河南省焦作市2022-2023学年高二下学期期中数学试卷(解析)

高中数学精编资源绝密★启用前焦作市普通高中2022—2023学年（下）高二年级期中考试数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.或C. D.【答案】C【解析】【分析】解对数函数不等式化简集合A，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以，又，所以.故选：C2.已知函数且（其中是的导函数），则实数（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】求出导函数，由可求得．【详解】由已知，所以，解得．故选：C．3.已知随机变量X的数学期望，方差，若随机变量Y满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据期望和方差的两个公式，计算即可.【详解】因为随机变量X的数学期望，方差，所以.故选：B4.已知双曲线的焦距为，若，c，c成等比数列，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列建立方程，再由可求出即可得解.【详解】因为，c，c成等比数列，所以，即，解得，因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为，故选：C5.记为等比数列的前n项和．若，则（）A.12 B.15 C.18 D.21【答案】B【解析】【分析】设公比为，根据等比数列的求和公式，分与两种情况讨论，可求出结果.【详解】设公比为，当时，由，，解得，则；当时，由，，得，显然，从而得，即，得，即，解得或，均不符合题意，综上，.故选：B．6.若曲线在处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义求出，然后利用二倍角公式及弦切互化计算即可.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：D7.已知在数列中，，则（）A. B.1 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】由题意可得数列是以6为周期的周期数列，且，由此计算即可得出结果.【详解】由，可得，，，所以数列是以6为周期的周期数列，且，因为，则.故选：B．8.已知数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件【答案】A【解析】【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由题意得数列为递增数列等价于“对任意恒成立”，得，即对任意恒成立，故，所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，故选：A.9.“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念．小红早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，还可以步行．已知小红骑单车的概率为0.5，乘坐公共汽车的概率为0.4，步行的概率为0.1，而且骑单车、乘坐公共汽车、步行时，小红准时到校的概率分别为0.9，0.9，0.8，则小红准时到校的概率是（）A.0.9 B.0.89 C.0.88 D.0.87【答案】B【解析】【分析】分别求出乘坐公共汽车和骑单车、步行准时到校的概率，然后求和即为准时到校的概率.【详解】小红上学骑单车准时到校的概率为，乘坐公共汽车准时到校的概率为，步行准时到校的概率为，因此小红准时到校的概率为：，故选：B10.的展开式中的系数是（）A.20 B. C.10 D.【答案】D【解析】【分析】先把二项式分为三部分，分别求每个二项式展开式中的系数计算即可.【详解】因为,展开式中的项是,则展开式中的系数是.故选:D.11.已知函数在定义域内单调递增，则实数a的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对求导，由在定义域内单调递增，可得在恒成立，即在恒成立，令，转化为求，可得的取值范围；【详解】的定义域为，，函数在定义域内单调递增，则在恒成立，则，即，令，，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.故，故实数a的最小值为.故选：A12.设，则（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令，，利用导数可求得的单调性，从而确定，，令即可得到大小关系.【详解】令，，则，在上单调递增，，即；取，则令，，则，在上单调递增，，即；取，则，即，即，综上，.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查采用构造函数的方式比较大小的问题，解题关键是能够根据的形式的共同点，准确构造函数和，利用导数求得函数单调性后，通过赋值来确定大小关系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．若为的导函数，则______．【答案】【解析】【分析】先利用奇函数性质求出时函数的解析式，求出导函数，代入计算即可.【详解】当时，，，所以，即当时，，所以，所以，故答案为：14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式：__________．①定义域为R；②值域为；③是单调递减函数．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的三个性质，写出符合条件的函数即可.【详解】的定义域为,的值域为，在上为减函数.故答案为：（答案不唯一）15.已知函数，则的极小值为__________．【答案】【解析】【分析】求函数的导数，判断给定区间函数的单调性，即可求得函数的极小值.【详解】因为，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当，取极小值.故答案为：．16.已知数列的前n项和为，若（为非零常数），且，则__________．【答案】12【解析】【分析】由所给的递推关系，令计算出，代入即可得出结果.【详解】由，，当时，，即，得，当时，，即，得，当时，，即，得，因为，即，又，解得.故答案为：12．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，角A为锐角．（1）求角A的大小；（2）若的外接圆面积为，求b．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题设结合正弦定理及两角和的正弦公式可得，由求得，，即可得出角；（2）由的外接圆面积得出外接圆半径，由求出，由正弦定理可得，即可得出结果．【小问1详解】∵，∴由正弦定理可得，即，即，∵，∴，∴，又∵A为锐角，∴．【小问2详解】由于的外接圆面积为，故外接圆半径为，∵，∴由正弦定理可得．18.已知正项等比数列的前n项和为，且．（1）证明：数列等比数列；（2）已知数列满足，求的前n项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先通过等比数列通项公式及前n项和公式列方程求出通项公式及前n项和，然后利用等比数列的概念证明即可；（2）先求出，然后利用错位相减法求和即可.【小问1详解】设的公比为，∵，∴，解得，∴，∴，,又∴数列是公比为的等比数列；【小问2详解】由（1）可知，等比数列的通项公式为，∴．∴，，两式相减得，∴．19.研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，工业和信息化部在2022年新能源汽车推广应用中提出了财政补贴政策后，某新能源汽车公司的销售量逐步提高，如图是该新能源汽车公司在2022年1~5月份的销售量y（单位：万辆）与月份x的折线图．（1）依据折线图计算x，y的相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系；（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）（2）请建立y关于x的线性回归方程，并预测2022年8月份的销售量．参考数据及公式：，相关系数，在线性回归方程中，．【答案】（1），说明见解析（2），9.25万辆【解析】【分析】（1）由折线图中的数据，结合公式求得，即可得到结论；（2）由（1）中的数据，利用回归系数的公式，求得和，得出回归直线方程，令时，求得的值，即可求解．【小问1详解】解：由该新能源汽车公司在2022年1~5月份的销售量y与月份x的折线图中的数据，可得，，，，所以，故可用线性回归模型拟合y与x的关系．【小问2详解】解：由（1）中的数据，可得，则，故y关于x的线性回归方程为，当时，．故可以预测2022年8月份的销售量为万辆．20.如图，在四棱锥中，，，，，．（1）求证：平面．（2）在线段上是否存在一点H（与端点A，B不重合），使得二面角的余弦值为？若存在，请确定H点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，H是线段的中点【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理求解即可；（2）建立空间直角坐标系，设，利用向量法求出二面角的余弦值，解之即可.【小问1详解】由题可知在中，．∵，∴．又∵是等腰直角三角形，∴，∴．又，∴，∴．∵平面平面，∴平面．【小问2详解】以E为原点，直线，分别为x轴、y轴，过点E且与平面垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则．易知平面的一个法向量为．设，则．设平面的法向量为，，则，即，令，则，∴．由题意可知二面角为锐二面角，∴，解之得，∴H是线段的中点．21.已知抛物线C：的焦点为F，为该抛物线上一点．（1）求的值；（2）若斜率为2的直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且满足，求直线l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将点P代入抛物线方程求出抛物线方程，然后利用焦半径公式求解即可；（2）设直线方程，代入抛物线方程，结合韦达定理及数量积的坐标运算建立方程，求解即可.【小问1详解】因为为该抛物线上一点，所以，则，所以抛物线方程为，由抛物线定义知．【小问2详解】设直线l的方程为，联立，整理可得，由，可得，所以，因为，所以，所以，所以，则，即，解得或，又当时，直线l经过点P，所以不符合题意，故直线l的方程为.22已知函数．（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若函数，证明：当时，恒成立．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，利用导数说明函数的单调性求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围；（2）先构造函数利用导数证明当时，不等式成立，则问题转化为证明恒成立，即证恒成立，即证在上恒成立，再构造函数利用导数证明即可．【小问