数学课堂探究：向量共线的条件与轴上向量坐标运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一轴上向量的坐标运算首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标,特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形．【例1】已知数轴上四点A,B，C,D的坐标分别是－4，－2，c，d．(1)若AC＝5，求c的值；（2)若｜BD|＝6,求d的值；(3）若＝－3,求证:3＝－4．分析：解答本题首先根据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解或证明．解：(1）因为AC＝5，所以c－(－4）＝5．所以c＝1．(2)因为｜BD|＝6，所以｜d－(－2)｜＝6，即d＋2＝6或d＋2＝－6，所以d＝4或d＝－8．(3)证明：因为＝＋＝－＋，而＝－3，所＝－（－3）＋＝4．所以3＝12．又－4＝－4×(－3）＝12,故3＝－4．探究二平行向量基本定理的应用证明三点共线可以利用向量共线来解决，注意选取的向量要有公共点，利用向量共线条件求参数，主要是根据a＝λb列出方程(组)、解方程(组)．【例2】(1）已知两个非零向量e1，e2不共线,如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2．求证：A,B，D三点共线．（2）设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1＋ke2，设＝e1＋3e2，＝2e1－e2,若有A，B，D三点共线，求k值．分析:（1）若A，B,D三点共线，只需证明＝．(2)由＝列出方程组求k．（1)证明：因为＝＋＋＝(2e1＋3e2）＋(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)＝12e1＋18e2＝6（2e1＋3e2),又＝2e1＋3e2,所以＝6．所以与共线．又因为AB,AD有公共点A，所以A，B，D三点共线．（2)解：＝－＝（2e1－e2)－（e1＋3e2)＝e1－4e2，因为A，B，D共线,所以,共线，所以存在λ使＝．所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2），所以所以k＝－8．点评由以上解答可以看出,三点共线与向量共线是可以相互转化的．但是注意选取的两个向量一定要有一个公共点．探究三利用平行向量基本定理证明几何问题应用向量共线定理证明直线平行或三点共线问题时，关键是把一个向量用有关向量线性表示出来，即确定向量等式b＝λa（a≠0)，再结合图形完成证明．【例3】如图所示,已知在梯形ABCD中,AB∥DC，E,F分别是AD，BC的中点，用向量法证明EF∥AB,EF＝(AB＋DC)．分析：首先结合图形与所求证的问题，将几何条件向向量条件转化，再充分利用向量的线性运算与共线向量定理求证．证明:延长EF到点M，使得FM=EF，连接CM,BM,EC，EB得▱ECMB，由平行四边形法则得==．因为AB∥DC，所以,共线且同向，根据向量共线定理知,存在正实数λ,使=λ．由三角形法则得=+，=+,且+=0．所以＝(＋）＝（＋＋＋）＝（＋）＝,所以∥，由于，，没有公共点，所以EF∥DC∥AB，又|｜＝＝（｜|＋｜|），所以EF＝(AB＋DC），所以结论得证．探究四易错辨析易错点:因忽视0与任何向量平行而致误【例5】已知e1≠0,λ∈R,a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则（）A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0错解：因为a∥b,所以e1＋λe2＝2ke1，所以(2k－1）e1＝λe2．所以e1∥e2．故选C．错解分析：没有考虑2k－1可能为零而漏解．正解：因为a∥b，b≠0，所以存在实数k，使得a＝kb，即(2k－1)e1＝λe2．因为e1≠