2024年北京北师大实验中学高二（上）10月月考数学试题及答案

2024北京北师大实验中学高二10月月数 学2024年10月4150120上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题，共40分)10小题,4分,40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.在长方体ABCDA1B1C1D1中,化简ABADAA1

2.若向量a(1,1,0),b(1,0,2),则|ab|5(A)5

(B)4 (C)

(D)517A(020两点的直线的一个方向向量为k,那么k171(A)-2 (B)-1 (C) (D)212已知n为平面的一个法向量,l为一条直线,m为直线l的方向向量,则“mn”是“l//”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5.如图所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则下列结论正确的是k2k3

k3k2

k2k3

k2k3如图,在四面体OABC中OAa,OBb,OCcDBC的中点EAD的中点,则OE可用向量a,b,c表示为1a1b1c2 2 2

1a1b1c4 4 2

1a1b14 2 4

1a1b1c2 4 4如图,ABC中,ABBCABBC,所成的角为π(A)6

π(B)4

π(C)3

π(D)22B(20),过点C(14的直线lAB没有公共点,则直线l斜率k的取值范围是(Ak1或k4

(B)4k1

(C)1k4

(Dk4或k1如图,1ABCDABCD中EAB上的点,AE3,PDE上,则PAD距离的最小值为

1111

EB 13(A)5

22

32

(D)1如图,aABCD中P的中点Q上任意一点,E,FCD上任意两点,EF的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是(A)点P到平面QEF的距离 (B)直线PQ与平面PEF所成的角(C)三棱锥P-QEF的体积 (D)二面角P-EF-Q的大小第二部分(非选择题，共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。若d(0,是直线l的一个方向向量,则直线l的倾斜角大小为 .已知点2),C(3,m)三点共线,则实数m的值为 正三棱柱ABCABC中,ABAA2,则直线BC与平面ABBA所成角的正弦值为 .如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,M,N分别是AB,CD上的动点，则MN的最小值是 此时MNDB= .ABF-DCEABAF,ABADAF4，G为CD上的动点,给出下列四个结论:①G为CD的中点时，平面EFBC平面BCG;②存在点G,使得BF平面ADG;③有且仅有一个点G，使得三棱锥E-ACG体积是12;④不存在点G,使得直线CF与平面BCG所成的角为60°其中所有正确结论的序号是 .三、解答题共6小题,共85分。解答题应写出文字说明,验算步骤或证明过程。16.(13分)A(24B(20C(1,1.(I)AB的斜率和倾斜角;(II)若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点D在第一象限,求点D的坐标.17.(14分)已知向量a2b2,14cx.(I)若ac,x的值;求cosab;若abc不能构成空间向量的一个基底,x的值.18.(13分)如图所示,MA平面ABCD,底面ABCD边长为1的正方形,MA2,P是MC上一点,且CP1CM.5(I)建立适当的坐标系并求点P坐标;(II)求证:MBDP.2219.(15分)221是边长为

的正方形ABCD,将ACD沿AC折起得到如图2所示的三棱锥PABC,且PB .证明:PACABC;M,ABCMBC593,若存在,M的位置；若不存在，请说明理由.20.(15分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,Q为棱PD的中点.求证:PB//ACQ;BAPD,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知,P-ABCD唯一确定,并求:PCACQ所成角的正弦值(ii)PACQ的距离.条件①：二面角P-CD-A的大小为45;条件②:PD 2;条件③:AQPC.21.(15分)在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量uabcx0y0z0，若直线l以u为方向向量且经过P,则直线lxx0yy0zz0(abc0;若平面以u为法向量且经过点0 a b cP0,则平面的点法式方程表示为axx0byy0czz00.y23已知直线l的标准式方程为x1 z,平面的点法式方程可表示为3xyz5y231 2 1线l与平面1所成角的正弦值;已知平面2的点法式方程可表示为2x3yz20,2,1,P到平面2的距离;(III)（i）Mxyzx||y|2,|z|MS，求几何体S的体积；Nxyzx||y|2,|y||z|2,|z||x|2}N中所有点构成的几何体为T,求几何体T相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.参考答案10小题,4分,40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.D2.A3.A4.B5.C6.D7.C8.C9.A10.B二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。π11.2

1512.0 13.10

15.①②④14.2,2注：14题第一空3分，第二空2分；15题选对1个给314.2,2三、解答题共6小题,共85分。解答题应写出文字说明,验算步骤或证明过程。16.解:(I)直线AB的斜率k =401， 4分AB 22π倾斜角为4

…………………………..6分(II)不妨设坐标原点为O,当构成 ABCD时,则ODOAOCOB(5,0),即D(-5,0),不在第一象限，舍;… 8分当构成 ADBC时,则ODOAOBOC,即D(1,-5),不在第一象限，舍;… 10分当构成 ABDC时,则ODOBOCOA(3,5),即D(3,5),在第一象限,… 12分综上,点D的坐标为(3,5) 13分17.（由ac得ac15312x, 3分aa2214,|b(2)242(II)因为|

21,ab1231249,… 7分ab 36所以,cosa,b 9分|ab| 14（III）若a,b,c不能构成空间向量的一个基底，则向量a,b,c共面， 10分则存在,R,使得cab,. 分2所以24

1,解得x所以,实数x的值为-6. 14分解：(I)MAABCDABADABCD,所以,AMAB,AMAD,在正方形ABCD中,ABAD,所以,AB,AD,AM两两垂直,… 2分建立空间直角坐标系Axyz(图略)， 3分则0),M(0,2),0),0),… 4分CM2,… 5分设P(x,y,z)，CP1CM由 ,可得(xyCP1CM5

1(1,1,2),5, 解得x4,y4,z2,即P4427分, 5 5 5 5555 55(II)MB2DP4125 55 所以,MBDP0,即MBDP,… 分所以,MBDP 13分解:(I)AC的中点O,OB,OP,在正方形ABCD中,OBODOP1,并且OBAC, 1分在OBP中,PB2OP2OB2,所以,OBOP,. 2分因为OPACO,OP,AC平面PAC,所以,OB平面PAC, 4分而OB平面ABC,所以,平面PAC平面ABC 6分(II)因为OB,OA,OP两两垂直,所以建立空间直角坐标系Oxyz 7分则0),P(0,0),C(0,0),… 8分因为OP平面ABC,所以平面ABC的法向量为OP(0,10分M,AMAP(0设平面MBC的法向量为n(x,y,z),nBxy则有nM(2)yz,

1),则M(0,1,),不妨设y,得n(,,2),… 12分|OPn| 53所以,|cosOP,n|OP||n|

, 14分9两边平方，整理得6210，解得1或1(舍),3 2经检验，1满足题意，因此，存在点M，只需AM1AP即可 15分3 3解:(I)证明:BD,AC于O,OQ,PABCD中,ABCD1的正方形所以OBD的中点,因为Q为棱PD的中点，所以,OQ//PB, 2分因为OQAQ,PBA,所以,PB//平面ACQ 4分(II)因为BAPD,BA//CD,所以,CDPD,选择①②:因为ADCD,且平面PAD平面ABCDCD所以,ADP是二面角PCDA的平面角,即ADP45,因为PA2AD2PD22ADPDcosADP1,所以,PA2AD2PD2,故PAAD,因为BAAD,BAPD,ADPDD,AD,PD平面PAD,所以,BA平面即证AB,AD,AP两两垂直 7分选①③:因为ADCD,且平面PAD平面ABCDCD所以,ADP是二面角PCDA的平面角,即ADP45,因为CDAD,ADPDD,AD,PD平面PAD,所以,CD平面PAD,因为AQ平面PAD,所以,CDAQ,因为AQPC,PCCDC,PC,CD平面PCD,所以,AQ平面PCD,因为PD平面PCD,所以,AQPD,因为Q为PD中点,所以,PAAD,所以,APDADP45,PAD90,即PAAD,因为BA//CD,CD平面PAD,所以,BA平面即证AB,AD,AP两两垂直 7分选②③:因为CDAD,ADPDD,AD,PD平面PAD,所以,CD平面PAD,因为AQ平面PAD,所以,CDAQ,因为AQPC,PCCDC,PC,CD平面PCD,所以AQ平面PCD,因为PD平面PCD,所以AQPD,因为Q为PD中点,PAAD1,所以,PA2AD2PD2,即PAAD,因为BA//CD,CD平面PAD,所以,BA平面即证AB,AD,AP两两垂直 7分如图，建立空间直角坐标系Axyz， 8分则 110),0),Q, ,P(0,, 22AQ11,AC0)PC9分 22 设m(x,y,z)为面ACQ的一个法向量,mAQ1y1z0,则 2 2mACxy,令x1,得m,… 分|mPC| 1 1所以,|cosm,PC ,|mPC| 33 3所以直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为1,13分3PACQ的距离为d

3.|PC|PCm|1|m|3

15分21.（直线l的方向向量为u,3,2),1分平面1的法向量为n(,… 2分所以cosun

un10,|un| 10(II)平面2的法向量为n(2,,… 5分设点x0,y0,z0是平面上一点,则2x03y0z02,不妨令x0y00,则z02,即点Q(0,2)是平面2上一点, 6分|PQn|PQn| 14|n|22(III)(i)几何