2024年山东省淄博市中考数学试卷（附答案）

2024年山东省淄博市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1．（4分）下列运算结果是正数的是（）A．3﹣1 B．﹣32 C．﹣|﹣3| D．﹣2．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆．将30.7万用科学记数法表示为3.07×10n．则n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．74．（4分）如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A＝110°，则∠D的度数是（）A．40° B．36° C．35° D．30°5．（4分）数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（）A．95分， B．96分， C．95分，10 D．96分，106．（4分）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35m．又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（）A． B． C． D．7．（4分）如图，其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）若设门的高和宽分别是x尺和y尺．则下面所列方程组正确的是（）A． B． C． D．8．（4分）如图所示，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（）A．2 B． C． D．9．（4分）如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y＝的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若这两个正方形的面积之和是，且MD＝4GN．则k的值是（）A．5 B．1 C．3 D．210．（4分）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系．那么以下结论：①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min；②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m；③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min；④A，B两地之间的距离是11200m．其中正确的结论有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）11．（4分）计算：＝．12．（4分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），将线段AB平移得到线段CD．若点A的对应点是C（1，2），则点B的对应点D的坐标是．13．（4分）若多项式4x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是．14．（4分）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交于点F．若∠ACD＝2∠OEC，＝，则菱形ABCD的面积为．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，作直线x＝i（i＝1，2，3，…）与x轴相交于点Ai，与抛物线相交于点Bi，连接AiBi+1，BiAi+1相交于点∁i，得△AiBi∁i和△Ai+1Bi+1∁i，若将其面积之比记为ai＝，则a2024＝．三、解答题（共8题90分）16．（10分）解不等式组：，并求所有整数解的和．17．（10分）如图，已知AB＝CD，点E，F在线段BD上，且AF＝CE．请从①BF＝DE；②∠BAF＝∠DCE；③AF＝CF中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得△ABF≌△CDE．你添加的条件是：（只填写一个序号）．添加条件后，请证明AE∥CF．18．（10分）化简分式：+，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）19．（10分）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：调查目的了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程调查方式随机问卷调查随机问卷调直调查对象随机问卷调直部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在1～3.5h范围内）调查内容（1）你的周家务劳动时间（单位，h）是①1～1.5②1.5～2③2～2.5④2.5～3⑤3～3.5（2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门）A．家政B．烹饪C．剪纸D．园艺E．陶艺调查结果结合调查信息，回答下列问题：（1）参与本次问卷调查的学生人数名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为度；（2）补全周家务劳动时间的频数分布直方图；（3）若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；（4）小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率．20．（12分）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．21．（12分）如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO＝2．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积；（3）根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2＞的解集．22．（13分）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．【操作发现】小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB＝AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），连接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图①小明发现：CE与⊙O的位置关系是，请说明理由：【实践探究】连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．请求出当AB＝3，BC＝6时，CF长的最大值；【问题解决】在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD：DB与点F分线段DF所成的比DF：FE始终相等．请予以证明．23．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点（点A在点B的左侧），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，抛物线与y轴相交于点C．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）已知直线l：y＝3x+9与x，y轴分别相交于点D，E．①设直线BC与l相交于点F，问在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF＝∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；②过抛物线上一点M作直线BC的平行线．与抛物线相交于另一点N．设直线MB，NC相交于点Q．连接QD，QE．求线段QD+QE的最小值．

1．A．2．C．3．B．4．C．5．D．6．A．7．D．8．A．9．C．10．B．11．【解答】解：＝3﹣2＝．故答案为：．12．【解答】解：∵点A（﹣3，1）的对应点是C（1，2），∴线段AB向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段CD，∴点B（﹣1，3）的对应点D的坐标为（3，4）．故答案为：（3，4）．13．【解答】解：∵多项式4x2﹣mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，∴﹣mxy＝±2×2x×3y，则﹣m＝±2×2×3＝±12，解得：m＝±12，故答案为：±12．14．【解答】解：作OH∥BC交CD于点H，则△DOH∽△DBC，∵四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC，BD相交于点O，∴BC＝10，OD＝OB＝BD，OA＝OC，AC⊥BD，∴＝＝，∠BOC＝90°，∴OH＝BC＝5，∵OH∥EC，＝，∴△OFH∽△EFC，∴＝＝，∴EC＝OH＝×5＝6，∵AC＝DC，AC⊥BD，∠ACD＝2∠OEC，∴∠ACB＝∠ACD＝2∠OEC＝∠COE+∠OEC，∴∠OEC＝∠COE，∴OC＝EC＝6，∴OB＝＝＝8，∴BD＝2OB＝16，AC＝2OC＝12，∴S菱形ABCD＝BD•AC＝×16×12＝96，故答案为：96．15．【解答】解：①由A1（1，0）得B1（1，），由A2（2，0）得B2（2，1），设直线A1B2的解析式为y＝kx+b，代入由A1（1，0），B2（2，1）得：，∴k＝1，b＝﹣1，∴直线A1B2的解析式为y＝x﹣1，同理直线A2B1的解析式为y＝x+，联立得x﹣1＝x+，∴x＝，∴C1（，），∴ai＝××（）÷[×1×（2﹣）]＝＝．②由A3（3，0）得B3（3，），同①方法得直线A2B3的解析式为y＝x﹣，直线A3B2的解析式为y＝﹣x+3，联立得x﹣＝﹣x+3，∴x＝，∴C1（，），∴a2＝×1×（）÷[××（）]＝＝，•••，∴a2024＝．故答案为：．16．【解答】解：，解不等式①得：x＜1；解不等式②得：x＞﹣4，∴原不等式组的解集﹣4＜x＜1，∴不等式组所有整数解的和为﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣6．17．【解答】解：当选择①BF＝DE时，△ABF≌△CDE，证明如下：在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SSS），∴∠B＝∠D，BF＝DE，∴BF+EF＝DE+EF，即BE＝DE，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠AEB＝∠CFD，∴AE∥CF；当选择②∠BAF＝∠DCE时，△ABF≌△CDE，证明如下：在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS）；∴∠B＝∠D，BF＝DE，同理可证：△ABE≌△CDF（SAS），∴∠AEB＝∠CFD，∴AE∥CF；当选择③AF＝CF时，不能判定△ABF≌△CDE，故答案为：①（答案不唯一）．18．【解答】解：由对话可得a＝﹣3，b＝2，原式＝+＝+＝，当a＝﹣3，b＝2时，原式＝＝﹣．19．【解答】解：（1）参与本次问卷调查的学生人数为20÷20%＝100（名）．在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝126°．故答案为：100；126．（2）周家条劳动时间是③2～2.5的人数为100﹣10﹣20﹣35﹣10＝25（人）．补全周家务劳动时间的频数分布直方图如图所示．（3）800×＝176（人）．∴估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数约176人．（4）列表如下：ABCDEA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）（B，E）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）（C，E）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）（D，E）E（E，A）（E，B）（E，C）（E，D）（E，E）共有25种等可能的结果，其中两人恰好选到同一门课程的结果有5种，∴两人恰好选到同一门课程的概率为．20．【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，由题意得：32（1+x）2＝50，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，由题意得：m（1600﹣×40）＝240000，整理得：m2﹣500m+60000＝0，解得：m1＝200，m2＝300（不符合题意，舍去），答：购买的这种健身器材的套数为200套．21．【解答】解：（1）由y＝k1x+2得D（0，2），∵tan∠ACO＝2，∴＝2，∴C（﹣1，0），代入y＝k1x+2得k1＝2，∴一次函数解析式为y＝2x+2．过A作AM⊥x轴，如图1．∴tan∠ACO＝＝2，∵AM＝4，∴CM＝2，∴OM＝1，∴A（1，4），代入y＝得k2＝4，∴反比例函数解析式为y＝．（2）如图2：过A作AN∥y轴，交BE于N．联立y＝2x+2和y＝得x2+x﹣2＝0，∴x＝﹣2或1，∴B（﹣2，﹣2）．∴BD＝＝2，∴DE＝DB＝2，∴OE＝＝4，∴E（4，0），设直线BE解析式为y＝mx+n，∴，∴m＝，n＝﹣，∴直线BE解析式为y＝x﹣，∴N（1，﹣1），∴△ABE面积＝（4+1）（4+2）＝15．（3）看图得：当﹣2＜x＜0或x＞1时，k1x+2＞，即2x+2＞．22．【解答】解：操作发现：连接CO并延长交⊙O于点M，连接AM，∵MC是⊙O直径，∴∠MAC＝90°，∴∠AMC+∠ACM＝90°由旋转的性质得∠B＝∠ACE，∵∠B＝∠AMC，∴∠ACE＝∠AMC，∵OCE＝∠ACM+∠ACE＝∠ACM+∠AMC＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CE与⊙O相切；实践探究：由旋转的性质得：∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD即∠BAC＝∠DAE，∵AB＝AC，∴，∴△ABC∽△ADE，∴∠B＝∠ADE＝∠ACB，∵∠ADC＝∠ADE+∠CDF＝∠B+∠BAD，∴∠CDF＝∠BAD，∴△ABD∽△DCF，∴，设BD＝x，则CD＝6﹣x，∴，∴CF＝（6﹣x）＝﹣（x﹣3）2+，∵﹣＜0，∴当x＝3时，CF有最大值为；问题解决：证明：过点E作EN∥BC交AC于点N，∴∠ENC＝∠ACB，由旋转的性质知：∠B＝∠ACE，∵∠B＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ACE，∴∠ENC＝∠ACE，∴EN＝CE，由旋转的性质得：△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴BD＝EN，∵EN∥BC，∴△CDF∽△NEF，∴，∵BD＝EN，∴．23．【解答】解：（1）∵x1，x2是x2﹣2x﹣3＝0的两个根，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点，∴，解得，∴抛物线函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）①存在，理由如下：∵直线y＝3x+9与x、y轴分别交于点D、E，∴x＝0时，y＝9，y＝0时，3x+9＝0，x＝﹣3，∴点D（﹣3，0）、E（0，9），∴OD＝3，OE＝9，∴tan∠OED＝＝，由抛物线可知：当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠FCE＝∠OCB＝45°，∵∠DFB是△CEF的外角，∴∠DFB＝∠FCE+∠FEC