2024年北京清华附中高三（上）统练四数学试题及答案

2024北京清华附中高三（上）统练四数学一、选择题共10小题，每小题4分，共分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。9A=x13x，B=xZx1，则A（）1．已知集合(A．1,2B．{1，2}，则z的共轭复数zC．[1，2]D．{1}D．i1+2−i2．已知复数z==（）1A．−B．2+iC．-i23．已知ab，则（）−ae−()=−b(+)(+)．aabbab．Be．Ca1b1A．Dπ()=)4．已知fxsinx()=−=，则=0，fx1，f21，12（）14A．1B．2C．3D．45．如图，在△ABC中，点D，E满足）BC=2BD，CA=CE．若=xAB+yAC（x，y∈Rx+y=（）113121A．−B．−C．D．2312π26．若是第二象限角，且tan(π−)=，则+=（）3355A．B．−C．D．−22557．已知数列a为无穷项等比数列，Sn为其前n项和，10，则“S存在最小项”是“S20”的nn（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．若过点（a，b）可以作曲线y=ex的两条切线，则（）A．ebaeab0aebD．0beaB．C．9．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是（．．．）A．首次服用该药物110分钟后，药物发挥治疗作用B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D．首次服用该药物13小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒=1，4n1==n10．数列n满足4n−31，a2na，该数列的前n项和为S，则下列论断中错误的是．．n（）A．31=1B．2024=−1D．nNS=−2，都有非零常数T，nN*a=n*C．，使得n+Tn2二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分．(+)．若x10，则实数x的取值范围是______．212．已知角θ的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点A（1，a）在角θ的终边上，其中a为整数，且OA3，则tan的一个取值是______．()13．在矩形ABCD中，AB=2，=1，且点E，F分别是边BC，CD的中点，则+=______．x()=14．已知函数fx=()+(+)fn1（n=1，3a的nx．数列n满足anfn2前100项和是______．15．已知平面内点集A={P，P，…，P}（>1．A中任意两个不同点之间的距离都不相等．12n设集合B=iPmjM=PPPB,i=．给出以下四个结论：iij①若n=2A=M：②若n为奇数，则A≠：③若n为偶数，则A=：④若PP,PP,B．则k5．i1ji2j其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6道小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。=+=1614分）在等差数列n中，25，3620．（Ⅰ）求数列n的通项公式：1（Ⅱ）设b=a+，其中nN*，求数列b的前．Snnn2nnnπ6π6()=−−2+()，其中a＞0．且fx的图象与直线1714分）已知函数fxasin2x2xy=3的两个相邻交点的距离等于π．()（Ⅰ）求函数fx的解析式及最小正周期：()=（Ⅱ）若关于x的方程fx1在区间m上恰有两个不同解，求实数m的取值范围．1814分）在△ABC中，bsin2A=asinB．（1）求∠；（2）若△ABC的面积为33，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．使△ABC存在且唯一确定，求a的值．277bc334217条件①：sinC=；条件②：=；条件③：cosC=．注：如果选择的条件不符合要求．第（2）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分．x+ax−11914分）已知函数fxex()=−．()（Ⅰ）求证：对∀a∈Ryfx=()在点f(0)处的切线恒过定点；()（Ⅱ）当a2时，判断函数fx的零点的个数，并说明理由．1()=ax22a1xx14．其中a0．−(+)+(−)+2014分）设函数fx2()（Ⅰ）求函数fx的单调区间；11（Ⅱ）当a=时．对于xx,(m，不等式f(x)2f(x)−恒成立，求m的取值范围．1221242115分）已知无穷数列n，n各项都是正整数，定义集合：D=nab,j=，ann+jD=nba,j=；bnn+j（Ⅰ）已知a=2n−1，b=n−2，直接写出集合DD；abnn，求证：n中有无穷多个1；（Ⅱ）若ann1n−=(=，1=1，aabab（Ⅲ）若n，n均为等差数列，且DD均为无限集，求证：D=D．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【分析】求出集合A中元素范围，然后再求交集即可.9=0xA=13xB={xx【详解】，又A}.则故选：B.2.【答案】C【分析】先进行复数除法运算，再根据共轭复数概念辨析即可.1++2i)(2+i)z====i，【详解】2−i(2−i)(2+i)5则z的共轭复数z故选：C.=i.3.【答案】D【分析】根据反例可判断AC，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.a=−b=0ab【详解】对于A，若对于Bab，所以−a−b，又a=−b=0，显然满足，但不能得到a2b2，故A错误，y=ex为单调递增函数，所以e−ae−b，故B错误，(+)=(+)==，故C错误，对于C，若，显然满足aba12b1ln10，=−x2在(−)上单调递增，所以对于D，若ab0，则aa，函数y,0aa=−a2bb=b2，当0ab，则当a0b，则aaaa=−a，函数y2在+)上单调递增，所以aa=a2bb=b2，2bb=b2，综上可知D正确，故选：D4.【答案】DTπππfx=sinx0【分析】根据()()的最值，得到x−x===，故，求出答案.1224fx=sinx0)的最大值为1，最小值为1，【详解】()(−fx=sinx0设()()的最小正周期为T，πfx=−1f(x)=，−12又()1=，，0，124Tπππ1−2===.故，即，解得ω24故选：D.5.【答案】B【分析】1116=−AB+x=−,y=利用平面向量的线性运算可得，再根据平面向量基本定理可得，从262而可得答案.22=AC−AB−BD=AC−AB−BC【详解】因为DE=AE−AD3322=AC−AB−(AC−AB)321=−AB+，26又DE=xAB+yAC，116x=−,y=所以，2111x+y=−+=−.所以263故选：B【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理，属于基础题.6.【答案】Dtan【分析】通过诱导公式求出，化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式求解即可.1【详解】是第二象限角，且(−)=tanπ，1，훼=−,sin훼>0tan22212−π2sin+2tantan+125+=−sin=−=−=−=−，sin222251−+12故选：D.7.【答案】A【分析】分别从条件到结论、结论到条件两个方面考虑是否可推出,对于不能推出的结论，可通过举反例说明即可.q【详解】设数列{푎푛}的公比为，a01存在最小项，则S−==n0由，因“”Sn1Snn1q，且其单调递减或为常数列，nq1，于是S=a+q)0，即“存在最小项是SS“20”的充分条件；故得”21n12=q+0(a01=−q当时，因，不妨取，1n则此时Sn1Snan1a−==−1的符号不能确定，2故无最小项，即“存在最小项不是S“2SS0”的必要条件.”nn综上可知，“存在最小项”是“S02S”的充分不必要条件.n故选：A.8.【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；的图象，根据直观即可判定点(a,b)y=exx在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切解法二：画出曲线线.()y=exPte,ty=exy=e，x【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得x+1−t)e，ty=exy−et=et(x−t)y=et所以，曲线在点处的切线方程为P，即由题意可知，点(a,b)在直线y=etx+1−t)e()=(−)t上，可得b=aet+1−t)et=(a+1−t)et，令ft)=(a+1−te)，则tftatet.ta()()ft，此时函数ft0当当时，时，单调递增，()()taft0ft，此时函数单调递减，所以，()=fa=e()a，fty=by=()的图象有两个交点，则bft)=eft，a由题意可知，直线与曲线当ta+1时，f(t)0，当ta+1时，ft()，作出函数()的图象如下图所示：0fty=by=f(t)由图可知，当0bea时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线y=ex的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0be.a故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.9.【答案】D【详解】从图象可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用该药物的血药浓度应大于最低有效浓度，药物发挥治疗作用，A正确；第一次服药后3小时与第2次服药1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，B正确，D错误；服药5.5小时后，血药浓度小于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，正好能发挥作用，C正确．故选．10.【答案】Ca31【分析】由已知可得A正确；由已知递推关系化简可得B正确；由已知递推关系总结数列的2024nn规律，再用反证法得到C错误；由已知递推关系找到前项和的规律再结合等比数列的前项和可得D正确.aa31【详解】对于A，因为，所以，故A正确；4n1a4n3a=a，2nn对于B，a2024a所以，故B正确；aa1对于C，由可得，，4naa3由由而可得可得，4n1a=a2na=a=a=a=a=n124810a=a=a=a=a0，n，所以361224设存在非零常数T,nN*，使得n+Tn，=a=a=2aa=0则，矛盾，所以不存在非零常数T,nN*，使得n+Tn，故C错误；S=S=a+a=−1+(−=−2T+TTTT=对于D，当n=1时，，1212S=S=a+a+a+a=−1−1+1−1=−2当n=2时，，2241234即n=2时，有相邻两项a+a3的和为零，4即有接下来2212个项和为零；−=当n=3时，S=S=a+a+a+a+a+a+a+a=−1−1+1−1−1+1+1−1=−2，3812345678即n=3时，有相邻两项a+a3的和与相邻四项a+a+a+a为零，56784即有接下来22131个项和零；当n2时，a4n3，S=a+a+a+−2+0=−2，故D正确.所以2n123故选：C.S的意义，即表示数列中前两项和2为外的3【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于能理解到4项，5到8项，9到16项和分别为零.2n二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分．−x【答案】10【分析】根据对数函数单调性及定义域得到不等式，求出x的取值范围.x+100x+11()1x0，【详解】，解得2故实数x的取值范围为1x0.故答案：1x012.【答案】1（0，1，2均可）3求得a的取值范围，结合三角函数的定义进而可得解.【分析】由3+2−【详解】，即1a9，解得22a22，又aZ，故的值可为2、1、0、1、2，a−−atan==atan01或2.或则，即的值可以是1故答案为：1（0，1，2均可）.13.【答案】2【分析】由平面向量的数量积的运算性质求解即可【详解】如图所示，因为矩形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，11BE=BC=ADDF=DC=AB，所以所以，2222()()()()AE+AFAC=AB+BE+AD+AD+=AB+AD+AD+ABAD+DC2232()===AD+ABAD+AB23(+AB)232152()22)+1=AD+AB+2ADAB=2．2故答案为：214.【答案】100【分析】nnn根据三角函数知识，利用为奇数时，f(n)=0f(n)=−nf(n)=n，，为奇数时时，，为偶数时，22a,a,a,a,可求出，再相加即可得到答案.1234x【详解】因为f(x)xcos，所以=f=f=f==98，=0，2f(2)=f(6)=f=f(4)=f=f=)=100，a=a=f(2)=−2a=a=f(4)=4a=a=f(6)=6a=a=f=8所以，，，，，1234567899==f=100，a+a+a+a+a+a+a+a+所以1234567800=f(2)+f(4)+f(6)+f+=2(−2+4−6+8−10+12−=2252=100故答案为：100.n【点睛】本题考查了特殊角的余弦函数值和诱导公式，考查了数列的前项和，考查了分组求和，属于基础题.15.【答案】①③④【分析】先证明AM，得到①③正确，②错误，然后在=PP,PP,B和k6的情况下推i1ji2j导出矛盾，从而得到k5，即④正确.(−)nn1()j【详解】由于A中任意两个不同点之间的距离都不相等，故所有个向量PPij两两不相等.i2P,PAij()，PPB当且仅当ijmi)0PPPP，有.ijim这表明对任意的ijP,PAij()，PPBPPi将其转换为更通俗的语言就是：对于点当且仅当是集合A里除了以外的ijijjP点中到的距离最短的点.iPAiPP，j所以，对每个，显然存在另一个到距离取到最小值的点iPPBP，从而iM，这就直接说明了A=M.则此时就有ij所以①③正确，②错误；PP,PP,B，k6.对于④，假设i1ji2jPP,PP,B，由于i1ji2jP,P,...,P,Pm=2,...,kPPP外到距离最短的点.i故两两不同，且对每个，点都是A中除i1i2ikjjimmPP,P,...,P各自的距离最短（不包括其本身）的点.iii特别地，都是到j126不妨设(i,i,i,i,i,i=2,3,4,5,6)()，并记P为点O，j123456则O是到P,P,...,P各自的距离最短（不包括其本身）的点.126的倾斜角为π).M,N对两个不同点，记直线1u,v6uv()使得=OP假设存在，不妨设，vOPuuvPP=OP−OPOP，这与OPPv则是到的距离最短（不包括本身）的点矛盾.uvvuvv,,...,两两不相等，不妨设OP...OP.6所以由于126OP12PPPPPPOPOPPPOP，，故，，1122122112121211π=(++)OP2P+OP1P+)=2.所以222212333ππPOPP,POP,P,POP,POP.故，同理12233445566133而对l=2,3,4,5，有−OP=lOP或−OP=2π−POPπPOP，OPll1ll1l1lOPl1l1lπ故−l.l1355ππ，矛盾.OP()所以−OP=OP−OP6，这意味着161l1l33l1这表明假设不成立，所以k5，④正确.故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对集合新定义的理解，以及三角形中边长的大小关系与角度的大小关系之间的对应，即所谓的“大边对大角”.三、解答题共6道小题，共85分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.a=2n+1n16.1）1n6n2+12n+1+4（2）Sn=6a=3d=2，从而可得数列{푎푛}的通项公式；）根据等差数列的通项公式列式可解得，11b=2n+1+nn（2）求出，再根据等差数列与等比数列的前项和公式可求得结果.n122【小问1a+d=1设等差数列{푎푛}的公差为d，则有21+7d=20.a=3d=2.解得，1a=a+n−1d=2n+1.()所以数列{푎푛}的通项公式为【小问2n1112n1b=a+=2n+1+.nn2n2111因为数列是首项为，公比为的等比数列，822n1+4n1141−nn1141(+)86n2+12n+1−n2n44.所以=+Sn=nπ2+2n+−=121−6664()=−−1π;.fx2sin2x17.1）64π7π,（2）33）根据二倍角公式和诱导公式化简可得()的解析式，由已知条件求得函数()的最小值fxfx为−3，计算即可得解；π6sin2x−=1在区间m上有两个不同解，再根据正弦函数的图象与性质，得解.（2）原问题转化为【小问1π6π6()=−−22+fxasin2xx函数π6π=asin2x−−cos2x+−13ππ=asin2x−−sin−2x+−166π6=(+)a1sin2x−−12π函数()的最小正周期为T==π，fx2因为()的图象与直线y=−3fxπ的两个相邻交点的距离等于，所以函数()的最小值为−3，fx−(a+−1=−3=所以，解得a1，π6()=−−1.fx2sin2x所以【小问2π6π6fx=2sin2x−由()−1=1，知sin2x−=1，ππ6π，因为x,[0]，所以2x−−,2m−66π5π9π224π7π33由于f(x)=1m上有两个不同解，所以2m−,m,在区间，即.6π18.1）6（2）选②或③，7）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；27（2）条件①，由sinC=，角C可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用7cc条件建立，边b与的方程组，求出b与，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，cc先把角转边，再结合条件建立，边b与的方程组，求出b与，再利用余弦定理，即可求出结果；【小问1因为bsin2A=asinB，由正弦定理得，sinBsin2A=AsinB，Bπ()，所以sinB0，得到sin2A=A，A，又又sin2A=2sinAA，所以2sinAA=3Aπ)，所以sinA0(=又，得到A，2πA=.所以6【小问2277选条件①：sinC=27πcsinCsinA477711，即ca，A====由（1）知，，根据正弦定理知，6a2所以角C有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件.bc334=选条件②：11π1S=bcsinA=bcsin=bc=33，所以bc=123因为，2264b334334334=，得到b=c，代入bc=123c2=123c=4，所以b=33，又，得到，解得c3由余弦定理得，a2=b2+c2−bcA3)=2+42−2334=27+16−36=7，2所以a=7.217选条件③：C=11π1S=bcsinA=bcsin=bc=33，所以bc=123因为，22642172127=，得到sinC=1−2C=1−=由C，497π又sinB=sin(π−A−C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，由(1)知A=，612127332114所以sinB=+=277232114sinC27bcsinB334334====c，又由正弦定理得，，得到b7332=123，解得c=4，所以b=33c，代入bc123，得到=43由余弦定理得，a2=b2+c2−bcA3)=2+42−2334=27+16−36=7，2所以a=7.19.1）证明见解析（2）2(−）利用导数的几何意义求出切线方程，再证明其经过定点即可；(−和+)（2）根据函数的定义域分两种情况讨论函数的零点情况，利用求导判断函数的单调性，再借助于零点存在定理判断零点个数即得.【小问1x+ax−1−a−1a1(x−+()=fxex−f(x)=ex−=e+x由求导可得，，2(x−2=+=+，f(0)1a,f(0)2a依题意，(()处的切线为)f0y−+a)=(2+a)x，故曲线푦=푓(푥)在点x+1=0x=−1y=−1(x+a+2x−y+1=0aR，解得即，因，故有，2x−y+1=0(−即切线恒过点，得证；【小问2x+ax−1a1(x−+f(x)=ex−f(x)=e+x(−+)a2，，的定义域为，由（1）已得：2x(f(x)0()−fx(在①当时，，则上单调递增.1−a−211+f(0)=1+a0f(−a−=e−a1−=−由，而，+a1a2e11++f(−a−−=0，因ea1a20a+2a+2(−a−0)上有且仅有一个零点，f(0)f(−a−0即，由零点存在定理可得，푓(푥)在(−即푓(푥)在下证：ex上只有一个零点；x+1,(x.设g(x)=ex−(x+，则g(x)=e−10，xg(x)在+)上单调递增，故g(x)g(0)=0，即xex+1,(x成立.即x+)f(x)0()(+)fx，则在上单调递增.②当时，33233=−a−3，因a2−a−3−5f()0，由f()e，则，而25=5，故e2=e3222a+1111f(aea1+=+−=ea1−−+−−=−2a22a又因即，aaaa1y=x−在(2,+)푓(푎+1)>푎−>2−=>0，113上单调递增，故x푎2233f()f(a+0(,a+，由零点存在定理可得，푓(푥)在上有且仅有一个零点,22+)即푓(푥)在上只有一个零点.综上所述，a2时，()在20.1）fx(−+)上有两个零点.答案见解析；2）(2,5].[ax−(a+x−2)x−11a()=fx()=fxx=1+0或x=2，分【分析1）求导可得，令，可得0a1，a=1，a1讨论可求单调区间；（2）由（）可得()在+)上单调递减，在上单调递增，由题意可得fx(2,3)1()f2()2f1min−m，进而分类讨论可求取值范围．4【小问11由푓(푥)=푎푥2−(2푎+1)푥+ln(푥−1)+4(푥>1)，21x−1ax−a+x+2a+2[ax−(a+x−2)2可得fxax2a1()=−(+)+==，x−1x−1[ax−(a+x−2)x−11a令()=，可得=0，解得x=1+或，x=2fx01当0a1时，1+2，a若1x2，푓′(푥)>0，函数()在fx2)上单调递增，11若若，푓′(푥)<0，函数()在上单调递减，上单调递增；2x1+fx(2,1+)aa11x1+，푓′(푥)>0，函数()在fx+,+)aa1()在+上单调递增；当a=1时，1+=2fx)，此时푓′(푥)≥0，函数a1a当a1时，1+2，11()在+)上单调递增，若1x1+fx，푓′(푥)>0，函数aa11()在+,2)上单调递减，若1+x2fx，푓′(푥)<0，函数aa若x2，푓′(푥)>0，函数()在(2,+)上单调递增；fx综上所述：11当0a1时，()在fx2)+,+)和(2,1+)上单调递增，在上单调递减，aa当a=1时，函数()在fx+)上单调递增，11当a1时，函数()在+)(2,+)和上单调递增，在上单调递减.fx+,2)aa【小问21a=푓푥=1푥2−2푥+ln푥−1+4(푥>1)时，()当()，24由（1）可知()在+)上单调递减，在上单调递增，fx(2,3)1()fx==+，又()=f2f21，所以411,2(m，不等式()()−fx2f1因为对于恒成立，2414()f2()2f1−所以，min11112(+2)−=2ln2f(2)2f−由成立，所以①成立，4441，不等式()()−故2m3时，可得对于1,2(mfx2fx恒成立，21414，不等式()()−当m3时，对于1,2(mf22f1恒成立，f3fmf2若()()()时，也有①恒成立，满足题设；以下讨论m3且푓(푚)>푓(2，1114m2−2m+(m−)+42(+2)−此时，只需，44115−2m+(m−)+−2ln20m2即，44115121m−1g(m)=m2−2m+(m−)+−2ln2g(m)=m−2+令令，所以，441111(m)=g(m)=m−2+(m)=−0，2，所以m−1