2024年北京工大附中高三（上）10月月考数学试题及答案

2024北京工大附中高三10月月考数学一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．(−)zi2iz=1.设复数，则（）A.3B.5C.3D.5B=xN0x3，，则（）A=2A2.已知集合230,12A.B.C.D.D.()上单调递减的是（）3.下列函数中，在区间y=log2xy=−x=+y=x3A.B.C.yx14.“a0b”“a3”A.充分而不必要条件C.充分必要条件是b的（）B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件5.已知球O的半径为2，球心到平面的距离为3，则球O被平面截得的截面面积为（）A.B.C.D.2中，角Ox的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点6.在平面直角坐标系4()，则tan+的值为（）P4,31A.7−B.−C.1D.77()为定义在上的函数，()=，且()=()+为奇函数，则(−)=（）fxf22gxf2xx2f27.已知RA.4−B.2C.0D.28.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2形，且均为等边三角形，//CD，EF=4，则该木楔的体积为（）22382A.2B.22C.D.39.已知ABC是边长为2的等边三角形，点D在线段上，AD=2DB，点E在线段CD上，且CAE与CDB的面积相等，则的值为（AEBC）2313123A.−B.−C.D.310.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数ae2x+b()=fx(=abe2.71828来表示.下列结论正确的是（）ex，则函数f(x)为奇函数，则函数f(x)为增函数若0，则函数f(x)有最小值若ab0，则函数f(x)存在零点A.若0B.D.C.若ab0二、填空题共5题，每题5分，共25分．1x+1()=函数fxx+2+的定义域是_______________.)=()m=______.12.已知向量a=(−m，b2,1，且a⊥b，则π6()=fx+0)的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则()gxxπ13.将函数(−)=______g(x)为偶函数，则gπ的最小值是______.；若x,x()=fx其中aR若a=0，则函数()的值域是fx14.已知函数.______；若函数(+)2xa,xyfx=()−12a有且仅有个零点，则的取值范围是______.11是各项均为正数的无穷数列，其前项和为，且+=1(nN*)给出下列四个结论：annSn15.已知anSnS+S2S2①②；；13a+a2a2131③对任意的nΝ*，都有a1+n；n④存在常数A1，使得对任意的nN*，都有其中所有正确结论的序号是______.aA，n三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．()=−2fx2x2x16.已知函数.（1）求()的最小正周期及值域；fx（2）求()的单调递增区间.fx满足a=b=1,a+a=10,bb=a．bna17.已知等差数列和等比数列n1124245a（Ⅰ）求的通项公式；nb+b+b+…+b（Ⅱ）求和：．1352n1π18.在ABC中，a=2，BABC存在且唯一，并求=､．再从条件①条件②条件③这三个条件中选择一个作为已知，使､6c（1）的值；（2）ABC的面积．14条件①：b=1；条件②：b=2；条件③：cosA=．4注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19.已知函数f(x)=exx−x．y=f(x)(0,f(0))（Ⅰ）求曲线（Ⅱ）求函数在点处的切线方程；πf(x)[0,]上的最大值和最小值．在区间2fxexax−1，aR，e是自然对数的底数.()=−20.已知y=f(x)的极值；（1）当a=1时，求函数f(x)+1=0有两个不等实根，求ax（2）若关于的方程的取值范围；x+x2lna.（3）当a0时，若满足f(x)=fxxx()()，求证：121212，设数列a,a,...,a是2,...,n的一个排列，对i2,...,，x表示以a为首项12nii21.给定正整数n2的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度.yaii=a=1a=4a=2a=3，求xy和；2（1）若n4，，，，12341i2,...,n−1(−)，x2+(i1−)20；（2）求证：yii1ini−y（3）求的最小值.ii1参考答案一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】B【分析】z求得后再求模长即可.(−)=+=+21=5.zi2ii1,故z22【详解】故选：B【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与模长运算等.属于基础题型.2.【答案】C【分析】根据并集的定义即可求解.，，A=2B=xN0x3=1,2【详解】因为AB=2.所以故选：C3.【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.y=log2x()，且在()上单调递增，选项错误；A【详解】A选项：函数的定义域为1xB选项：函数y2−=x=的定义域为R，且在R上单调递减，B选项正确；2−+)，且在−+)上单调递增，选项错误；C选项：函数y=x+1的定义域为Cy=x3D选项：函数的定义域为R，且在R上单调递增，D选项错误；故选：B.4.【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合指数函数的单调性即可得出答案.【详解】因为指数函数y=3x单调递增，由a0b可得：3ab，充分性成立，当3故选：A5.【答案】A【分析】根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解.a3b时，aba0b，但不一定，必要性不成立，r=22(3)2=1，−【详解】设截面圆半径为，由球的性质可知：则截面圆的半径r所以球O被平面故选：A.截得的截面面积为S=r=，26.【答案】Dtan【分析】由终边经过点的坐标可求，再利用两角和的正切公式即可求解.3【详解】由终边过点P(3)，可得=，434tan+tan+144tan+===7.所以31−tantan1−44故选：D7.【答案】A【分析】根据奇函数的性质，进行赋值求解即可.【详解】因为g(x)=f(2x)+x2是奇函数，g(gf(2)1f(2)10所以有f(=4即.故选：A8.【答案】D【分析】如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG,CH，取，AD的中点O，连接，求出△=△=2，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可.【详解】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接DG,CH则由题意等腰梯形全等于等腰梯形CDEF，4−2EG===AG==BH==22−1=3.2则2取的中点O，连接，因为=，所以⊥，(2则=3−21=2，1S△=△=22=2.∴2AG⊥EFAB⊥AG因为AB//EF，，所以，因为四边形ABCD为正方形，⊥AD,ADGAB⊥平面ADG，所以，又因为，平面，所以EF⊥平面AGD，同理可证EF⊥平面BCH，所以V=三棱锥E−ADG+三棱锥F−BCH+三棱柱AGD−BHC=三棱锥E−ADG+三棱柱AGD−BHC∴多面体的体积182=212+22=，33故选：D.9.【答案】C【分析】由CAE与CDB的面积相等以及AD=2DB可得S=2S，从而E是CD的中点，再根据数量积的定义即可求得AEBC.【详解】如图所示：S=2S=2S，S△CAE=△CDBS而，4323AD=BD=所以E是CD的中点，，，AEBC=(AC+AD)BC=ACBC+ADBC22212=ACBCC+ADBCcos(−B)21114113=22+2(−)=.22232故选：C10.【答案】D【分析】根据函数奇偶性、单调性、最值以及零点的判断和求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：取a=b=1，满足ab0，此时()fx=x+e−x，e其定义域为R，关于原点对称，且f(x)=f(−x)，此时()为偶函数，故A错误；fxbat对B：()=x+be−x，令=，故y=at+f(x)若存在最小值，则有最小值，fxaeext,t0bba因为ab0，故0，根据对勾函数的单调性可知，有最小值，无最大值，ay=t+,t0tba故当a0时，y=at+,t0有最大值没有最小值，故B错误；tab0时，满足ab0，又y=aex是单调减函数，y=be−x是单调减函数，对C：当故()=x+be−x是单调减函数，故C错误；fxaebab对D：令f(x)=0，即aexe−x+=0，则e2x=−，因为ab0，故−0，a1ba12b−x=−，故当ab0解得，即为函数零点，故D正确.2a故选：D【点睛】关键点点睛：本题综合考查函数的性质，处理问题的关键是充分把握函数单调性和奇偶性的判断方法以及函数零点的求解过程，属综合中档题.二、填空题共5题，每题5分，共25分．−−))1【答案】【分析】列出需满足的不等式，再取交集即为函数定义域.x+20，解得x2且x−1，【详解】由题意，x+10所以()的定义域为−−))，fx1故答案为：−−))12.【答案】2【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解.)b2,1=()，，且ab，a=(−m⊥【详解】因为所以ab=0，即12+m1=0，解得m=2.故答案为：235613.【答案】①..2()gxg(−π)【分析】根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，从而可得的值；再利用函数是偶函数建立方程进行求解即可．π+0)()=fx()的图象，gxxπ的图象向左平移个单位长度后得到函数【详解】解：将函数6π6π()=(+)+=++gxcosxπcosxπ即，6=πππ3(−π)=cos++ππcos=所以g；662若函数()为偶函数，则，kZ，gxπ+=π61=−+k，kZ得650当k=1时，取得最小值为，6356故答案为：；．2[0,+)(−2,0].14.【答案】①.12）易知在x1和x1时，二次函数的零点分布情况即可求解.yfx=()−1分别有一个零点，由x,x1()=fx）a=0时，2x1，x,当x1时，当x1时，f(x)=xln1=0，f(x)=x20，()的值域是+)f(x)0，即函数fx[0,综上：.x−x1y=fx−1=()（2），(+)2−x1xax=e当x1时，令lnx−1=0，得，x=e上，函数故在+)y=f(x)−1有一个零点，当x1时，设g(x)xa=(+)−1，221=(+)−在(−上有且仅有一个零点，由题意可知：g(x)xa−a1g0a=0或2a0，所以g=0或，解得a所以的取值范围是(−2,0].故答案为：[0,+)；(−2,0].15.【答案】①②③aSaSn随着增大的变化情况可以判断①；n【分析】首先由题设条件分析出数列a+a2a与的增减性，根据和nnna−aa−a3a−an1an1−an−2是否然后分析，发现其实际上为，，即可以想到判断132221nn−n1−a−an−2()的代数式，通过此对代数式正负的判断，即可判断成立，可建立关于n1an−an1an1−an−2Sn−1n，即可判断②；我们可以将③中的题设转化为判断是否成立，我们发现的每一项都是大于的，而相加，而当n=1时，1annn个大于的数相加大于个11S−1=a−1=2−1=1S−1n，即可判断n，即可判断③；而根据前面的研究，可以较易对④作出判断.11a0nS0n【详解】由题意知：，∴，1111+1nN*=()=1−1，∴an1，Sn1，∵又∵∴，∴anSnnSn11112+=+==1，∴=12，1111111Sn−1SnSnSn=1−=a=n，∴，anSn−1SS1−)−Sn1(Sn−)−)1SnSn1(S−−n11SSn−)1n1a−n1=−=nn1−=，nn−−(Sn−)((Sn−)(Sn1S11Sn1n1Sn1−SnSn随着的增大而增大，∴S−Sn0，∴n1∵∴0，(Sn1S−)(1−)n1−10，即nn1an，∴随着的增大而减小，n故：为正项单调递减无穷数列，且1aa=2，n1anS+S=a+a+a+a=a+a+a+aa+a+a+a=2S，故①正确；2∴∵13112312131212Sn1−SnSn−2−Sn1a−an=an1−n−2=，∴，n1(Sn−)(−)(Sn1−)(1−)n−21S11Sn1S−SnS−S−2n1−(an1−an−2)=−−an−an1n1n∴(Sn−)(−)(Sn11S−)(1−)n−21S1n1(Sn1−)(−)−(Sn−2−)(Sn−)Sn1−)1SSn−2=n(Sn−)(1S−)(1Sn1n−2(Sn1−)(−)−(−)−(Sn−(−)nnan1aS1SSn−21S==nn1(Sn−)(1S−)(1−)n−21Sn1(Sn1−)(−)−(−)+(−−)(1S(−)nan1S1SSn−21SSannn1n(Sn−)(1−)n−21Sn1(Sn1−)(−)−(Sn1−)(−)−(−)(Sn−)an1SSn−2SSn1an==nn(Sn−)(1S−)(1−)1Sn1n−2(Sn1−)(−)−(−)(Sn−)an1−)1SSn−2Sannn，(Sn−)(1S−)(1Sn1n−2SSn随着的增大而增大，∵∴an−Sn0S−Sn0(Sn1−)(，∴SSn−2−)S0，，n1n−2nnn随着的增大而减小，n−10S−10(a−a)(S−)0∴∴，，∴，nnn1n(Sn1−)(−)−(−)(Sn−)SSn−2Sanan1nn0，(Sn−)(1S−)(1−)1Sn1n−2a−a−a−an−20()a−aan1−an−2∴∴，∴，nn1n1nn1a−aa−a，1322a+a2a即：，故②正确；132SnSn−1+11111a=n==1++，即判断：1+1+an1∵，∴要判断，Sn−1Sn−1Sn−1nSn−1n11S−1n，即判断：n即判断：，Sn−1nS−1=a−1+a+而，n12当且仅当n=1时取等号，∴S−1nn对任意的nΝ*都成立，1∴对任意的nΝ*，都有a1+n，故③正确；n根据以上分析可以得出：为1n2ann，随着的增大而减小的递减数列，且随着的增大，的值ann无限接近1，∴存在常数A1，对任意的nΝ*，当足够大时，总会有1nA，故④错误.n故答案为：①②③.三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.1）最小正周期为−−−221，值域为；8k−,k+,kZ（2）.8）利用三角恒等变换将()化为标准型，再求其性质即可；fx（2）根据（1）中所求，结合正弦函数的单调增区间，列出不等式，即可求得结果.【小问14fx2x2xsin2x2x−1=()=−2=−2sin2x−−1，故()的最小正周期T==()的值域为−fx，−−221fx.2【小问2fx=2sin2x−根据（1）中所求，()−1，4，解得82k−2x−2k+,kZx−k,k+,kZ.令2428故()的单调增区间为：k−,k+,kZ.fx883−1n17.1）a=2n1.2）2d是等比数列，知bn2n1依然是等比数列，并且公比是q2，再利用等比数列求和公式求解.{a}的公差为d.因为a+a=10，所以2a+4d=10.241解得d=2.−所以a=2nn（Ⅱ）设等比数列的公比为q.因为bb=a，所以bqbq=9.324511解得q2=3.所以b=1q2n−2=n13.2n13n−1.2++++=++−++−=从而b3511）分组转化法，一般适用于等差数列+等比2）裂项相消法求和，一般适用于，,3）错位相减法求和，一般适用于等差数列4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2到数列求和.6+1418.1）c=23+7（2）S=4）若选①，根据asinBb2，由作圆法知满足条件的ABC有两个，不合题意；若选②，根据b2asinB，由作圆法知满足条件的ABC有且仅有一个，利用余弦定理可构造方程求得的cc值；若选③，利用正弦定理可求得b，由余弦定理可构造方程求得的值；（2）利用三角形面积公式可直接求得结果.【小问1π2若选条件①，asinB=2sin=，62b2满足条件的ABC有两个，不合题意，不能选择条件①；π2若选条件②，asinB=2sin=，62asinB满足条件的ABC有且仅有一个，由余弦定理得：b2=a2+c2−2acB=2+c2−c4，=6+146−146+解得：c=或c=c=；222142==1A=−2若选条件③，π)，cosA，sinA；44π2sinasinBsinA6由正弦定理得：b===2，24由余弦定理得：b2=a2+c2−2acB=2+c2−c=4，6+146−146+解得：c=或c=ABC有且仅有一个，c=.222【小问26+14116+1413+7由（1）知：c=S=acsinB=2=.222224y=11；最小值−19.【答案】(Ⅰ).2【详解】试题分析Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式()=()，求()，根据()确定函数()的单yhxfxhxhx0hxh0=0调性，根据单调性求函数的最大值为()()=()hxfx0()fx恒成立，所以函数，从而可以知道是单调递减函数，再根据单调性求最值.f(x)=excosx−x()=()−()=fxex−sinxf00.，所以x又因为f(0)=1(())处的切线方程为f0y=1.，所以曲线푦=푓(푥)在点（Ⅱ）设h(x)=ex(cosx−sinx−1)hxexsinxsinxx()=x(−−−)=2exsinx.，则π2x()hx0，当时，π所以()在区间hx上单调递减.2πx()()=，即().hxh00fx0所以对任意有2π2所以函数()在区间上单调递减.fxπ2因此()在区间()=，最小值为f0f=−.fx1上的最大值为22【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()=()hxfx，再求fx()hx()hx的零点，或是()()0)恒成立，这样就能知道函数hx0hx(，一般这时就可求得函数()的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断=()的单调性，最后求得结果.hxyfx20.1）极小值为0，无极大值.（2）()（3）证明见解析）把a=1代入函数()中，并求出푓′(푥)，根据푓′(푥)的正负得到()的单调性，进而求出fxfx()的极值fx.ex（2）f(x)+1=0y=a()=与gx等价于的图象有两个交点，求导得到函数푦=푔(푥)的单调性和极值，x画出푦=푔(푥)的大致图象，数形结合求解即可.（3）求出푓′(푥)，并得函数푦=푓(푥)在(,a)上单调递减，在(a,)上单调递增，可得则xa−x，只需证，只需证12(,lna)，2(a,)1x1+x22lna，要证()(−)，即证()(−)，令()=()−(−)，对ℎ푥求导证明fxfaxfxfaxhxfxf2ax()1222即可.【小问1当a=1时，f(x)=ex−x−1，定义域为R，求导可得f(x)=ex−1，令()=0，得x=0，fx当x0时，푓′(푥)<0，函数()在区间fx()上单调递减，,0当x0时，푓′(푥)>0，函数()在区间(0,+∞)上单调递增，fx所以푦=푓(푥)在x=0处取到极小值为，无极大值.【小问2fx+1=e−ax=0，方程()x当x=0时，显然方程不成立，ex所以x0，则a=，xexy=a()=与gx方程有两个不等实根，即的图象有2个交点，x(−)xx1e()=gx，x2g(x)0，当x0或0x1时，()在区间()和0,1上单调递减，gx,0()x,0()时，푔(푥)<0，当푥∈(0,1)时，푔(푥)>0，()并且当x1时，()在区间(1,+∞)上单调递增，gx0，gxx0时，当x=1时，g(x)取得最小值，g)e，=作出函数푦=푔(푥)的图象，如图所示：exy=a有2个交点时，ae，()与gx=因此x的取值范围为().a故【小问3证明：a0，由f(x)=ex−a=0，得x=a，f(x)0()fx0时，，当xa时，，当xa所以函数푦=푓(푥)在(,a)上单调递减，在(a,)上单调递增.xxfxfx()=()，则(,lna)，(a,).12由题意，且1212x+x2lnax1a−x2要证，只需证，12xa−xafx()在(,a)上单调递减，，且函数而12fxfa−x)，故只需证()(12fx=fx又()()，所以只需证fx2()(fax−)，212fx−fa−x0，即证()()22令h(x)=f(x)−f(2lna−x)，即()=x−−−ax12lna−x−(−)−=x−2e−x−2ax+2aa，hxeeaax1eahxexa2e−x2a()=+−，由均值不等式可得hxexa2e−x2a2eae()=+−x2−x−2a=0，x=a时，等号成立.ex=a2e−x，即当且仅当所以函数ℎ(푥)在푅上单调递增.xa2()()=，即()−(hx，可得ha0fx−)，fax0由222fxfa−x)，所以()(12又函数()在(,a)上单调递减，fxxa−xx+x2lna得证.12所以，即12x=3y=221.1）（2）证明见解析n−1，21nnnni−yn的最小值是；当为奇数时，i−y的最小值i）当为偶数时，i2i1i1是.2）直接根据定义求解；x−yx−yx−yx−y和iii1i1（2）分情况讨论证明，故可推知不能同时为零，进而得到结论；iii1i1n（3）对的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.【小问1以1为首项的最长递增子列是a,a,aaa,aa,a，以为首项的最长递减子列是和.23241342x=3y=2所以，.12【小问2i2,...,n−1，由于a,a,...,a是2,...,naa的一个排列，故.ii1对若12naaai1a为首项的递增子列都可以在前面加一个，i，则每个以ii1a得到一个以为首项的更长的递增子列，所以xx；iii1a而每个以为首项的递减子列都不包含ai1aa，ii1，且ia故可将替换为ai1yy，得到一个长度相同的递