第2章 有理数及其运算（解析版）

第2章：《有理数及其运算》章末综合检测卷（试卷满分：120分，考试用时：120分钟）姓名___________班级考号______________一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．（2024•福建模拟）24的相反数是（）A．﹣24 B．-124 C．124 【分析】相反数：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数．【解答】解：24的相反数是﹣24．故选：A．【点评】本题考查了相反数的概念，掌握符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数是解答此题的关键．2．（2024春•金山区校级期末）在体育课的立定跳远测试中，以2.00m为标准，若小明跳出了2.35m，可记作+0.35m，则小亮跳出了1.65m，应记作（）A．+0.25m B．﹣0.25m C．﹣0.35m D．+0.35m【分析】根据题意得，由1.65m﹣2m可得结论．【解答】解：根据题意得，1.65m﹣2m＝﹣0.35m，故选：C．【点评】本题主要考查正负数，掌握正负数的应用，有理数减法是解题的关键．3．（2023秋•锡山区校级月考）下列7个数：-74、1.010010001、433、0、﹣π、﹣3.2626626662…（每两个2之间依次多一个6）、A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都能化成分数，无理数是无限不循环小数，对各个数进行判断即可．【解答】解：-74，1.010010001、433，0，0.12⋅都是有理数，共5个，﹣π和﹣3.2626626662故选：C．【点评】本题主要考查了有理数，解题关键是熟练掌握有理数和无理数的概念．4．（2024•和平区模拟）沈阳某天4个时刻的气温（单位：℃）分别为﹣5，0，﹣1，﹣2，其中最低的气温是（）A．﹣5℃ B．0℃ C．﹣1℃ D．﹣2℃【分析】根据两个负数比较，绝对值大的反而小比较﹣1与﹣2，然后根据0大于负数即可得出最低的气温．【解答】解：∵|﹣5|＝5，|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，又∵5＞2＞1，∴﹣5＜﹣2＜﹣1＜0，∴最低的气温是﹣5°C，故选：A．【点评】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键．5．（2023秋•鼓楼区校级期中）13与绝对值等于2A．13 B．1 C．﹣1 D．【分析】先求出绝对值是23的数，再求13与绝对值等于【解答】解：设绝对值等于23的数为a，则有|a|=23，所以a当a=23时，1当a=-23时，13+（故选：D．【点评】注意已知一个数的绝对值要求这个数，有两种情况，因为互为相反数的两个数的绝对值相等．6．（2024春•和平区期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列不等式一定成立的是（）A．﹣5a＜﹣3a B．a+c＜b+c C．ac2＞bc2 D．b﹣c＜b【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后根据不等式的性质解答．【解答】解：由图可知，a＜c＜0＜b，A、∵﹣5＜﹣3，a＜0，∴﹣5a＞﹣3a，故本选项不符合题意；B、∵a＜b，∴a+c＜b+c，故本项符合题意；C、∵a＜b，c2＞0，∴ac2＜bc2，故本项不符合题意；D、∵c＜0，∴﹣c＞0，∴b﹣c＞b，故本项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了实数与数轴、不等式的基本性质，根据数轴判断出a、b、c的正负情况是解题的关键．7．（2023秋•东莞市校级期末）如果|a+2|+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2023的值为（）A．﹣2023 B．2023 C．﹣1 D．1【分析】先根据非负数的性质求出a和b的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵|a+2|+|b﹣1|＝0，∴a+2＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2023＝（﹣2+1）2023＝（﹣1）2023＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了非负数的性质，以及求代数式的值，根据非负数的性质求出a和b的值是解答本题的关键．8．（2022秋•陵城区期末）已知|a|＝5，|b|＝8，且a＜b，则a+b＝（）A．13或3 B．﹣13或3 C．13或﹣3 D．﹣13或﹣3【分析】根据题意得出a和b的值，然后得出结论即可．【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝8，且a＜b，∴a＝5，b＝8或a＝﹣5，b＝8，∴a+b＝13或3，故选：A．【点评】本题主要考查有理数的加法计算，熟练掌握有理数的加法计算是解题的关键．9．（2023秋•潮州期末）如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（）A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6【分析】把a的值代入计算程序中计算即可得到结果．【解答】解：把a＝﹣1代入得：[（﹣1）2﹣（﹣2）]×（﹣3）+4＝（1+2）×（﹣3）+4＝3×（﹣3）+4＝﹣9+4＝﹣5，故选：A．【点评】此题考查了有理数的混合运算和代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（2024•南岗区校级一模）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：输入…12345…输出…1225310417526…那么，当输入数据为8时，输出的数据为（）A．861 B．863 C．865 【分析】由表格中的数据可知，输入的数据与输入的数据的分子相同，分母是分子的平方加1，从而可以解答本题．【解答】解：∵由表格可知，输入的数据与输出的数据的分子相同，而输出数据的分母正好是分子的平方加1，∴当输入数据为8时，输出的数据为：88故选项A错误，选项B错误，选项C正确，项D错误．故选：C．【点评】本题考查对数字变化规律的找寻，关键是通过一组数据的部分观察出这组数据的变化规律．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（2024春•南岗区校级期中）已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为．【分析】根据绝对值都是非负数，可得答案．【解答】解：∵|a﹣2|≥0，∴当a＝2时，|a﹣2|+4的最小值是4．故答案为：4．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，利用非负数最小时和最小．12．（2024•台江区校级三模）北京市某天的最高气温是8℃，最低气温是﹣3℃，那么当天的日温差是．【分析】根据最高气温减去最低气温即为日温差列式计算即可．【解答】解：由题意得8﹣（﹣3）＝8+3＝11（°C），故答案为：11°C．【点评】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法运算法则是解题的关键．13．（2024•海东市二模）4月1日，国家和青海省重点能源项目——玛尔挡水电站首台机组投产发电，水电站机组全面投产后，平均年发电量达73.04亿千瓦时，数据“73.04亿”用科学记数法表示为．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此解答即可．【解答】解：73.04亿＝7304000000＝7.304×109．故答案为：7.304×109．【点评】本题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法书写规则是关键．14．（2023秋•福鼎市期中）“24点”游戏的规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24或﹣24．现有1，8，10，﹣5四个数，则列出一个求“24点”的式子是．【分析】根据有理数混合运算法则运算即可．【解答】解：例如：1+8+10﹣（﹣5）＝24，[1﹣10÷（﹣5）]×8＝24，故答案为：1+8+10﹣（﹣5）（或[1﹣10÷（﹣5）]×8等，答案不唯一）．【点评】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则列式即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键．15．（2023秋•市中区校级期中）若|a|＝8，b2＝49，且|a﹣b|＝b﹣a，则a+b＝．【分析】先根据绝对值的性质可得a＝±8，有理数的乘方可得b＝±7，再根据绝对值的性质可得a＜b，然后代入计算即可得．【解答】解：∵|a|＝8，∴a＝±8，∵b2＝49，（±7）2＝49，∴b＝±7，又∵|a﹣b|＝b﹣a，∴a﹣b＜0，即a＜b，∴a＝﹣8，当a＝﹣8，b＝7时，a+b＝﹣8+7＝﹣1，当a＝﹣8，b＝﹣7时，a+b＝﹣8﹣7＝﹣15，故答案为：﹣1或﹣15．【点评】本题考查了绝对值的性质、有理数的乘方、有理数的加减法，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．16．（2023秋•恩施市期末）“转化”是一种解决问题的常用思想，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．请你观察图②，利用转化的方法计算：12+14【分析】通过观察可知：所求有理数的和在图形中所对的面积为1-1【解答】解：12+1故答案为：255256【点评】本题考查有理数的混合运算，能够利用图形面积求有理数的和是解题的关键．三．解答题（本小题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（每小题3分，共12分）（2024春•道里区校级月考）计算（1）(-966（2）3.94×(-4（3）-|-2（4）﹣14﹣[（﹣3）3+（1+42）×2]．【分析】（1）带分数化成两个数的和，再利用乘法分配律简便计算即可求解；（2）逆用乘法分配律简便计算即可求解；（3）先去绝对值符号，再通分，利用同分母的分数的加减法计算即可求解；（4）先计算乘方，再计算乘法，有括号，先计算括号内的．【解答】解：（1）(-96=(-96-6=-96×(-1=16+1=161（2）3.94×(-=(3.94+2.41-6.35)×(-4=0×(-4＝0；（3）-|-=-2=-2=-4=-16=-13（4）﹣14﹣[（﹣3）3+（1+42）×2]＝﹣1﹣（﹣27+17×2）＝﹣1+27﹣34＝﹣8．【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键．18．（6分）（2023秋•浔阳区校级期中）把下列各数填入相应的集合中：﹣3.14，2π，-13，0.618，227，0，﹣1，6%，+3，3.010010001…（每相邻两个1正数集合{……}；分数集合{……}；有理数集合{……}；非负整数集合{……}；【分析】根据正数、分数、有理数、非负整数的定义，直接填空即可．【解答】解：正数集合{2π，0.618，227，6%，+3，3.010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）……}分数集合{﹣3.14，-13，0.618，227，6%有理数集合{﹣3.14，-13，0.618，227，0，﹣1，6%，+3非负整数集合{0，+3……}．故答案为：{2π，0.618，227，6%，+3，3.010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）……}；{﹣3.14，-13，0.618，227，6%……}；{﹣3.14，-13，0.618，227，0，﹣1，6%，+3……}【点评】本题考查了有理数的分类，题目难度不大．记住有理数的分类及相关定义是解决本题的关键．19．（7分）（2024春•南岗区校级月考）如图是一个不完整的数轴，（1）请将数轴补充完整，并将下列各数表示在数轴上；（2）将下列各数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来：﹣3；3.5；-(-212)；﹣|【分析】（1）先规定向右为正方向，以及单位长度，再化简绝对值和多重符号，最后表示出各数即可；（2）根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可．【解答】解：（1）-(-212)=212，﹣|（2）由数轴可得，-3＜【点评】本题主要考查了用数轴表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，化简绝对值和多重符号是解题的关键．20．（8分）（2024春•道里区校级月考）某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：+3，+10，﹣5，+6，﹣4，﹣3，+12，﹣8，﹣6，+7，﹣21．（1）最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？（2）若汽车的耗油量为0.2L/km，则这天下午小王的车共耗油多少升？（3）该市出租车按里程计费标准为：不超过3公里，收费9元，超过3公里的部分，按每公里2元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？【分析】（1）把所有行车里程相加，再根据正负数的意义解答；（2）用0.2乘行车里程的绝对值的和，计算即可得解；（3）分别计算前三次的每一次收入，再相加即可．【解答】解：（1）+3+10﹣5+6﹣4﹣3+12﹣8﹣6+7﹣21＝﹣9，答：最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地9km；（2）（3+10+5+6+4+3+12+8+6+7+21）×0.2＝17（升）（3）第一次3公里，不超过3公里，收费为9元；第二次10公里，超过3公里，收费为9+（10﹣3）×2＝23元；第三次5公里，超过3公里，收费为9+（5﹣3）×2＝13元，∴总共收入为：9+23+13＝45元，答：这天下午小王前三次营运收入45元．【点评】此题考查了正数和负数，以及有理数加减法的应用，弄清题意是解本题的关键．21．（8分）（2024春•香坊区校级月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝5．求4（a+b﹣2）+（﹣cd）2024﹣3m的值．【分析】根据a，b互为相反数，则a+b＝0，c，d互为倒数，则cd＝1，再根据|m|＝5，分类讨论m的值进行计算即可．【解答】解：∵a，b互为相反数，∴a+b＝0，∵c，d互为倒数，∴cd＝1，∵|m|＝5，∴m＝5或m＝﹣5；∴4（a+b﹣2）+（﹣cd）2024﹣3m＝4×（0﹣2）+（﹣1）2024﹣3m＝﹣8+1﹣3m，当m＝﹣5时，﹣8+1﹣3m＝﹣7+15＝8；当m＝5时，﹣8+1﹣3m＝﹣7﹣15＝﹣22．【点评】本题考查相反数、倒数、绝对值的定义，有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键．22．（9分）（2023秋•咸丰县校级月考）（1）已知|a|＝6，|b|＝4，且a＜0，b＞0，求2a﹣b的值．（2）已知x是最小正整数，y，z是有理数，且有|y﹣2|+|z+3|＝0，计算：①求x，y，z的值；②求3x+y﹣z的值．【分析】（1）先根据绝对值性质和已知条件，求出a，b，然后代入所求代数式进行计算即可；（2）①根据最小的正整数是1和绝对值的非负性，列出关于y，z的方程，解方程，求出x，y，z即可；②把①中所求的x，y，z的值代入3x+y﹣z，进行计算即可．【解答】解：（1）∵|a|＝6，|b|＝4，∴a＝±6，b＝±4，∵a＜0，b＞0，∴a＝﹣6，b＝4，∴2a﹣b＝2×（﹣6）﹣4＝﹣12﹣4＝﹣16；（2）①∵x是最小正整数，∴x＝1，∵y，z是有理数，且有|y﹣2|+|z+3|＝0，∴y﹣2＝0，z+3＝0，解得：y＝2，z＝﹣3；②由①可知：x＝1，y＝2，z＝﹣3，∴3x+y﹣z＝3×1+2﹣（﹣3）＝3+2+3＝8．【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算和绝对值的性质，解题关键是熟练掌握绝对值的性质．23．（10分）（2024春•思明区校级期中）我们规定：对于数对（a，b），如果满足a+b＝ab，那么就称数对（a，b）是“和积等数对”；例如32+3=32×3，所以数对(32，3)为“和积等数对”；如果满足a﹣b＝ab（1）下列数对中，“和积等数对”的是；“差积等数对”的是．（填序号即可）①(-23，-2)，②(（2）若数对（2（x+1），﹣3）是“差积等数对”，求x的值．（3）是否存在非零有理数m，n，使数对（3m，2）是“和积等数对”，同时数对（2n，m）是“差积等数对”，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．【分析】（1）根据所给定义判断即可；（2）列出关于x的方程求解；（3）列出关于m，n的方程组求解．【解答】解：（1）①∵-23-2=-83，-23×（﹣2）∴-23-（﹣2）=-∴①是“差积等数对”．②∵23+（﹣2）=-43，23-（﹣2）=8∴23+（﹣2）=2∴②“和积等数对”．∵-23+2=43，-23∴③两者都不是；故答案为：②，①；（2）由题意得：2（x+1）﹣（﹣3）＝2（x+1）×（﹣3），解得x=-11（3）存在，假设存在，由题意得：3m+2＝6m，2n﹣m＝2mn，解得m=23，n＝所以存在．【点评】本题考查新定义数对的计算与判断，掌握新定义是求解本题的关键．24．（12分）（2023秋•东坡区期末）盲盒是指消费者无法提前得知具体产品的包装商品，作为一种潮流玩具，精准切入年轻消费者市场．某盲盒专卖店，以10元的单价购进一批盲盒，为合理定价，销