2024-2025学年高考数学考点第九章平面解析几何直线的方程理

直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线l倾斜角的范围是0°≤α<180°.2．斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思索1．直线都有倾斜角，是不是直线都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？提示倾斜角α∈[0，π)，当α＝eq\f(π,2)时，斜率k不存在；因为k＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2))).当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，α越大，斜率k就越大，同样α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠eq\f(π,2)时就不是了．2．“截距”与“距离”有何区分？当截距相等时应留意什么？提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应留意过原点的特别状况是否满意题意．1．（2024•全国）坐标原点关于直线的对称点的坐标为__________．【答案】【解析】设坐标原点关于直线的对称点的坐标为，则，解得，，坐标原点关于直线的对称点的坐标为．故答案为：．1．（2024•河南模拟）已知函数，满意，则直线的倾斜角为A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，满意，函数关于直线对称，，化为，解得．则直线的倾斜角满意：，，．．故选．2．（2024•宜昌模拟）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则A． B． C． D．【答案】C【解析】因为角终边落在直线上，所以，可得，所以．故选．3．（2024•浙江模拟）直线为常数）的倾斜角为A． B． C． D．【答案】B【解析】设直线的倾斜角是，则直线的方程可化为，直线的斜率，，．故选．4．（2024•徐汇区一模）过点，且与直线有相同方向向量的直线的方程为A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，，即直线的斜率，由题意可知所求直线的斜率率，故所求的直线方程为即．故选．5．（2024•普陀区一模）若直线经过第一象限内的点，，则的最大值为A． B． C． D．【答案】B【解析】直线经过第一象限内的点，，则，，．．令，，．，可得时，取得极大值即最大值，．故选．6．（2024•南充模拟）直线关于直线对称的直线方程为A． B． C． D．【答案】A【解析】在直线上任取一点，此点关于直线的对称点在直线上，，即，故选．7．（2024•西湖区校级模拟）直线在轴上的截距为A． B．1 C． D．【答案】B【解析】依据题意，直线，其与轴的交点为，即在轴上的截距为1；故选．8．（2024•西城区模拟）直线经点，且与直线在轴上的截距相等，则直线的方程为A． B． C． D．【答案】C【解析】直线在轴上的截距为，设直线方程为，过点，，得，得，即方程为，即，故选．9．（2024•广州二模）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为A． B． C． D．【答案】D【解析】设点．点与点关于直线对称，，解得，．则点的坐标为．故选．10．（2024•黄冈模拟）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】当直线过原点时，可得斜率为，故直线方程为，即当直线不过原点时，设方程为，代入点可得，解得，故方程为，故所求直线方程为：或，故选．11．（2024•黄冈模拟）过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】当直线过原点时，方程为：，即；当直线不过原点时，设直线的方程为：，把点代入直线的方程可得，故直线方程是．综上可得所求的直线方程为：，或，故选．12．（2024•闵行区校级三模）若直线方程的一个法向量为，则此直线的倾斜角为__________．【答案】【解析】直线方程的一个法向量为，所以该直线的方向向量为，则直线的斜率为，所以倾斜角为．故答案为：．13．（2024•镇江三模）已知直线，，且，则直线，间的距离为__________．【答案】【解析】，，且，，，，，即；则、间的距离为：；故答案为：．14．（2024•武汉模拟）已知，为直线上两点，为坐标原点，若，则的周长最小值为__________．【答案】【解析】在中，由余弦定理得：，化简得：，由基本不等式，当且仅当时，等号成立．所以，所以，故，所以，由于，所以，取“”号时为等边三角形．则正三角形的高为为坐标原点到直线的距离．所以当为等边三角形时：设，所以，解得，故，所以．故答案为：．15．（2024•徐汇区二模）已知直线的方向向量是直线的法向量，则实数的值为__________．【答案】【解析】由直线的方向向量是直线的法向量，可得两直线相互垂直，则，解得．故答案为：．16．（2024•西湖区校级模拟）设直线的方程为．（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）若，直线与、轴分别交于、两点，为坐标原点，求面积取最小值时，直线的方程．【解析】（1）当直线经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时，解得，此时直线的方程为，即；当直线不经过坐标原点，即且时，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得，此时直线的方程为；所以直线的方程为或；（2）由直线方程可得，，，因为，所以，当且仅当，即时等号成立；此时直线的方程为．17．（2024•西湖区校级模拟）过作直线，分别交轴、轴的正半轴于点，．（1）当为中点时，求直线的方程；（2）设是坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程．【解析】（1）设，，，则直线的方程为，为中点，，，，，则直线的方程为：，即．（2）设，，，则直线的方程为，又在直线上，，又，，，等号当且仅当，即，时成立，直线的方程为：，即