第1章 直角三角形的边角关系 北师大版九年级数学下册单元综合练习题(含详解)

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《第1章直角三角形的边角关系》单元综合练习题（附答案）一、单选题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10A．35 B．45 C．532．若△ABC的内角满足|cosA-1A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形3．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．则AB可表示为（

）A．7sin28° B．7cos28° C．4．如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=42°,BC=8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（

）A． B．C． D．5．如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，沿BE进行翻折，使A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（

）A．6 B．3 C．23 D．6．如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（

）A．31010 B．12 C．17．如图，从点P观测点B的俯角是（

）A．∠HPB B．∠CPB C．∠APB D．∠PBA8．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为3+1海里．观测站B到AC的距离BP是（

A．3 B．1 C．2 D．3二、填空题9．在△ABC中，∠C=90°．(1)若AC=3，BC=4，则cosA=____，sinA=_____，tan(2)若AB=15，sinA=13，则AC(3)若AB=3，∠A=60°，则BC的长为_______．10．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=32，CD⊥AB于点D．若BD=23

11．如图，在矩形ABCD中，E是DC上一点，AE=AB，AB=2AD，则∠EBC的度数是．12．在边长为6的菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC、BD交于点O，点E是对角线BD上的点，且AE=2OE，则BE的长为．13．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E在AB上，BE=2，点F在BD上，tan∠AEF=3，则EF=14．如图，在龟山附近的小山AB的顶部有一座通讯塔BC，点A,B,C位于同一直线上．在地面P处，测得塔顶C的仰角为42°，塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC的高度为29米，则小山AB的高度为米．（结果取整数，参考数据：tan35°≈0.70,15．“天水麻辣烫”火了！如图，太原的小李乘坐高铁由太原南去天水吃麻辣烫时，在距离铁轨100米的B处观察他所乘坐的由太原南开往天水的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．根据所学知识，该时段动车的平均速度是米/秒．16．如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了海里．（精确到1海里，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，三、解答题17．求下列各式的值：(1)2(2)tan18．解直角三角形(1)∠C(2)∠C19．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=8，(1)求CD的长．(2)求tan∠DBC21．图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB=10cm，BC=20cm，(1)如图2，当活动杆AD处于水平状态时，直接写出可伸缩支撑杆CD的长度．（结果保留根号）(2)如图3，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα=34（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果精确到122．如图，已知直线y=2x+2与直线y=-2x+6相交于D，它们与x轴分别交于A，B两点，直线DF⊥x轴，交x轴于F，设点E是线段DF的中点，连接EB(1)求点D的坐标；(2)设G是线段EF上一点，如果∠GBF=∠DBE，求点G的坐标；(3)设点P为x轴上一点，∠DAO+∠DPO=θ，当tanθ=4时，求点P23．在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上．(1)如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长CD为3.5米，落在地面上的影长BD为6米，求树AB的高度．(2)如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长EF为8米，坡面上的影长FG为4米．已知斜坡的坡角为30°，则树的高度为多少？参考答案：题号12345678答案AADDCDBB1．解：由题意得：sinA=故选：A．2．解：∵|cos∴cosA=∴∠A=60°,∠B=30°，∴∠C=90°，即△ABC的形状是直角三角形．故选：A．3．解：设扶梯的长度为x米，由题意得，sin28°=解得AB=7故选D．4．解：∵∠C=90°,∠B=42°,BC=8，∴AC=BC⋅tan∴用科学计算器求AC的长的按键顺序为：；故选D．5．解：∵∠BCA=90°，BC=3，AB=6，∴sin∴∠A=30°，∠ABC=60°，根据轴对称的性质可知：∠CBE=∠ABE=1∠D=∠A=30°，∴CE=BC⋅tan∵∠D=30°，∴DE=2CE=2×3故选：C．6．解：如图，过点B作BC⊥AO于点C，连接AB并延长，过点O作OD⊥AB交AB延长线于点D，在Rt△ADO∵∠ADO=90°，AD=4，DO=2，由勾股定理可知：AO=A同理，在Rt△BDO中，由勾股定理可知：BO=2设CO=x，在Rt△BCO中，由勾股定理可知：B同理，在Rt△ACB中，AC2∴BC∴2∴8-x解得x1=6∴BC=B∴sin故选：D．7．解：∵水平线与视线的夹角，即是俯角，∴从点P观测点B的俯角为∠CPB，故选：B．8．解：由题意得∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=15°+90°=105°，∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-30°-105°=45°，过B作BP⊥AC，垂足为P，

∴∠BPC=∠BPA=90°，∴∠PBA=90°-∠BAC=60°，∠CBP=∠ABC-∠PBA=∴BP=CP，AP=BP设BP=CP=x，则AP=3∴AC=CP+AP=x+3解得x=1，∴观测站B到AC的距离BP是1．故选：B．9．(1)35，45(2)10(3)310．解：∵sinB=∴∠B=60°，∵CD⊥AB于D，∴∠BCD=90°-60°=30°，∴BC=2BD，∵∠ACB=90°，∴∠A=90°-60°=30°，∴AB=2BC，∴AB=4BD，∴AD=3BD=3×3故答案为：6311．解：∵AE=AB，AB=2AD∴AE=2AD∵四边形ABCD是矩形∴∠D=90°∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°∵cos∴∠DAE=60°∴∠BAE=30°∵AE=AB∴∠ABE=∠AEB=∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=15°．故答案为：15°．12．解：由菱形的性质可知，AC⊥BD，AB=BC，∵∠B=60°，∴∠ABD=∠CBD=1∴△ABC为等边三角形，∴AO=CO=1∴BO=DO=AB⋅cos∵点E在对角线BD上，∴点E的位置有两种情况：①如解图①，当点E在BO上时，∵OE∴∠OAE=30°，∴OE=AO⋅tan∴BE=BO-OE=33②如解图②，当点E在DO上时，由①可得OE=3∴BE=BO+OE=33综上所述，BE的长为23或4故答案为：23或413．解：如图，作DM∥EF交AB于点M，则∠AMD=∠AEF，∵四边形ABCD是矩形，AD=6，tan∠AMD=∴AM=2，∴由勾股定理得DM=A∵AM=2，AB=8，∴BM=6，∵EF∥DM，∴△BEF∽△BMD，∴EF∴EF=2故答案为：21014．解：由题意可知，在Rt△PAC∵∠APC=42°，tan42°=∴tan∴AP=AB+BC在Rt△PAB∵∠APB=35°，tan35°=∴AP=AB∴AB+BC∴tan∴tan∴AB=tan故答案为：102．15．解：作BD⊥AC于点D．∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，∴∠DAB=30°∴AB=2BD=200（米），AD=A同理，CD=BD=100（米）．则AC=(100+1003则平均速度是100+100310=10(故答案为：10316．解：由题意得：AB=30（海里），AC⊥CE,在Rt△ACD中，∠CAD=45°∴AC=CD∴BC=AC-AB=80-30=50（海里），在Rt△BCE中，∠CBE=70°，∴CE=BC⋅tan∴DE=CE-CD=137.5-80=57.5≈58（海里），即乙船向正东方向航行了58海里，故答案为：5817．解：（1）2=2×=1（2）tan=1+6×=318．（1）解：∵∠C∴AC=AB2∴∠A∴∠B（2）解：∠C∴AB=AC2∴∠A∴∠B19．解：过点A作AD⊥BC交BC于点D，即∠ADC=∠ADB=90°，∵∠C=45°，AC=2，∴AD=AC⋅sin∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=DC=2∵∠B=30°，∴BD=AD∴BC=BD+DC=220．（1）解：∵DE⊥AB，AE=8，在Rt△ADE，sin设DE=3x，AD=5x，由勾股定理可得DE2+A解得x=-2（舍去）或x=2，∴DE=6，AD=10，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=6；（2）∵DE⊥AB，∠C=90°，CD=DE，又∵BD=BD，∴Rt△BCD≌∴BC=BE，设BC=BE=y，在Rt△ABC中，sin解得y=12，即BC=BE=12，∴在Rt△BCD中，tan21．（1）解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，由题意得：AB=CE=10cm，BC=AE=20∵AD=50cm∴ED=AD-AE=50-20=30cm在Rt△CED中，CD=∴可伸缩支撑杆CD的长度为1010（2）解：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD'于点解：由题意得：AB=FG=10cm，AG=BF，∠AGD=90°在Rt△ADG中，tan∴设DG=3xcm，则AG=4x∴AD=A∵AD=50cm∴5x=50，解得：x=10，∴AG=40cm，DG=30∴DF=DG+FG=30+10=40cm∴BF=AG=40cm∵BC=20cm∴CF=BF-BC=40-20=20cm在Rt△CFD中，CD=∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为45cm22．（1）解：由题意可得：y=2x+2y=-2x+6，解得：x=1∴点D的坐标为1,4．（2）解：∵直线DF⊥x轴，交x轴于F，∴点F的坐标为1,0，∵点E是线段DF的中点，∴点E的坐标为1,2，∴DE=2，∵直线y=-2x+6与x轴分别交于B点，∴B3,0∴FB=OB-OF=3-1=2，∴BD=3-12+如图：过E作EI⊥BD于I，作EH⊥BG交BG延长线于H，∵12∴EI=2∴sin∠DBE=设G1,g，即GF=g，∵∠GBF=∠DBE，∴sinGBF=∴g4+g2∴点G的坐标为1,（3）解：∵直线y=2x+2x轴交于A，∴A-1,0，即如图：连接OD,DF，若点P在点A的左侧，∵OF=1,DF=4,∴tan∠DOF=DFOF∴∠DOF=∠DAO+∠ADO=θ，∵∠DAO+∠DPO=θ，∴∠OPD=∠ADO，∵∠AOD=∠DOP，∴△OAD∽△ODP，∴OAOD∴OD∴12+4∴点P的坐标为-17,0．同理可得：若点P在点A的右侧时，点P的坐标为19,0．综上，点P的坐标为-17,0或19,0．（1）解：根据题意，CD=3.5米，BD=6