2024年北京首师大附中高二（上）9月月考数学试题及答案

2024北京首都师大附中高二9月月数 学一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）zi1已知i ，则z（ ）2A.0 B.1 C.2如图，在平行六面体ABCD中，ABAD（ ）

D.2A.B.C.D.3.已知A2,，B6,3，则AB的坐标为（ ）A.8,8,4

B.8,8,4

C.8,8,4

D.8,8,4如图，已知正方体ABCD的棱长为1，AADB（ ）2A.1 B.2

C. D.135.设n2分别是平面y2x2,1，若xy3（ ）92

72

3 D.72已知直线的方向向量为u0,，直线l2的方向向量为v0,3,，则直线与l2所成角的度数为（ ）A.30 B.60 C.120 D.150已知n为平面的一个法向量，a为直线l的一个方向向量，则“an”是“l//”的（ ）充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件已知点OBC为空间不共面的四点，且向量aOAOBOC，向量bOAOBOC，则与a,b不能构成空间基底的向量是( )OA B.OB C.OC D.OA或OB在空间直角坐标系OxyzA2,1,1在坐标平面OxzBy轴的对称点为点C，则B，C两点间的距离为（ ）172521A. B.3 C.2 D.172521在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCDMNBCAD的中点，则AM和CN夹角的余弦值为（ ）A.2 B. 3 C.13 3 3

D.23二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）已知向量a2,，则与a共线的单位向量为 .12.已知向量a2,，bm,且ab，则m，ab.13.已知直线l经过A1,0,1，B2,0两点，则点P2,1,4到直线l的距离为 .在空间直角坐标系Oxyz中，已知AB2,0,0，AC0,2,0，AD0,0,2.则CD与CB的夹角的余弦值为 ；CD在CB的投影向量a.以下关于空间向量的说法：①若非零向量a，b，c满足a//b，b//c，则a//c②任意向量a，b，c满足abcabc ③若OA,OB,OC为空间向量的一组基底，且OD2OA2OB1OC，则A，B，C，D四点共 3 3 3面axb3x9x3，则10其中正确命题的序号是 .三、解答题（共4道大题，共60分）

a,b为钝角ABCD2E的中点.；的法向量；的距离.ABC的底面边长为2，高为4D为E的中点.C1E//；BC所成角的正弦值.2ABCDAB4AD222

，BAD60，BAA1DAA145，AC与BD相交于点O，设AB=a，ADb，AA1c.试用基底abc表示向量；求的长；求直线BC所成角.2S­­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2

倍，P为侧棱SD上的点．求证：AC⊥SD；SDACD的夹角大小；在（2）SCEBESE∶EC的值；若不存在，试说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）【答案】C【分析】利用复数的乘法求出z，再求出复数的模.(1)2(1)22【详解】依题意，z(i1)i1i，则|(1)2(1)22故选：C【答案】C【分析】利用向量的加减法法则计算即可.【详解】ABADAA1DBAA1DBDD1D1B故选：C【答案】B【分析】利用空间向量坐标运算即可.A2B63，AB8,84故选：B.【答案】A【分析】结合图形利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】因为DBDBBBABADBBABADAA，且AAAB0，AAAD0，AADBAAABADAAAAABAAAD1.故选：A.【答案】Dn//n1y2xy即可.1 1 x 2 1//【详解】 ，且,n2分别是平面,的法向量，则//n1//1y2x1y4xy7.x 2 1 2 2故选：D.【答案】B【分析】根据空间向量夹角公式cos

u,vuv，代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.uvv(0,【详解】直线l1方向向量uv(0,u,vuu,vuvuv11(3)21cos

1),

1，2所以两向量夹角为120，直线和l2所成角为60故选：B.【答案】B【分析】根据线面平行的性质及其法向量和方向向量的关系判断即可.n为平面a为直线l若an，则l或l//，充分性不成立，若l//，则an，必要性成立，所以“an”是“l//”的必要不充分条件.故选：B.【答案】C【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出．【详解】

OC1(ab)1(OAOBOC)1(OAOBOC)，2 2 2OC与a、b不能构成空间基底；故选：C．【答案】D【分析】先求得B，C的坐标，再用两点的距离公式求解A2,1,1在坐标平面OxzB，B2，A2,1,1y轴的对称点为点C，所以C2,1，2222221021221故选：D【答案】A【分析】根据正四面体性质取BN的中点为P，即可知AMP即为异面直线AM和CN的夹角的平面角,计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接BN，取BN的中点为P，连接AP,MP，如下图所示：由正四面体的棱长为1可得AMCNBN 3，2又M,P分别是BC,BN的中点，所以MP//CN，且1CN 3，2 4所以AMP即为异面直线AM和CN的夹角的平面角，又易知BNAN，且PN1BN

3AP

7，AN2PNAN2PN134 16337因此cosAMP4 16

2，2 3 3 32 42即AM和CN夹角的余弦值为3.故选：A二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）【答案】

14,314,

14或

14,314,

147 14 14 7 14 14aa aaa【分析】求出a

，再根据 求解即可.a 223214a 223214a2,3,114,314,14所以a 14

7 14 14， 所以与

共线的单位向量为

14,314,

14或

14,314,

14.a 7 14 14 7 14 14 故答案为：

14,314,

14或

14,314,

14.7 14 14 7 14 14 12.【答案】 ①.1##0.5 ②. 41##1 412 2 2【分析】利用空间向量的垂直关系即可求解；根据向量的加法及模的运算即可求解.a2bm，ab时，所以2m10，所以m1；2因为a2,0,1，b1,2,1， 2 2ab5,2,0，2 abab52 222所以

41.2故答案为：1；41.2 2AP,ABAP3AP,ABAP【分析】根据坐标求出cos

， APPPP到直线l的距离.【详解】AP,AB 1311AP,AB 13112由题意得，AP1,1,3，AB1,0,1，cosAP11911APcosAPAP11911APcosAP,AB 2

2211112，PP112

3.故答案为：3.1【答案】 ①.2

②.1,1,0【分析】先根据空间向量的坐标运算求出CD与CB的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果.AB200AC020AD002，所以CDADAC022CBABAC220，所以cosCDCBCDCDCB

4222

1，2CD在CB

CDcosCDCBCBCB

1,1,0.2故答案为：1；1,1,0.2【答案】①③【分析】根据向量共线定理可判断①；由向量数量积的运算律可判断②；根据AD1AB1CB可判断3 3③；当x3时可判断④.【详解】对于①，因为a，b，c是非零向量，且满足a//b，b//c，故存在实数，使得ab，bc，故ac，所以a//c，故①正确；对于②，因为ac不一定共线且向量的数量积为实数，所以abcabc不一定成立，故②不正确；对于③，若OA,OB,OC为空间向量的一组基底，所以A，B，C三点不共线，OD2OA2OB1OC，且ODOA1OA2OB1OC1OBOA1OBOC，3 3 3 3 3 3 3 3所以AD1AB1CB，则A，B，C，D四点共面，所以③正确；3 3对于④，当x3时，a，b反向共线，有b3a，a,b为180，所以④不正确.故答案为：①③.三、解答题（共4道大题，共60分）（1）证明见解析；（2）2，答案不唯一；（3）236.【分析】（1）根据线面垂直的性质，即可证明线线垂直；建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，利用向量法即可求得结果；根据（2）在平面法向量上的投影向量的长度即可.【小问1详解】ABCD.【小问2详解】以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，如下所示：02B20E2,22，D1E1,2,0,BE1,0,2,A1D12,0,0mxyz，m1E0 x2y0则 ，即 ，取

，可得y1,z1，mBE0

x2z0

𝑥=2故平面D1BE的一个法向量为2,1,1.【小问3详解】设点A1到平面D1BE的距离为d，d

m

26 26 411 326故点A到平面DBE的距离为 .261 13（1）证明见解析（2） 55（1）由已知建立空间直角坐标系，求出直线C1E行的向量判定方法求解即可；（2）根据线面角的向量求解公式求解即可.【小问1详解】如图以AACyzABCACx轴建立空间直角坐标系，C0,4，B0，D0,2，E3,1,4，𝐴(0,0,4)，C0,0，1 2 2 1 所以CE3,3,0AB3,,4D3,,2，1 2 2 1 设平面A1BD的法向量为nx,y,z，nn0nBD0所以 ，即

3xy4z0，3xy2z0令xn所以

3，所以z1，y1，的一个法向量，CEn13233CEn1323 2 又因为C1E所以C1E//；【小问2详解】由（1）BC

0，n

，设直线BC与平面A1BD所成角为，所以sincosBC,n

BCBC

31 ，552 555所以直线BC与平面所成角的正弦值为 .55（1）

1a1bc2 23（2）3π（3）2【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；由（1）可知

1a1bc，然后利用数量积求模长即可；2 2利用空间向量线线角的向量法求解即可.【小问1详解】OAOAAA

1ABAD

1AB1ADAA1a1bc；1 1 2

1 2 2

1 2 2【小问2详解】2AB4，AD2，22

，BAD60，45，ababcos60所以 421ababcos602bcbac

c45c

222422

24，228，2由（1）知OA1

1a1bc，2 22所以OA21a1bc1a21b2c21abacbc3，21 2 2 4 4 2 【小问3详解】BCADb，OABC1a1bcb1ab1b2bc0，1 2 2 2 2 coscosOA,BC1OA1BC0，OA1BCπ所以OA1与BC所成角为2，所以直线OA与直线BC所成角为π.1 219（1）（230°3）SE∶E＝2∶1.（1）BDACBD于OSOABCD.以O为坐标原点，OBOCOSxyz轴正方向，建立空间直角