数学课堂探究：2合情推理与演绎推理（第2课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一把演绎推理写成三段论的形式三段论由大前提、小前提和结论组成;大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况,两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系．在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提．【典型例题1】把下列演绎推理写成三段论的形式．（1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾;(2）一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(3）三角函数都是周期函数，y＝tanα是三角函数,因此y＝tanα是周期函数．思路分析：解答本题的关键在于分清大、小前提和结论，还要准确利用三段论的形式．解：（1)在一个标准大气压下,水的沸点是100℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切奇数都不能被2整除,大前提2100＋1是奇数,小前提2100＋1不能被2整除．结论（3）三角函数都是周期函数,大前提y＝tanα是三角函数，小前提y＝tanα是周期函数．结论探究二三段论在证明几何问题中的应用1．数学证明主要是通过演绎推理来进行的，一个复杂的数学命题的推理往往是由多个“三段论"构成的．2．应用“三段论”解决问题时,首先要明确什么是大前提和小前提．如果大前提是显然的，则可以省略．【典型例题2】已知平面α∥平面β，直线l⊥α，l∩α＝A，如图所示，求证l⊥β.思路分析:本题可由线面垂直的定义证明l⊥β.证明：在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面．设γ∩α＝a。①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，大前提α∥β，且α∩γ＝a,β∩γ＝b，小前提所以a∥b.结论②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直,大前提且l⊥α,aα，小前提所以l⊥a。结论③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直,大前提a∥b,且l⊥a，小前提所以l⊥b.结论④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，大前提因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，小前提所以l⊥β。结论总结:“三段论"是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提—-已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3)结论—-根据一般原理，对特殊情况做出的判断．明确大前提、小前提、结论是求解有关问题的关键．探究三演绎推理在代数中的应用应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件（小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质（大前提），并保证每一步的推理都是正确的,严密的，才能得出正确的结论．常见的解题错误:①条件理解错误(小前提错）；②定理引入和应用错误（大前提错）;③推理过程错误等．【典型例题3】设a＞0，f(x）＝eq\f（ex,a)＋eq\f(a，ex)是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)求证f(x)在（0,＋∞)上是增函数．思路分析：（1）可由偶函数的定义得f（－x)＝f(x)恒等式；(2)可由增函数的定义证明，即由定义法证明其单调性．（1）解：因为f(x）是R上的偶函数，所以对于一切x∈R，都有f（x）＝f（－x)，所以eq\f(ex，a）＋eq\f（a,ex）＝eq\f(e－x,a）＋eq\f（a，e－x)＝eq\f（1，aex)＋aex，即eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,a)－a））eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,ex)))＝0对一切x∈R成立．∵ex－eq\f（1，ex）不恒等于0,∴eq\f(1，a）－a＝0，即a2＝1，∴a＝±1，又∵a＞0，∴a＝1.（2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞），且x1＜x2，则f（x1)－f(x2）＝－＋－＝(－）＝（－1)·。∵x1＞0，x2＞0，且x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋x2＞0,∴－1＞0,＜0。∴f（x1）－f（x2)＜0，即f（x1）＜f（x2)．故f（x)在(0，＋∞）上是增函数．探究四易错辨析易错点因偷换论题而致错【典型例题4】求证四边形的内角和等于360°。错解：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角,有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°。错因分析:上述推理过程是错误的，犯了偷换论题的错误．在推理过程中,把论题中的四边形改成了矩形．正解:如图所示，在四边形ABCD中,连接AC，在△ACD中，∠3＋∠4＋∠D＝180°，①在△ABC中，∠1＋∠2＋∠B＝180°，②①＋②，得（∠1＋∠3）＋（∠2＋∠4)＋∠B＋∠D＝360°，即∠DAB＋∠DCB