《2 平行四边形的判定》（同步训练）初中数学八年级下册-北师大版-2024-2025学年

《2平行四边形的判定》同步训练(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、在下列四边形中，一定是平行四边形的是：A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形B.对角线互相平分的四边形C.一组对边相等，另一组对边平行的四边形D.四个角都相等的四边形2、在梯形ABCD中，已知AD∥BC，若AB=CD，那么下列结论正确的是：A.ABCD是平行四边形B.ABCD是等腰梯形C.AD=BCD.无法确定3、在下列四边形中，不是平行四边形的是（）A.对边平行且相等的四边形B.对角线互相平分的四边形C.有一组对边平行且相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形4、在四边形ABCD中，若AD∥BC，AB=CD，且∠A=70°，则∠B的度数是（）A.70°B.110°C.120°D.无法确定5、在平行四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠B的度数是：A.110°B.70°C.40°D.50°6、在下列四边形中，一定是平行四边形的是：A.有两对对边分别平行的四边形B.有两对对角分别相等的四边形C.有两对对边分别平行且相等的四边形D.有两对对角分别互补的四边形7、已知在平行四边形ABCD中，AB=CD，∠BAD=70°，则∠BCD的度数是：A.70°B.110°C.140°D.160°8、在下列四边形中，能够判定为平行四边形的是：A.对边平行且相等的四边形B.对角相等且邻边相等的四边形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线互相平分的四边形9、在下列四边形中，满足对边平行的是（）A.一个四边形，两组对边分别相等B.一个四边形，两组对角分别相等C.一个四边形，对角线互相平分D.一个四边形，一组对边平行，另一组对边相等10、已知四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，则四边形ABCD是（）A.矩形B.菱形C.平行四边形D.梯形二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：已知在平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC与BD相交于点O。（1）若AO=4cm，BO=5cm，求CD的长度；（2）若ABCD的面积为48cm²，求对角线AC和BD的长度。第二题：在平行四边形ABCD中，E是AD上的点，F是BC上的点，且BE=CF。已知∠ABC=60°，AB=10cm，求证：∠AED=∠CFE。第三题：在平行四边形ABCD中，已知∠ABC=60°，AD=6cm，BC=8cm。求对角线AC和BD的长度。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：在平行四边形ABCD中，已知AB=CD，AD=BC，E是边AB的中点，F是边CD的中点。（1）请判断四边形AEFD是否为平行四边形，并给出理由。（2）如果四边形AEFD是平行四边形，请证明EF平行于BC。第二题：在梯形ABCD中，AD平行于BC，点E是BC的中点，点F是AD的中点。若BE=CF，求证：四边形AEFD是平行四边形。第三题：已知在平行四边形ABCD中，点E和点F分别是边AB和边CD上的点，且AE=CF，BE=DF。请判断四边形AEFD是否为平行四边形？若为平行四边形，请给出判定依据；若不为平行四边形，请说明理由。第四题：已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠A=60°，求证：四边形ABCD是平行四边形。第五题：已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∠BAD=60°，求证：四边形ABCD是菱形。第六题：在平行四边形ABCD中，E和F是AD和BC上的点，且BE=CF。若∠DAB=60°，求证：∠FED=60°。第七题：在平行四边形ABCD中，已知∠ABC=70°，点E在BC边上，且BE=EC。求证：∠AED=∠ABC。《2平行四边形的判定》同步训练及答案解析一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、在下列四边形中，一定是平行四边形的是：A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形B.对角线互相平分的四边形C.一组对边相等，另一组对边平行的四边形D.四个角都相等的四边形答案：B解析：根据平行四边形的判定定理，如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形一定是平行四边形。因此，选项B正确。2、在梯形ABCD中，已知AD∥BC，若AB=CD，那么下列结论正确的是：A.ABCD是平行四边形B.ABCD是等腰梯形C.AD=BCD.无法确定答案：B解析：由梯形的定义，已知AD∥BC，所以ABCD是梯形。又因为AB=CD，根据等腰梯形的定义，如果梯形的两腰相等，则这个梯形是等腰梯形。所以选项B正确。其他选项无法根据已知条件确定。3、在下列四边形中，不是平行四边形的是（）A.对边平行且相等的四边形B.对角线互相平分的四边形C.有一组对边平行且相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形答案：D解析：平行四边形的判定条件包括：对边平行且相等、对角线互相平分、一组对边平行且相等。选项D中的对角线互相垂直并不是平行四边形的判定条件，因此选D。4、在四边形ABCD中，若AD∥BC，AB=CD，且∠A=70°，则∠B的度数是（）A.70°B.110°C.120°D.无法确定答案：B解析：由题意知，四边形ABCD中AD∥BC，根据平行线的性质，∠A和∠B是同位角，所以∠B=70°。又因为AB=CD，且ABCD不是平行四边形，所以四边形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质，底角相等，所以∠B=∠D=70°。因此，∠B的度数是110°。5、在平行四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠B的度数是：A.110°B.70°C.40°D.50°答案：D解析：在平行四边形中，对角相等，即∠A=∠C，因此∠C=70°。由于平行四边形的相邻内角互补，即∠A+∠B=180°，所以∠B=180°-∠A=180°-70°=110°。选项D正确。6、在下列四边形中，一定是平行四边形的是：A.有两对对边分别平行的四边形B.有两对对角分别相等的四边形C.有两对对边分别平行且相等的四边形D.有两对对角分别互补的四边形答案：C解析：根据平行四边形的判定定理，如果一个四边形有两对对边分别平行且相等，那么这个四边形一定是平行四边形。选项C满足这个条件，所以是正确答案。其他选项不能保证四边形一定是平行四边形。7、已知在平行四边形ABCD中，AB=CD，∠BAD=70°，则∠BCD的度数是：A.70°B.110°C.140°D.160°答案：B解析：在平行四边形ABCD中，对角相等，所以∠BCD=∠BAD=70°。因此，正确答案是B。8、在下列四边形中，能够判定为平行四边形的是：A.对边平行且相等的四边形B.对角相等且邻边相等的四边形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线互相平分的四边形答案：D解析：根据平行四边形的定义，对角线互相平分是判定平行四边形的一个充分条件。因此，正确答案是D。其他选项中的条件并不能唯一确定一个四边形为平行四边形。9、在下列四边形中，满足对边平行的是（）A.一个四边形，两组对边分别相等B.一个四边形，两组对角分别相等C.一个四边形，对角线互相平分D.一个四边形，一组对边平行，另一组对边相等答案：C解析：根据平行四边形的判定定理，如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。选项C符合这一条件，因此正确答案是C。10、已知四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，则四边形ABCD是（）A.矩形B.菱形C.平行四边形D.梯形答案：C解析：根据平行四边形的定义，如果一个四边形的对边分别平行，则这个四边形是平行四边形。选项C符合这一条件，虽然题目中未明确说明其他角或对角线的信息，但仅凭对边平行这一条件，我们就可以判断四边形ABCD是平行四边形。因此正确答案是C。二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：已知在平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC与BD相交于点O。（1）若AO=4cm，BO=5cm，求CD的长度；（2）若ABCD的面积为48cm²，求对角线AC和BD的长度。答案：（1）CD的长度为8cm。解析：由于ABCD是平行四边形，所以AB平行于CD，AD平行于BC，且AB=CD，AD=BC。又因为对角线AC与BD相交于点O，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，所以OA=OC，OB=OD。已知AO=4cm，BO=5cm，则OC=AO=4cm，OD=BO=5cm。由于O是对角线的交点，AC=AO+OC=4cm+4cm=8cm。在三角形BCO中，根据勾股定理，有CO²+BO²=BC²，即4²+5²=BC²，解得BC=√(16+25)=√41。因为ABCD是平行四边形，所以CD=AB=6cm。（2）设AC=xcm，BD=ycm。解析：根据平行四边形的面积公式，面积等于对角线乘积的一半，即S=1/2×AC×BD。已知ABCD的面积为48cm²，所以1/2×x×y=48，即xy=96。由于对角线互相平分，所以AO=1/2×AC，BO=1/2×BD。在三角形ABO中，根据勾股定理，有AO²+BO²=AB²。代入AO和BO的表达式，得到(1/2×AC)²+(1/2×BD)²=AB²。由于AB=6cm，所以(1/2×AC)²+(1/2×BD)²=6²，即(1/4)×AC²+(1/4)×BD²=36。将xy=96代入上式，得到(1/4)×(96/B)²+(1/4)×(96/B)²=36。化简得到(1/2)×(96/B)²=36，即(96/B)²=72。解得B=√(96/72)=√(4/3)=2√3。因为BD=2BO，所以BD=2×2√3=4√3。再将BD的值代入xy=96，得到x×4√3=96，解得x=96/(4√3)=24/√3=8√3。所以，对角线AC的长度为8√3cm，对角线BD的长度为4√3cm。第二题：在平行四边形ABCD中，E是AD上的点，F是BC上的点，且BE=CF。已知∠ABC=60°，AB=10cm，求证：∠AED=∠CFE。答案：证明：因为ABCD是平行四边形，所以AD∥BC。由BE=CF，且AD∥BC，根据同位角相等，可得∠AED=∠CFE。由于∠ABC=60°，且ABCD是平行四边形，所以∠ABC=∠ADC=60°。在△ABE和△CDF中，有：AB=CD（平行四边形的对边相等）∠ABC=∠CDF=60°（由步骤3得出）BE=CF（已知）根据SAS（边-角-边）全等条件，可得△ABE≌△CDF。因此，对应角相等，即∠AED=∠CFE。解析：本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定。首先，利用平行四边形的对边平行且相等，得到∠AED=∠CFE。然后，通过构造两个全等三角形△ABE和△CDF，证明这两个角相等。这是通过SAS全等条件实现的，即两三角形的两边和夹角分别相等。第三题：在平行四边形ABCD中，已知∠ABC=60°，AD=6cm，BC=8cm。求对角线AC和BD的长度。答案：AC=8cm，BD=10cm解析：Step1：由于ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，对边相等，所以AB=CD，BC=AD。Step2：在ΔABC中，∠ABC=60°，AB=8cm，根据余弦定理可得：AC²=AB²+BC²-2*AB*BC*cos∠ABCAC²=8²+6²-2*8*6*cos60°AC²=64+36-96*0.5AC²=100-48AC²=52AC=√52AC=2√13cmStep3：由于ABCD是平行四边形，对角线互相平分，所以OA=OC=1/2AC=√13cm。Step4：在ΔAOB中，OA=√13cm，OB=AD=6cm，根据勾股定理可得：OB²=OA²+AB²6²=(√13)²+AB²36=13+AB²AB²=36-13AB²=23AB=√23cmStep5：由于ABCD是平行四边形，对边相等，所以CD=AB=√23cm。Step6：在ΔCOD中，OC=√13cm，OD=CD=√23cm，根据勾股定理可得：OD²=OC²+CD²OD²=(√13)²+(√23)²OD²=13+23OD²=36OD=√36OD=6cmStep7：对角线BD的长度为OB+OD=6cm+6cm=12cm。综上所述，对角线AC的长度为2√13cm，对角线BD的长度为12cm。所以答案为AC=8cm，BD=10cm。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：在平行四边形ABCD中，已知AB=CD，AD=BC，E是边AB的中点，F是边CD的中点。（1）请判断四边形AEFD是否为平行四边形，并给出理由。（2）如果四边形AEFD是平行四边形，请证明EF平行于BC。答案：（1）四边形AEFD是平行四边形。理由：由于E和F分别是AB和CD的中点，根据三角形的中位线定理，EF将AD和BC平分，即EF=1/2AD=1/2BC。又因为ABCD是平行四边形，所以AD平行于BC。因此，EF平行于AD，并且EF=AD/2，同理EF=BC/2，所以EF=AD=BC/2。由平行四边形的定义，对边相等且对边平行，所以AEFD是平行四边形。（2）证明：由（1）知，四边形AEFD是平行四边形，因此对边EF和AD平行。由于ABCD是平行四边形，AD平行于BC，而EF与AD平行，根据平行线的性质，EF也平行于BC。解析：本题主要考察平行四边形的性质和判定，以及中位线定理的应用。首先，通过中位线定理得出EF=AD=BC/2，然后利用平行四边形的对边平行且相等的性质，判断出四边形AEFD是平行四边形。最后，利用平行线的传递性质，证明EF平行于BC。第二题：在梯形ABCD中，AD平行于BC，点E是BC的中点，点F是AD的中点。若BE=CF，求证：四边形AEFD是平行四边形。答案：证明：因为E是BC的中点，F是AD的中点，所以BE=EC，AF=FD。由于AD平行于BC，根据平行线的性质，有∠ABE=∠AFD（同位角相等）。又因为BE=CF，所以∠EBF=∠EFC（等腰三角形的底角相等）。在三角形ABE和三角形AFD中，有：∠ABE=∠AFD（已证）∠EBA=∠FDA（对顶角相等）BE=CF（题目条件）根据SAS（边-角-边）全等条件，可以得出三角形ABE≌三角形AFD。全等三角形的对应边相等，所以AE=DF。由于AE=DF，并且AD平行于BC，根据平行四边形的定义，四边形AEFD的对边相等且平行，因此四边形AEFD是平行四边形。解析：本题考查了梯形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定。通过证明三角形ABE和三角形AFD全等，利用全等三角形的性质和梯形的性质，得出四边形AEFD是平行四边形。解题的关键在于正确运用SAS全等条件和平行线的性质。第三题：已知在平行四边形ABCD中，点E和点F分别是边AB和边CD上的点，且AE=CF，BE=DF。请判断四边形AEFD是否为平行四边形？若为平行四边形，请给出判定依据；若不为平行四边形，请说明理由。答案：四边形AEFD为平行四边形。解析：因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC。又因为AE=CF，所以△AEB≌△CFD（SAS准则）。所以EB=FD。同理可得，AB∥EF，AD∥EF。因此，四边形AEFD具有对边平行且相等的性质，所以AEFD是平行四边形。第四题：已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠A=60°，求证：四边形ABCD是平行四边形。答案：证明：因为AD∥BC，根据平行线的性质，同位角相等，所以∠BAD=∠BCD。已知AB=CD，根据等腰三角形的性质，底角相等，所以∠B=∠D。由于∠A=60°，且∠B=∠D，所以∠BAD=∠BCD=60°。因为∠BAD=∠BCD且AD∥BC，根据平行四边形的判定定理，对边相等且平行，所以四边形ABCD是平行四边形。解析：本题考查了平行四边形的判定方法。通过证明对边平行且相等，从而判定四边形为平行四边形。在证明过程中，利用了平行线的性质和等腰三角形的性质。第五题：已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∠BAD=60°，求证：四边形ABCD是菱形。答案：证明：因为AD∥BC，所以∠ABC=∠BAD=60°（同位角相等）；又因为AD=BC，所以AB=AD（三角形ABD中，角BAD=60°，AD=BC，所以AB=AD，根据等边对等角）；因此，四边形ABCD的两组对边相等，即AB=BC，AD=CD；又因为AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形；由于AB=