设等比数列｛4｝的公比为q

不妨假设a>0,q>0,bn=a（—2q）”,此时等比数列｛bn｝的公比为—2q<0

n

当n为奇数,则%=-aq-2"<aq“=an.

nn

当n为偶数,则bn=aq-2>aq"=an.

满足也｝是｛%｝的交错数列.

若等比数列｛«„｝的公比为9<0,根据对称结构,上述结论依然成立.

同理若a<0,根据对称结构,上述结论依然成立.

综上所述：对任意给定的等比数列｛4｝,都存在等比数列出｝，使得也｝是｛4｝的交错数列,故②正确.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：数列是特殊的函数,根据数列的特性,准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关

键,背景函数的条件,应紧扣题中的限制条件.

三,解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.如图，在以尸为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CD跖均为等腰梯形，AB//CD,EF//

CD,CD=2AB=2EF=4,AD=DE=EAE=2日

(1)证明：平面ABCD1平面CDE7L

(2)若/为线段CD上一点，且CM=1,求二面角A—的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵旦

3

【分析】(1)通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出平面ABCD,由OEu平面

CDEF进而得出面面垂直.

(2)由面面垂直建立空间直角坐标系,分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值

【小问1详解】

证明：在平面CDEF内，过E做EO垂直于CD交CD于点。.

由CDEF为等腰梯形,且CD=2砂=4,则。。=1,

又DE=#，所以OE=y]DE2-OD2=2.

连接AO,由小人£>0三4£。0,可知49,8且49=2.

所以在三角形Q4E中，AE^OE^OA2.

从而OELQ4.

又OE，CD,OAcCD=O,OA,CD<=平面ABCD,，所以OE_L平面ABCD.

又OEu平面CDEF,所以平面ABCD±平面CDEF

【小问2详解】

由（1）知，OE,OC,QA两两垂直，以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则A（0,0,2）,£（2,0,0）,4（0,2,0）,3（0,2,2）.

AE=（2,0,-2）,W=（-2,2,0）,W=（0,0,2）.

设平面AEM的一个法向量为元=（%,y,z）.

n-AE-0f2%-2z=0

则〈_.，即〈

n-EM=01-2x+2y=0

取z=l,则为=（1,1,1）.

设平面BEM的一个法向量为初=（玉,％,4）.

m•MB-02Z]=0

则一,，即《

m•EM=0—2石+2%=0

取％=1,则庆=。,1,0）.

一一m-n2瓜

所以3私〃=丽=胡

由图可以看出二面角A—石M—3为锐角，故二面角A—石M—5的余弦值为必

3

18.已知/(x)=sin尤+J^|cosx|(xeR).

(1)是否存在正数加，使得/(%)=/(m-%)对xeR都成立？若存在，求出加一个值，若不存在,请说明理由.

(2)写出函数y=/(x)的一个周期,并求函数y=f{x}的值域.

【答案】(1)存在，根=兀(满足机=2E+兀次eN即可)

(2)一个周期为2兀(满足2亿左eZ,人力0即可)，值域为［—1,2］

【分析】(1)根据题意利用诱导公式可得/(2E+兀—x)=/(x),即可得结果.

JTJT

(2)根据题意利用诱导公式可得/(2兀+%)=/(力，即可得周期，再结合对称性取xe，取绝对值化简整理,

结合正弦函数值域分析求解即可.

【小问1详解】

对任意左GN,则/(2bi+7i-x)=sin(2E+兀-x)+|cos(2fai+兀一

=sin(兀-x)+G|cos(兀一x)|=sinj;+^|cosx\=/(%).

可得利=2E+兀，左eN,例如左=0,可得根=兀.

【小问2详解】

因为f(2n+龙)=sin(2兀+龙)+6|cos(2兀+九)|=sin九+6|cosx|=/(x).

可知函数y=/(x)的一个周期为2兀.

jl371、

若求函数y=/(x)的值域，则取xe一万,万即可.

由(1)可知：/(%)=/(兀-X),即/(X)关于x=］对称.

JIJI

若求函数y=/(x)的值域，则取X£即可，此时cosxNO.

则fM=sinx+石|cosR=sinx+gcosx=2sin［x+g］.

,,「兀兀［i兀「兀5兀〕_『./兀'「I〕

因为--57T，贝+-y?--，可得sinx+二e--J.

_22J3|_66」v37L2_

即/(x)=2sin卜+|•卜［―1,2］所以函数丁=/(x)的值域［-1,2］.

19.2024年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯A和5,已知A和5烧制成功率分别为80%和90%,烧制

成功一个A,盈利30元,否则亏损10元,烧制成功一个B,盈利80元,否则亏损20元.

(1)设X为烧制一个A和一个3所得的利润之和，求随机变量X的分布和数学期望.

(2)求烧制4个A所得的利润不少于80元的概率.

(3)公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”(得分不低于85分)和“满意”(得分低于85分)两类，通

过调查完成下表.

[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

年龄低于45岁61442317

年龄不低于45岁4647358

根据调查数据完成下列2x2列联表,并依据显著性水平£=0.05的独立性检验,判断居民对瓷器的喜欢程度是否与年

龄有关联？

非常满意满意合计

年龄低于45岁

年龄不低于45岁

合计

附：Z2=------，、/“吗、、----—,n-a+b+c+d,P(j2>k)^a,a与k的若干对应数值见下表：

(tz+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.250.050.005

k1.3233.8417.879

【答案】⑴分布列见详解，E(X)=92元

(2)0.8192(3)居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联

【分析】(1)分析可知随机变量X可能取值为-30,10,70,110,结合独立事件概率求法求分布列，进而可得期望.

(2)设相应随机变量,分析可知。=40V-40,根据题意可得Y23,结合二项分布运算求解即可.

(3)完善列联表，求并与临界值对比分析即可.

【小问1详解】

由题意可知：A和3烧制成功率分别为0.8和0.9.

随机变量X的可能取值为-30,10,70,110,则有：

P(X=-30)=(1-0.8)x(1-0.9)=0.02,P(X=10)=0.8x(1-0.9)=0.08.

p(X=70)=(l-0.8)x0.9=0.18,P(X=110)=0.8x0.9=0.72.

所以随机变量X的分布列为

X-301070110

P0.020.080.180.72

随机变量X的期望£（x）=—30x0.02+10x0.08+70x0.18+110x0.72=92（元）.

【小问2详解】

设烧制4个A成功的件数为K则F：5（4,0.8）.

设烧制4个A所得的利润为4,则J=30F—10（4—F）=407-40.

令J=40^—40280,解得Y23.

所以尸代280）=?（y23）=尸（r=3）+?（y=4）=C：X。忌X（1—0.8）+0U=0.8192.

【小问3详解】

根据题意完善2x2列联表可得：

非常满意满意合计

年龄低于45岁2080100

年龄不低于45岁1090100

合计30170200

零假设H。：居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄没有关联.

…喘XZ/等52…4L

依据显著性水平e=0.05的独立性检验,可知零假设Ho不成立.

所以居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联.

20.己知椭圆r：W+占=1（。＞人＞0）的离心率为昱,A,B分别为椭圆r的左,右顶点.过点C（1,0）作斜率为

a2b-2

人（《。0）的动直线/交椭圆「于M,N两点，当片变化时，AABM面积的最大值为2.

(1)求椭圆「的标准方程.

(2)当匕=1时，求AAAW的面积.

k

(3)如图，设“关于原点0的对称点为尸，直线AP,5N交于点。，设直线32的斜率为右，试探究曾是否为定值?

£

若是定值,请求出该定值,若不是定值,请说明理由.

无2

【答案】(1)—+y2=l

4

k3

⑶是定值，

【分析】(1)由题意可得工=走，由面积可得a匕=2,再结合a2=^+c2,即可得出答案.

a2

(2)直线MN的方程为％=y+1,联立方程解出为,为，进而可求面积.

(3)设M(%,%),N(%,%)，。(一七，一%)，直线山的方程为尤=冲+1，联立直线和椭圆方程,利用根与系数的关

系,斜率公式即可求得终为定值.

【小问1详解】

依题意可知e=£=立.

a2

当M为短轴顶点时，△取到最大值-x2axb=ab=2.

2

c=V3

a2a—2

可得vab=2，解得＜b=l

a2=b2+c2c=y/3

所以椭圆r的标准方程三+y2=1.

4

【小问2详解】

因为点c(i,o)在椭圆内部「，可知直线/与椭圆r必相交，设/(4X),N(X2，%)・

若尤=1,则直线/：x=y+i.

x=y+i

2

联立方程X,，消去X可得5y?+2y—3=0,解得必=2或%=-L

—+y=15

I4-

112

所以AAAW的面积SVAMN=1-|AC|-|J1-J2|=

255

【小问3详解】

由⑵可设则。(一而,-%).

设直线MV的方程为x=/ny+l,此时勺.

m

x=my+1

联立直线与椭圆方程《X22，消去X可得(m2+4)y2+2my-3=0.

—+V-=1\

14•

—2m-3

则%+%=—~~=—~~7

m+4m+4

不妨设。(1，%)，因为B,N,Q三点共线，则kBN=kBQ

%>2则入。—2_々2_〃少2—11

可得=m-----

XQ—2冗2—2%>2%%

因为AP,Q三点共线，则kAP=kAQ.

则为)+2_:一2_/冲］11

y0%

可得