广东省中山火炬开发区高一上学期11月期中考试数学试题（含答案解析）

广东省中山火炬开发区2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，由图知道阴影部分表示中把中去掉后剩下元素组成的集合，写出结果即可.【详解】，由图知道阴影部分表示中把中去掉后剩下元素组成的集合.即图中阴影部分表示的集合为.故选：A.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】举两个反例分别说明充分性、必要性不成立即可.【详解】若，则，这表明充分性不成立；若，则，但是不满足，这表明必要性不成立；综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.3.命题“每一个四边形的对角线都互相垂直”的否定是（）A.每一个四边形的对角线都不互相垂直B.存在一个四边形，它的对角线不垂直C.所有对角线互相垂直的四边形是平行四边形D.存在一个四边形，它的对角线互相垂直【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定分析判断即可.【详解】因为“每一个四边形的对角线都互相垂直”是全称命题，所以其否定为：存在一个四边形，它的对角线不垂直，故B正确，ACD错误.故选：B.4.已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（）A. B.，或C，或 D.【答案】A【解析】【分析】先根据一元二次不等式的解集得出再化简得出,即可得出不等式的解集.【详解】关于的一元二次不等式的解集为，则，且是一元二次方程的两根，于是解得则不等式化为，即，解得，所以不等式的解集是.故选：A.5.下列各组函数表示同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以A不符合题意；对于B中，函数有意义，则满足，解得，即函数的定义域为，又由函数有意义，则满足，解得或即函数的定义域为，所以两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意；对于C中，由函数与的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以C符合题意；对于D中，由函数，所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D不符合题意.故选：C.6.已知函数，则（

）A.是奇函数 B.定义域为C.在上单调递增 D.值域为【答案】C【解析】【分析】化简，由奇偶函数的定义可判断A；求出的定义域可判断B；由定义法证明的单调性可判断C；由基本不等式可判断D.【详解】因为，，所以是偶函数，故A错误；的定义域为，故B错误；任取，且，，因为，所以，，所以，所以，所以在上单调递增，故C正确；因为，当且仅当，即时取等，所以的值域为，故D错误；故选：C.7.定义在0,+∞上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，运用单调性，结合所给特殊值，得到不等式计算即可.【详解】令，因为对，且，都有成立，不妨设，则，故，则，即，所以在0,+∞上单调递增，又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为.故选：A.8.已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解.【详解】当时，则，且，所以，若函数的值域为，可知当时，则的值域包含，若，则在内单调递减，可得，不合题意；若，则在内单调递增，可得，则，解得；综上所述：实数a的取值范围是.故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若，，，则下列不等式恒成立是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据基本不等式判断ABD，举反例可判断C.【详解】因为，则，当且仅当时取等号，故A错误；因为，当且仅当时取等号，故B正确；令，则不成立，故C错误；因为，当且仅当时取等号，故D正确.故选：BD10.已知实数a，b满足等式，则下列不可能成立的有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】画出函数和的图象，结合图象可得的大小关系.【详解】作出函数和图象如图所示：设，，当时，由图可知；当时，由图可知；当时，由图可知，故选：CD.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（）A.的图象关于轴对称 B.的最大值为1，没有最小值C. D.在上是增函数【答案】ABD【解析】【分析】根据的定义，结合的解析式，作出函数图象，即可结合选项逐一进行判断即可．【详解】因为，画出的图象如下：A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于轴对称，A错误；B选项，无最大值，有最小值0，B错误；C选项，因为，故，，因为，所以，故，C正确；D选项，由图象可知在R上不是增函数，D错误.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.求值：－＋＝_____________．【答案】【解析】【分析】根据根式、分数指数幂运算、零指数幂运算得出结果.【详解】－＋＝故答案为：13.若函数的定义域是，则函数的定义域是_____．【答案】【解析】【分析】根据题意，得出不等式组，即可求得函数的定义域，得到答案.【详解】由函数的定义域为，则函数有意义，则满足，解得，即函数的定义域为.故答案为：.14.不等式对恒成立，则的取值范围____．【答案】【解析】【分析】当时，不等式恒成立，当时，分离参数可得，利用基本不等式求最值，可得参数范围.【详解】当时，不等式为，恒成立；当，即时，不等式，可转化为，设，，所以，所以，综上所述，的取值范围为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知集合，．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．（1）当时，求；（2）若__________，求实数的取值范围．【答案】（1）或x≥4（2）答案见解析【解析】【分析】（1）解分式不等式化简集合，由交集、补集的概念即可得解；（2）由题意条件①与②都等价于是的子集，条件③等价于是的补集的子集，只需分集合是否是空集，列不等式进行讨论即可求解.【小问1详解】当时，，．所以，所以或；【小问2详解】若①成立，则当且仅当是的子集，若②成立，则当且仅当是的子集，所以条件①与②等价，若条件①或②成立，此时若是空集，则，解得，若不是空集，即，且是的子集，则，解得，所以，从而无论条件①还是②都有或；若条件③成立，若是空集，则，解得，若不是空集，即，且是的补集的子集，而或，则或，解得或，所以或，从而若条件③成立，则或，综上所述，无论条件①还是②都有或；若条件③成立，则或.16.（1）已知，求的解析式；（2）已知函数，，，用表示、中的较小者，记为，求的解析式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令，则，可得出，，由此可得出的表达式，由此可得出函数的解析式；（2）分别解不等式、，结合可得出函数的解析式.【详解】（1）设，则，则，所以，，所以，，其中，则．（2）由，即，即，解得，由，即，即，解得或，所以，.17.已知函数，且其定义域为．（1）判定函数的奇偶性；（2）利用单调性的定义证明：在上单调递减；（3）解不等式．【答案】（1）奇函数（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）检验与的关系即可判断;（2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断;（3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式.【小问1详解】为奇函数，理由如下：因为，且函数定义域为，关于原点对称，所以为奇函数.【小问2详解】任取，所以，，则，所以，故在上单调递减；【小问3详解】可转化为，则，所以，解得，故的范围为.18.中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.（1）已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式；（2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.【答案】（1）（2）产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元【解析】【分析】（1）由分段代入计算即可得.（2）借助一次函数、二次函数的性质与基本不等式计算每段的利润最大值即可得.【小问1详解】当时，，当时，，当时，，所以的函数解析式为.【小问2详解】当时，，当时，，当且仅当时取等号，当时，，当且仅当，即时取等号，则，而，所以当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.19.设函数定义域为D，集合，若存在非零实数t使得对任意都有，且，则称为M上的t-增长函数．（1）已知函数，判断是否为区间上的-增长函数，并说明理由；（2）已知函数，且是区间上的n-增长函数，求正整数n的最小值；（3）如果是定义域为R的奇函数，当时，，且为R上的4-增长函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）是，理由见解析（2）正整数n的最小值为9（3）【解析】【分析】（1）根据题意分析证明；（2）根据题意分析可得对恒成立，结合一次函数的性质分析运算；（3）根据奇函数先求得，结合函数的单调性和符号分析可得，再分类讨论验证其充分性.小问1详解】是，理由如下：由题意可得：函数的定义域为R