2024年北京二中高一（上）段考一数学试题及答案

2024北京二中高一（上）段考数 学 A B一、选择题（12 A Bxx21.已知集合A= ,B={−2,0,1,2},则 ()A.{0,1} B.{−1,0,1}C.{−2,0,1,2} D.{−1,0,1,2}2.设a，b，cR，且ab，则（）A.acbc B.1 1a b

C.a2b2

D.a3b3fxA.0,2C.1,22,

12x1x2x1

的定义域为（ ）

B.2,2,D.,2,2 设全集URAxx22x30Bxx1，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.xx1或x3C.xx15.x0x12有（）x

B.xx1或x3D.xx1A.最大值0 B.最小值0 C.最大值-2 D.最小值6.设xR，则“x25x0”是“|x1|1”的充分而不必要条件充要条件既不充分也不必要条件7.若集合A{x|x2x60}，B{x|x20}，则AB等于x3A.(3,3)

B.(2,2)

C.[2,2)

D.[2,3)8.已知p：2x10，q：1mx1m，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）A.0m3C.m3

B.0m3D.m39.已知x0,y0，且141，则xy的最小值为（ ）x yA.6 B.7 C.8 D.9xax2bxc0的解集是23x的不等式bx25axc0的解集是（ ）A.2,3C.1,6

B.,23,D.,6,若xR，使得不等式2kx2kx30成立”k的取值范围为（）8A.0k B.0k3

C.3k0

D.3k0（有一轴穿过它们的圆心x2x3x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1,y2,y3,y4,如图所示.将小圆盘逆时针旋转i(i1,2,3,4)次，每次转动90，记Ti(i1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1x1y2x2y3x3y4x4y1.若x1+x2+x3x40，y1+y2+y3+y40，则以下结论正确的是A.T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数 B.T1,T2,T3,T4中至少有一个为负数C.T1,T2,T3,T4中至多有一个为正数 D.T1,T2,T3,T4中至多有一个为负数二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上）13.命题“xR,x2x30”的否定是 f(x)x,x0

1若函数

，则ff .3xx

5已知集合A，Bxax，若A BB，则实数a值集合为 ．16x1y3x

1x

的最小值是 ．一般地，把ba称为区间a,b的“长度”已知关于x的不等式x2kx2k0有实数解，且解集区长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ．AxyAxyxyAAP.给出以下命题：①若A具有性质P，则A可以是有限集；②若A1,A2具有性质P，且A1A2，则A1A2具有性质P；③若A1,A2具有性质P，则A1A2具有性质P；④若A具有性质P，且AR，则RA不具有性质P.其中所有真命题的序号是 .三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上）fxx2axbAfx的解析式；

和B2,0.gxfx2x0gx的最小值.x20gxx2kx2k4kR.当k5gx0的解集；x2xgx9k的取值范围.p范围.

x23qx24x4a20a0qpa的取值2xax2a3x30的解集为A.若3Aa的取值范围；当a0Aa的取值范围；Bxxx12ABa的值.kA是N*的非空子集（至少有两个元素Ax，y|xy|k，则称A具有性质P(k)．（1）试判断集合B{1,2,3,4}和C{1,4,7,10}是否具有性质P(2)？并说明理由．（2）若Aa1,a2,,a12{1,2,,20}．证明：A不可能具有性质P(3)．（3）若A{1,2,,2023}且A具有性质P(4)和P(7)．求A中元素个数的最大值．参考答案一、选择题（12560分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上）【答案】A【详解】分析：先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集.详解：

x2x,因此AB=2,0,1,2(2,2)0,1，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.【答案】D【详解】当c0Aab2B错误；a2b2C错误；yx3在R上单调递增，aba3b3D选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．【答案】C【分析】根据被开方数是非负数，以及分母不为零，即可容易求得结果.2x1【详解】由x20

1，解得x≥ 且22x1f2x1

1 的定义域为122．C.

x2

2 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，属简单题.【答案】D【分析】根据图可知，阴影表示A B的补集，即可根据集合交并补的定义求解.Axx22x30可得𝐴={𝑥|1<𝑥<3}Bxx1xx，故𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥>−1}，进而故选：D【答案】B

RABxx1.【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】 x 0，x1xx12x1xx

20，当且仅当x1，即x1时等号成立，x即x12有最小值为0.x故选：B.【答案】B【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知0x5推不出x11；由x11能推出0x5，故“x25x0”是“|x1|1”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．【答案】C【分析】解不等式,可得集合A与集合B,根据交集运算即可得解.【详解】集合A{x|x2x60}，B{x|x20}x3解不等式,Ax|3x2}Bx|2xABx|3x2}{x|2x22C【点睛】本题考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集运算,注意分式不等式分母不为0的限制要求,属于基础题.【答案】A【分析】将p是q的必要不充分条件转化为BA，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可.Ax2x，𝐵={𝑥|1𝑚≤𝑥≤1𝑚}，pqBA，m0所以1m2，解得0m3，1m10当m3时，𝐵={𝑥|−2≤𝑥≤4}，成立，所以0m3.故选：A.【答案】Dx 【分析】由题意得xy(xy)14x 【详解】因为x0,y0，且141，x yyx yxyxy145y4xyx y

9，x x x x 当且仅当y4x，即x3,y6时取等号，x yxy故选：D【答案】Ba0ax2bxc0的根为2,3，利用韦达定理求出bc，再根据一元二次不等式的解法即可得解.【详解】因为关于x的不等式ax2bxc0的解集是2,3，所以a0，且方程ax2bxc0的根为2,3，b c故23

23 ，则ba0c6a0，a a故不等式bx25axc0等价于ax25ax6a0，即x25x60，解得x2或x3，x的不等式bx25axc0的解集是23.故选：B.【答案】A【分析】由xR2kx2kx30成立”是假命题，则其否命题为真命题，再根据不等式8恒成立进行求解即可.【详解】由“xR，使得不等式2kx2kx30成立”是假命题，8则其否命题为真命题，即“xR，使得不等式2kx2kx30成立”是真命题，8即xR，使得不等式2kx2kx30恒成立，8当k0时，30恒成立，8当k0时，要使xR，不等式2kx2kx30恒成立，8则{Δ=𝑘2

𝑘>0−4×2𝑘×38

<0，解得0k3，综上知0k，故选：A【答案】A【详解】根据题意可知：（1234?1y23y4）>0,又（123去掉括号即得：

（y1+y2+y3+y4）x1y2x2y2x1y3x1y4+x2y2x2y2x2y3x2y4+x3y2x3y2x3y3x3y4+x4y2x4y2x4y3x4y4=T1T2T3T4>0,所以可知T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数，故选A点睛：借此题关键是要根据题意明白T1,T2,T3,T4所表达的意思，然后容易发现（1234?1y23y4）1234>0二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题纸上）13【答案】xRx2x300 0 0【分析】全称命题的否定是特称命题.【详解】xR,x2x300 0 否定是：xR,x2x30 0 【点睛】全称命题的否定是特称命题，注意要将全称量词否定为存在量词，结论也要否定.14.【答案】2##0.4.5【分析】本题考查了分段函数的函数值的求法，解题过程中要注意定义域，属于基础题.根据定义域首先求出f12，然后求f2即为结果. 5 5 5 【详解】∵函数f(x)x,x0 ，3x1,x0∴f12， 5 5 1 2 2∴ff5f55， 故填：2.515.【答案】0,1,2【分析】由A BB得到BA，则A的子集有，2，2,1，分别求解即可.【详解】因为A BB，故BA；A的子集有，2，2,1，Ba0；当B2时，2a2a1；Ba12a2；Ba不存在，a的集合为02；故答案为02．316.【答案】323【分析】由已知可知y3x 1 3x1 1 3，然后利用基本不等式即可求解．x1 x1【详解】解： x1，y3x 1 3x1 1 3x1 x3x11x132 32 33x11x133故答案为2 3．3

3取等号）3【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．8,917.【答案】8,9x2kx2k0x2kx2k0式，韦达定理进行求解.【详解】不等式x2kx2k0有实数解等价于x2kx2k0有两个不相等的实数根，则k2k0k8k0xx 4xx2 1212k28k1设x2kx2k0的两根为x，x2，不妨令x1xx 4xx2 1212k28k1

x

31k9，结合k8k0，所以2 18,9实数k的取值范围为8,98,98,918【答案】①②④【分析】举特例判断①；利用性质P的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法判断④，元素0是关键.【详解】对于①，取集合A0,1具有性质P，故A可以是有限集，故①正确；对于②，取x,yA1A2，则xA1，xA2，yA1，yA2，又A1,A2具有性质P，xyxyxyA2,xy，xyA2,xy具有性质P，故②正确；x|x2kkZx|x3kkZ23，但23，故③错误；对于④，若A具有性质P，且AR，假设RA也具有性质P，设0A，在RAxx0，此时可证得xA，否则若x

RA，由于RA也具有性质P，则xx0

RA，与0A矛盾，故xA，由于A具有性质P，RA也具有性质P，所以x2,x2

RA，而x2x2A

RA矛盾，故当0A且A具有性质P时，则RA不具有性质P，同理当0RA时，也可以类似推出矛盾，故④正确.故答案为：①②④【点睛】集合新定义题目，关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于难题.三、解答题（本大题共60分，请将答案填在答题纸上）19（1）fxx23x2（2）1（1）A

和B2,0即可求解；（2）由（1）得到gx，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】1ab0 a342ab02， bfxfxx23x2.【小问2详解】由（1）可得gxfx2x43x xx4x因为x0，所以x4x4xx所以gx的最小值为1.20（1）23（2）,10

31x2时，取到等号，（1）k5gxx2kx2k4kRx25x60即可；（2）把恒成立的问题转化为分离参数求值的问题，再利用基本不等式求ℎ(𝑥)=𝑥2+5(𝑥>2)的最小值即可.𝑥−2【小问1详解】k5gxx25x6，gx0x25x60x2x30x2x3，k5gx0的解集为23.【小问2详解】x2xgx9恒成立，x2xgxx2kx2k49恒成立，x2k

x2x2

恒成立，令ℎ(𝑥)=𝑥2+5(𝑥>2)，𝑥−2令tx2,t0，则xt2，故ℎ(𝑥)=𝑥2+5(𝑥>2)⇔𝑦=(𝑡+2)2+5(𝑡>0)，𝑥−2 𝑡t9tt225 t2tt9t又y t 42t t t当且仅当t9，即t3时等号成立，t故当t3，即x5时，hx h510因此可得k10，

410，x2xgx9k的取值范围为,10.21.【答案】8,pq，由题意可得出2,10⫋2a2a，解不等式即可得出答案.【详解】由

x23可得：3x23，则2x10，2 2由𝑥2−4𝑥+4𝑎2≤0(𝑎>0)x2ax2a0，a0，所以2a2a2ax2a，qp的必要不充分条件，所以2,10⫋2a2a，2−𝑎≤−2所以{2+𝑎≥10且不能同时取等，解得：a8.𝑎>0所以实数a的取值范围为：8,（1）a1（2）a32（3）a14【分析】（1）因为3A，所以将x3代入不等式不成立；a0yax2a3)x3开口向下，要使集合A函数的零点和取值情况；AB意味着两个集合中的不等式等价.解集一样，构造方程即可.【小问1详解】因为3A，所以当x3时，ax2(a3)x30.将x3代入得9a3(a3)30，即9a3a930，解得a1.【小问2详解】由ax2(a3)x30，因式分解得(ax3)(x1)0，因为a0，所以31，不等式的解为3x1.a a因为集合A中有且仅有两个整数，这两个整数只能是1，0.所以231，a当23时，2a3，解得a3；a 2当31时，3a，解得a3.a所以a3.2【小问3详解】因为B{x|x1或x12}，AB，由ax2(a3)x30，因式分解得(ax3)(x1)0.因为AB，所以方程ax2(a3)x30的两个根为1和12.将x12代入方程ax2(a3)x30得144a12(a3)30，144a12a3630，即132a330，132a33，解得a1.4（1）BP(2)CP(2)，理由见解析（2）证明见解析 （3）920（1）BCP2即可；将,20分为11个子集，结合抽屉原理证明结论；先证明连续11个自然数中至多有5个元素属于AA中元素个数不超过920个，再举例说明存在含有920个元素的满足要求的集合A.【小问1详解】B24，又1N2N3N4N422BP2，因为C1,4,7,10，又1N,4N,7N,10N，4171101,741041073，所以集合CP2.【小问2详解】将集合,20中的元素分为如下11个集合，所以从集合,20中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A不可能具有性质P3.【小问3详解】先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以1,2,3,11为例.构造抽屉{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}，{5}