平面向量测试题及详解

平面向量一、选择题TOC\o"1-5"\h\z.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与4b—2a平行，则实数x的值为( )A.-2B.0C.1 D.2.已知点A(—1,0),B(1,3),向量a=(2k—1,2),若硝，a,则实数k的值为( )A.-2B.-1C.1 D.2.如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且方向相反，那么k的值为()1A.-3B.2C.--.在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H,记硝、命分别为a、b,则硝=( )a—gba+^bC.—2,4, 24,5a+5b D.-5a-5b.已知向量a=(1,1),b=(2,n),若|a+b|=a・b,则n=( )

—3-1C.1—3-1C.1D.3.已知P是边长为2的正AABC边BC上的动点，则硝•(硝+硝( )A.最大值为8B.是定值6C,最小值为2D.与P的位置有关.设a,b都是非零向量，那么命题“a与b共线”是命题“|a+b|=|a|+|b|”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件_ 5.已知向量a=(1,2),b=(—2,—4),|c|=$,若(a+b)・c=],则a与c的夹角为( )A.30° B.60°C.120°D.150°.设0为坐标原点，点A(1,1),若点B(x,y)满足—2x—2y+120,<1WXW2, 则殖•m取得最大值时，点B的个数是WyW2,()A.1B.2C.3D.无数10.a,b是不共线的向量，若硝=入1a+b,&)=a+入2b(入1,X2GR),则A、B、。三点共线的充要条件为( )13.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=A.入1=入2=-1D.入1入2—1=0B.入1=入2=1C.入1・入2+1=011.如图，在矩形OACB中E和F分别是边AC和8。的点,满足人。=3AE,BC=3BF,若m=入隹+口让其中入，u£R,则入+口是().已知a=(2+入，1),b=(3,入)，若〈2,b〉为钝角，贝4人的取值范围是 ..已知二次函数y=f(x)的图像为开口向下的抛物线，且对任意x£R都有f(1+x)=f(1—x).若向量a=(\；'m—1),b=(qm—2),则满足不等式f(a•b)>f(—1)的m的取值范围为.一.一(八n-.一. ...一.16.已知向量a=sinB,-,b=(cos0,1),c=(2,m)满足a，b且I 4/(a+b)〃c,则实数m=.12.已知非零向量硝与硝满足~^+-^^•BC=0,且-AB_・_AC_V|AB||AC|7 |AB||AC|1—2,则AABC的形状为()三、解答题.已知向量a=(—cosx,sinx),b=(cosx,，巧cosx),函数f(x)=a•b,xe[0,n].(1)求函数千a)的最大值；(2)当函数f(x)取得最大值时，求向量a与b夹角的大小.人.等腰非等边三角形B.等边三角形C.三边均不相等的三角形D.直角三角形第II卷(非选择题共90分)二、填空题.已知双曲线的中心在原点，焦点J、F?在坐标轴上，离心率为平,且过点(4,一眄⑴求双曲线方程；(2)若点M(3,m)在双曲线上，求证船•雕=0.1 2.△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m=(2sinB,2—cos2B),n=(2sin2(-^-+-),—1),m_Ln.⑴求角B的大小；⑵若a二/,b=1,求C的值.20.已知向量a=cos3x-y,sin3x20.已知向量a=cos3x-y,sin3x升b=x X、cos»,-sin»,lRr，、且XG,n].(1)求a•b及|a+b|；(2)求函数f(x)=a•b+|a+b|的最大值，并求使函数取得最大值时x的值..已知0X=(2asiri2X,a),Ofc=(—1,2^j3sinxcosx+1),。为坐标原点，a/0,设f(x)=殖•Ofc+b,b>a.⑴若a>0,写出函数y=f(x)的单调递增区间；(2)若函数y=f(x)的定义域为[?,n],值域为[2,5],求实数a与b的值..已知点M(4,0),N(1,0),若动点P满足扁•碓=6|曲|.⑴求动点P的轨迹C的方程；⑵设过点N的直线I交轨迹C于A,B两点，若一肾曲・槟一12M，求直线।的斜率的取值范围.□平面向量答案1.［解a+b=(3,x+1),4b—2a=(6,4x—2),Va+b与4b—2a平行,

3x+1・・・x=2,故选D.•，6=4^z・・・x=2,故选D..［解硝=(2,3),,・•硝_La,・・.2(2k-1)+3X2=0,・・.k=-1,・,•选B..［解由条件知，存在实数入＜0,使a=入b,・二（k,1）=（6入，（k+1）入）,k=6入k=6入k+1人=1,・・・k=-3,故选A..［解析］A^=b+-a,Dt=a--b,设殖=入酷，则的=A.a——Xb,.,・硝=硝+殖=入2+1—［入b, 与#共线且a、b不共线，.•・7=.［解析］ Va+b=(3,1+n), |a+b|=^|f9+n+1~~2=、，n2+2n+10,又a・b=2+n,V|a+b|=a•b, nT+^n+W=n+2,解之得n=3,故选D..［解析］设BC边中点为D,则硝•(硝+硝=硝•(2硝)=21硝♦|硝,cosZPAD=21Ab|2=6..［解析］|布1=0+旧6与13方向相同，或小至少有一个为相加得隹+m=4m+m)=g...球耻+3花..・入+『3+3=0；而a与b共线包括a与b方向相反的情形，・・・a、b都是非零向量， 3 3 4 4 44故选B. 32・m=0・m=0知，角人的内角平分线与BC边aC两.［解析］由条件知|a|=、5|b|=2、⑸a+b=(—1,—2),.,.|a+5 L- .5 .... ...b|=.\：5,・・・(a+b)・c=2，.・.j15Xy5・cose=2，其中0为a+b与c的夹角，.・・e=60°.・・・a+b=-a,・,.a+b与a方向相反，「.a与c的夹角为120°.9.［解析］X2+y2—2x—2y+120,即(x—1)2+(y—1)221,画出不等式组表示的平面区域如图，OA・OB=x+y,设x+y=t,则当直线y=一x平移到经过点。时，t取最大值，故这样的点8有1个，即。点.

,［硝 aC.［解析］根据|--+——1|硝||比»+ … 硝垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及|硝|12可知人=120°.故三角形是等腰非等边的三角形.1.［解析］a・b=|a|・|b|cos60=2X1X2=1,|a+2b|2=|a|2+10.［解析］・・・A、B、C共线，「AC,硝共线，根据向量共线的条件知存 3 3・・入<一2，当a与b方向相反时，入=-3,・,•入<一2且入手一3.在实数人使得硝=入硝，即a+入2b=入(入1a+b),由于a,b不共线，根据平面向量基本定理得IT］,消去入得入入=1. 15.廨析］由条件知f(x)的图象关于直线x=1对称,*1)=〔入2一人 12 f(3),・・・m20,・・.a・b=m+222,由f(a・b)>f(—1)得f(m+2)>f(3),・f(x)在［1,+8)上为减函数，.・.m+2<3,・・・m<1,・.・m20,.・.0Wm<1.11.［解析］oF=oB+bF=oB+1oA,oE=oA+aE=oA+1oB,33(— 5 5\=sin0(— 5 5\=sin0+cos0,4,I 4)52sin0+cos0 ，(sin0+cos0)2=1+sin2012,・・sin0+1 .16.［解析］*/a±b,sinBcosB+4=0,「・sin29=一丁又•「a+b5-(a+b)//c,・・m(sin0+cos0)—2=O,・・m=⑵证明：F1(—2娘，0),F2(2姬，0),1511^1=(—3—2-^3,—m),此=(—3+2.j3,—m),•••MFjfflFL—B+mz,又・.・|«点在双曲线上，.・.9—m2=6,即m2—3=0,.,网・雕2=0，即此,吃cos0=+g・m=+5口cos 2， 2*17.［解析］(1)f(x)=a・b=-cos17.［解析］(1)f(x)=a・b=-cos2x+/3sinxcosx=-2^sin2x—21cos2x—］=sin■「xWlO,n］,.'•当x="3"时，f(x)=1—2=2.⑵由⑴知x=n,3b=j；,尊|,设向量a与b夹角为I2 2)…r,、 rrnBY19.［解析］(1);m，n,.・m・n=0,・・4sinB・sin2彳+夕+cos2B—2142)=0,一rn,_ _ _. _.•・2sinB［1—cos-x-+B］+cos2B—2=0,・=2sinB+2sin2B+1—12 )2sin2B—2=0,.•.sinB=2，・0<B<n,.・.B=n6■或6n.1a-b2 1a，则cosa=TawbT=mi=2,a=?.因此，两向量a与b的(2);a=⑶b=1，.=a>b,,,・此时B=6-,nn夹角为〒.

3方法一：由余弦定理得：b?=a?+c?—2accosB,.\c?—3c+2=0,

.\c=2或c=1.18.［解析］(1)解：・・・e=\；2•二可设双曲线方程为乂2—丫2=入，・.•过(4,一、：诃)点，.・.16—10=入，即入=6,・双曲线方程为x2—y2=6.ba1 .73 3方法二：由正弦定理得丁^=丁_^,・••了=T-^,.・・sinA=看，:sinBsinA 1 sinA 22

. .n,,20<A<n,・・・人=不或不11,oo..n.一r[ ….一n ..2右A=可，因为B=z，所以角C=亍，・••边c=2；右A=5r[,则

o o z 0"八2nn角(5=「『石=不，2asin(.n2asin2x+x+b，I 6J・a>0,.••由2kn—二W2x+:W2kn十:得，kn一nWxWkn+2 6 2 36，k‘乙「•边c=b,「.c=1.综上c=2或c=1.函数y=f(x)的单调递增区间是［kn—g,kn+~6~](k£Z)3xx3xx20.[解析] (1)a•b=cos-2cos^—sin-2sin^Mcos2x,|a+b|=(3x xAcos-2+cos22+sinI 23x xA-y—sin.2=2(3x x3x xA2+2cos-ycos--sin-ysin2I 2)n]时，2x+nG[7^6 613n],(sin2x+InA飞Je[—1当a>0时，f(x)e[—2a+b,a+b]n-i-= =_ I I ___Ln=j2+2cos2x=2|cosx|,.x£[2,n],.\cosx<0,・・.|a+b|=一—2a+b=2a+b=5a=1b=42cosx.fa+b=2当a<0时，f(x)e[a+b,—2a+b] ...(—2a+b=5[a=—1⑵f(x)=a・b+|a+b|=cos2x—2cosx=2cos2x—2cosx—1=综上知，( 1A2cosx--I 22-3a=-1b=3a=1b=4n・x£[~2~,n],,,—1WcosxW0,..当cosx=—1,即x=n时f (x)=3..[解析] (1)f(x)=—2asin2x+2避asinxcosx+a+b=.[解析]设动点P(x,y),则碓=(x—4,y),#l=(—3,0),PN=(1—x,—y).由已知得一3(x—4)=6、；11—x2+—y2,化简得3xz+4y2=x2y212,得4+3=1.一 八c一一….、一 ,X2,丫2所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为十?=1.4O(2)由题意知，直线l的斜率必存在，不妨设过N的直线l的方程为y=k(x—1),设A,8两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).y=kx-i,由＜X2y2