江苏省徐州市铜山区2022-2023学年高一下学期期中数学试卷(解析)

高中数学精编资源-2023学年度第二学期学情调研高一数学试题本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角的终边过点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据终边上的点，求得三角函数的值，可得答案.【详解】由题意可得：，，则.故选：C.2.设是虚数单位，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用的周期性求解，连续4项的和为0,计算求解即可.【详解】，取值周期为4，连续4项的和为0，所以，故选:D.3.已知向量与是两个单位向量，且与的夹角为，若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出，再根据平面向量数量积的运算计算可得；【详解】因为，是夹角为60°的两个单位向量，所以，因为，，所以.故选：C.4.古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417-公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，，，…．如图，若记，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用直角三角形中的边角关系，两角和余弦公式，求得的值，即可求解.【详解】由题意知，，所以.故选：B.5.在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（）A. B. C. D.21【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角函数的同角公式，求出，再根据三角形面积公式，即可求解．【详解】，，，则，，，的面积为．故选：．6.在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（）A.等腰三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦定理与二倍角公式化简后判断即可.详解】，由正弦定理化简得，即，故，，则或，即或，则的形状为等腰或直角三角形.故选：D.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解.【详解】因为，所以，故选：B.8.八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正八边形的边长为2，求出外接圆的半径OF和内切圆的半径OM，再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值，即可得出结果．详解】正八边形中，，所以，连接，过点O作，交、于点、，交于点，，设，由余弦定理得，中，，，中，，所以，解得，，解得，所以，当P与M重合时，在上的投影向量为，此时取得最小值为，当P与N重合时，在上的投影向量为，此时取得最大值为，因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是.故选：A．【点睛】方法点睛：由图形可得，为定值，研究在上的投影向量的大小和方向即可.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则与共线C.若，则 D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A，根据数量积的运算律，整理方程，求得数量积为零，可得答案；对于B，利用数量积的定义式，化简方程，求得夹角余弦值，可得答案；对于C，利用数量积的运算律，结合数量积的结果，可得向量关系，可得答案，对于D，利用分类讨论的解题思想，解得向量的共线定理，可得答案.【详解】对于A，因为，所以，则，即，故A正确；对于B，因为，且设向量夹角为，所以，则，即或，即与共线，故B正确；对于C，因为，所以，则或，故C错误；对于D，因为，当时，，即，当时，由共线向量定理可得，故D正确.故选：ABD.10.已知是复数，是虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则的虚部为C.复数在复平面中对应的点所在象限为第二象限D.若复数是纯虚数，则复数的共轭复数为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，复数除法求出，结合复数模公式，即可求解；

对于B，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解；

对于C，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解；

对于D，结合纯虚数和共轭复数的定义，即可求解．【详解】对于A，，则，故，故A正确；

对于B，，则，，其虚部为，故B正确；对于C，，故复数z在复平面中对应的点所在象限为第一象限，故C错误；

对于D，复数是纯虚数，则，解得，故，所以，故D正确．

故选：ABD．11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.在上单调递增C.若，则D.在内使的所有的和为【答案】AB【解析】【分析】运用和差角、二倍角等公式将三角函数解析式化简后利用三角函数的图象和性质，逐一验证．【详解】．，故A正确；当时，，正弦函数在单调递增，故B正确；若，则和一个为函数的最大值，一个为最小值，，故C错误；令，，，在的根分别为：，则有，在内使的所有的和为：，故D错误．故选：AB．12.已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列说法正确的是（）A.若，则有两解B.周长的最大值为12C.的取值范围为D.的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦定理判断A；由余弦定理结合基本不等式可判断B；利用三角函数恒等变换的应用可得，根据正切函数的性质即可判断C；根据正弦定理，结合平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求，进而根据正弦函数的性质可判断D.【详解】对于A，由正弦定理得，又，所以，角为唯一锐角，有一解，故A错误；对于B，由余弦定理得：，则，所以，所以周长为，所以周长的最大值为12，故B正确；对于C，，因为，则的取值范围为，所以的取值范围为，故C正确；对于D，由正弦定理得，则，则，，因为，所以.因为，所以，则，所以当，即时，取得最大值为，故D正确；故选：BCD【点睛】方法点睛：三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，向量，，且，则________．【答案】【解析】【分析】由已知条件可得，利用平面向量数量积的坐标运算求出的值，结合角的取值范围可得出角的值.【详解】因为向量，，且，则，因为，则，可得，故.故答案为：.14.如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高________．【答案】90【解析】【分析】利用三角形内角和求得内角，结合正弦定理求得边长，利用直角三角形中的锐角三角函数，可得答案.【详解】在三角形中，，，，又，由正弦定理可得：，，解得，又在中，由题意可知：，.故答案为：.15.计算：________．【答案】【解析】【分析】根据两角和的正切公式可得，再结合题意分析求解.【详解】因为，整理得，则，所以，即.故答案为：16.设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】由可得的取值范围，再由向量数量积的定义及夹角公式进行求解即可．【详解】，为单位向量，则，即，，得，令，，，，，有，由，则，即，得，，即.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积和模等基础知识，解题关键在于令，把表示成关于的函数，由已知求出的取值范围，利用函数思想求的最小值.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）将图象上所有点先向右平移个单位长度，再将纵坐标变为原来的2倍，得到函数，求在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函数图像最大值得，利用周期算，代图像上的点计算，得函数的解析式；（2）由函数图像的变换求的解析式，由函数定义区间，利用解析式和正弦函数的性质求值域.【小问1详解】由图形可得，，解得，∵过点，∴，即，∴．又∵，∴．∴．【小问2详解】解：由（1）知，将图像上所有点向右平移个单位长度，再将纵坐标变为原来的2倍，得到，∵，∴，∴∴所以的值域为18.已知，，，．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，，得到，再由求解；（2）由求解.【小问1详解】∵，，∴，∴，；【小问2详解】由（1）知，，又∵，，∴，∵，所以，∴，.19.在中，已知，，，点为线段上一动点，设，.（1）当时，试用，表示向量，并求；（2）当取最小时，求与夹角余弦值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用向量运算法则表示向量，利用向量模的公式求解模长即可；（2）利用向量运算法则表示向量，利用向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】∵，∴，∴，∴；【小问2详解】设，则，∴，当时，∴，此时，∴，∴，所以与夹角的余弦值为.20.已知锐角三个内角、、的对应边分别为、、，．（1）求；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）利用正弦定理结合三角恒等变换可出关于角的函数关系式，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.【小问1详解】解：因为，由正弦定理得，又因为，所以，，所以，，即，所以，，又因为，则，所以，，又因为，则，所以，，故.【小问2详解】解：由正弦定理知，则，，所以，，因为为锐角三角形，且，则，解得，所以，，则，所以，，因此，的取值范围是．21.已知向量，．（1）如果且，求的值；（2）令，若，且，，求的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量平行的坐标运算，结合同角三角函数的商数关系求出，把要解的算式用两角和的正弦余弦公式展开，利用齐次式转化为求解.（2）由向量的坐标运算和倍角公式化简，得，可求，由求出，利用倍角公式和两角和的余弦公式，求出，可得的大小.【小问1详解】∵，∴，又∵，∴，∴，∴【小问2详解】∴，∵，∴，，∴，∴，，∴有，，∴，∴，又∵，∴.22.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改建．如图所示，方案一平行四边形区域为停车场，方案二矩形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点在道路上，点，，在道路上，且米，，设．（1）当点为弧的中点时，求的值；（2）记平行四边形的面积为，矩形的面积为，说明，的大小关系，并求为何值时，停车场面积最大？最大值是多少？【答案】（1）（2），当，最大为．【解析】【分析】