2024-2025学年高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合学案新人教B版选修2-3

PAGEPAGE11．2.2组合1.了解组合与排列的区分与联系．2.理解组合的概念、组合数公式及性质．3．能利用组合的概念及组合数公式解决实际问题．1．组合的概念(1)组合：一般地，从n个不同元素中，随意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．(2)两个组合相同的含义：组成组合的元素完全相同，而不管元素的依次如何．2．组合数与组合数公式(1)从n个不同元素中，随意取出m(m≤n)个元素的全部组合的个数，叫做从n个不同元素中，随意取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．(2)组合数公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)，或Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)．规定Ceq\o\al(0,n)＝1．对于组合数Ceq\o\al(m,n)，应有m∈N，n∈N＋，且m≤n.(3)组合数的性质：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).1．推断(对的打“√”，错的打“×”)(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，全部组合的个数为Ceq\o\al(2,3).()(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得Ceq\o\al(2,4)个积．()(3)Ceq\o\al(2016,2017)＝Ceq\o\al(1,2017)＝2017.()答案：(1)√(2)√(3)√2．Ceq\o\al(2,n)＝10，则n的值为()A．10B．5C．3D．4解析：选B.Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(n！,（n－2）！×2！)＝eq\f(n（n－1）,2)＝10，所以n(n－1)＝20，解之得n＝5，故选B.3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．解析：车票的票价有Ceq\o\al(2,3)＝3种．答案：3 组合的概念推断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)从a，b，c，d四名学生中选2名去完成同一件工作，有多少种不同的选法？(4)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(5)5个人相互各写一封信，共写了多少封信？【解】(1)当取出3个数字后，假如变更三个数字的依次，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的支配依次有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样变更这三个数字之间的依次，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的支配依次无关，是组合问题．(3)2名学生完成的是同一件工作，没有依次，是组合问题．(4)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无依次区分，为组合问题．(5)发信人与收信人是有区分的，是排列问题．eq\a\vs4\al()推断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的依次有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换随意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的依次有关，组合问题与选取元素的依次无关．由此可知，定序问题属于组合，即排列时，假如限定某些元素保持规定的依次，则定序的这n个元素属于组合问题．在下列问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？(1)从a，b，c，d四名学生中选出2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(2)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环竞赛，共需赛多少场？(3)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？解：(1)2名学生完成两件不同的工作，有依次，是排列问题．(2)单循环竞赛要求每两支球队之间只打一场竞赛，没有依次，是组合问题．(3)争夺冠亚军是有依次的，是排列问题．组合数公式及性质的应用计算下列各式的值．(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)；(2)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,10)；(3)Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(9－n,n＋1).【解】(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)＝3×eq\f(8×7×6,3×2×1)－2×eq\f(5×4,2×1)＝148.(2)利用组合数的性质Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)，则Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(4,4)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(4,4)＝…＝Ceq\o\al(4,11)－1＝329.(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－n≤n，,5－n≥0，,9－n≤n＋1，,9－n≥0，))解得4≤n≤5.又因为n∈N＋，所以n＝4或n＝5.当n＝4时，原式＝Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(5,5)＝5.当n＝5时，原式＝Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(4,6)＝16.若将本例(2)变为：Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(5,10)，如何求解？解：原式＝(Ceq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(5,6))＋Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(5,10)＝(Ceq\o\al(6,7)＋Ceq\o\al(5,7))＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(5,10)＝…＝Ceq\o\al(6,10)＋Ceq\o\al(5,10)＝Ceq\o\al(6,11)＝Ceq\o\al(5,11)＝eq\f(11×10×9×8×7,5×4×3×2×1)＝462.eq\a\vs4\al()关于组合数公式的选取技巧(1)涉及详细数字的可以干脆用eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1)＝eq\f(n,n－m)·eq\f(（n－1）！,m！（n－1－m）！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)＝Ceq\o\al(m,n)进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)计算．(3)计算时应留意利用组合数的性质Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)简化运算．1.Ceq\o\al(48,50)＋Ceq\o\al(49,50)＝________．解析：Ceq\o\al(48,50)＋Ceq\o\al(49,50)＝Ceq\o\al(49,51)＝Ceq\o\al(2,51)＝eq\f(51×50,2×1)＝1275.答案：12752．解方程：Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18).解：由原方程及组合数性质可知，3n＋6＝4n－2，或3n＋6＝18－(4n－2)，所以n＝2，或n＝8，而当n＝8时，3n＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去．因此n＝2.3．已知eq\f(1,Ceq\o\al(m,5))－eq\f(1,Ceq\o\al(m,6))＝eq\f(7,10Ceq\o\al(m,7))，求Ceq\o\al(m,8)＋Ceq\o\al(5－m,8).解：原式可化为eq\f(m！（5－m）！,5！)－eq\f(m！（6－m）！,6！)＝eq\f(7×（7－m）！m！,10×7！)，即eq\f(m！（5－m）！,5！)－eq\f(m！（6－m）（5－m）！,6×5！)＝eq\f(7×m！（7－m）（6－m）（5－m）！,10×7×6×5！)，所以1－eq\f(6－m,6)＝eq\f(（7－m）（6－m）,60)，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.而0≤m≤5，所以m＝2.所以Ceq\o\al(m,8)＋Ceq\o\al(5－m,8)＝Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝Ceq\o\al(3,9)＝84.简洁的组合应用题课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选．(2)至多有两名女生当选．(3)既要有队长，又要有女生当选．【解】(1)至少有一名队长含有两种状况：有一名队长和两名队长，故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝825种．或采纳解除法有Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825种．(2)至多有两名女生含有三种状况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966种．(3)分两种状况：第一类：女队长当选，有Ceq\o\al(4,12)种；其次类：女队长不当选，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)种．故共有Ceq\o\al(4,12)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)＝790种．1．在本例条件下，若两名队长必需选，有多少种不同的选法？解：从除去两名队长之外的11名学生中任选3名即可．所以不同的选法有Ceq\o\al(3,11)＝165种选法．2．在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？解：分两类状况：第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有Ceq\o\al(5,11)＝462种选法．其次类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(4,11)＝660种选法．所以至多1名队长被选上的方法有462＋660＝1122种．eq\a\vs4\al()有限制条件的组合问题分类有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用干脆分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是干脆分类法，但要留意分类要不重不漏；二是间接法，留意找准对立面，确保不重不漏．1.从6位同学中选出4位参与一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参与，则不同选法的种数为()A．9 B．14C．12 D．15解析：选A.法一：(干脆法)分两类：第1类，张、王两同学都不参与，有Ceq\o\al(4,4)＝1种选法；第2类，张、王两同学中只有1人参与，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)＝8种选法．故共有1＋8＝9种选法．法二：(间接法)共有Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(2,4)＝9种不同选法．2．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位挚友，每位挚友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种 B．10种C．18种 D．20种解析：选B.依题意，就所剩余的1本进行分类：第1类，剩余的是1本画册，此时满意题意的赠送方法有Ceq\o\al(1,4)＝4种；第2类，剩余的是1本集邮册，此时满意题意的赠送方法有Ceq\o\al(2,4)＝6种．因此，满意题意的赠送方法共有4＋6＝10种．

排列与组合的综合应用题[学生用书P10]用0，1，2，3，4，5这六个数字．(1)可以组成多少个无重复数字的五位数？(2)可以组成多少个无重复数字的五位奇数？(3)可以组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数？【解】(1)法一：(干脆法)从1，2，3，4，5这五个数字中任取一个作万位，有Ceq\o\al(1,5)种；从余下的5个数字中选4个排在后四位，有Aeq\o\al(4,5)种，由分步乘法计数原理，共有Ceq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(4,5)＝600个．法二：(间接法)不考虑任何限制，共有Aeq\o\al(5,6)种，而0作首位时，有Aeq\o\al(4,5)种，故适合题意的数字个数为Aeq\o\al(5,6)－Aeq\o\al(4,5)＝600.(2)一个数是否为奇数取决于个位数字，所以个位为特别位置，又0不能排在首位，所以0为特别元素，应优先考虑，有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)＝288个．(3)能被5整除的五位数，其个位数字是0或5.当个位数字是0时，共有Aeq\o\al(4,5)个；当个位数字是5时，共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,4)个，由分类加法计数原理，符合题意的数字共有Aeq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,4)＝216个．eq\a\vs4\al()解答排列、组合综合问题的思路及留意点(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．(2)解排列、组合综合问题时要留意以下两点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．②对于有多个限制条件的困难问题，应仔细分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参与团体竞赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有______________种(以数字作答)．解析：(1)有1名老队员入选，则有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36种排法．(2)有2名老队员入选，则入选人数有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)种选法．按排出场序号有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)种方法．所以老队员选2人，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)种排法．依据分类加法计数原理，符合要求的排法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝36＋12＝48种排法．答案：48————————————————————————————————————————————————1．分组、安排问题的求解策略常见形式处理方法非匀称不编号分组n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的依次，不管是否分尽，分法种数为：A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1)匀称不编号分组将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为eq\f(A,Aeq\o\al(r,r))(其中A为非匀称不编号分组中的分法数)．假如再有k组匀称组应再除以Aeq\o\al(k,k)非匀称编号分组n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的依次，其分法种数为A·Aeq\o\al(m,m)匀称编号分组n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的依次，其分法种数为eq\f(A,Aeq\o\al(r,r))·Aeq\o\al(m,m)2.相同元素安排问题的处理策略(1)隔板法：假如将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法特地解决相同元素的安排问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有Ceq\o\al(m－1,n－1)种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．3．解决先选后排问题时，应遵循三大原则(1)先特别后一般；(2)先组合后排列；(3)先分类后分步．1．组合数公式的两种形式的适用范围形式适用范围乘积式含详细数字的组合数的求值阶乘式含字母的组合数的有关变形及证明2.组合数的两特性质及其关注点性质1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).它反映了组合数的对称性．若m>eq\f(n,2)，通常不干脆计算Ceq\o\al(m,n)，而改为计算Ceq\o\al(n－m,n)，这样可以削减计算量．性质2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).特点是左端下标为n＋1，右端下标都为n，相差1；左端的上标与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少1.要留意性质Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)的顺用、逆用、变形用．顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)－Ceq\o\al(m,n)的运用，为某些项相互抵消供应了便利，在解题中要留意敏捷运用．1．计算Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)等于()A．120 B．240C．60 D．480解析：选A.原式＝Ceq\o\al(3,9)＋Ceq\o\al(2,9)＝Ceq\o\al(3,10)＝120.2．某单位要邀请10位老师中的6人参与一个研讨会，其中甲、乙两位老师不能同时参与，则不同的邀请方法有()A．84种 B．98种C．112种 D．140种解析：选D.因为10位老师中的6人参与一个研讨会，其中甲、乙两位老师不能同时参与，须要分类来解，所以当甲和乙有一个参与，则只要从8人中选5个，共有2Ceq\o\al(5,8)＝112种结果，当甲和乙都不参与，要从8人中选6人，共有Ceq\o\al(6,8)＝28种结果，依据分类加法计数原理知共有112＋28＝140种．3．把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物试验，则不同的支配方法有________种．解析：Ceq\o\al(3,8)＝56.答案：564．从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，假如按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为________．解析：依据分层抽样，3名学生组成课外小组应是男生1人，女生2人；所以取2名女生1名男生的方法的种数为Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,4)＝112.答案：112[A基础达标]1．由Ceq\o\al(x＋1,10)＋Ceq\o\al(17－x,10)可得不相同的值的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x＋1≤10，,0≤17－x≤10，))得7≤x≤9，又因为x∈N，所以x的取值为7，8，9，Ceq\o\al(x＋1,10)＋Ceq\o\al(17－x,10)依次取值为46，20，46，故不同数值有2个．2．若Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，则m的值为()A．6 B．7C．8 D．9解析：选B.由Aeq\o\al(3,m)＝6×Ceq\o\al(4,m)，得eq\f(m！,（m－3）！)＝6·eq\f(m！,4！（m－4）！)，即eq\f(1,m－3)＝eq\f(1,4)，解得m＝7.3．7名同学站一排，甲身高最高，排在正中间，其他6名同学身高不等，甲的左，右两边以身高为准，由高到低排列，则不同的排法共有()A．18种 B．20种C．15种 D．35种解析：选B.从6名同学中任取3人按身高依题意排在左边有Ceq\o\al(3,6)种排法，剩下3人依次排在右边只有1种排法，故不同排法的种数为Ceq\o\al(3,6)＝20.4．将7名学生安排到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少支配两名学生，那么互不相同的安排方案共有()A．252种 B．112种C．20种 D．56种解析：选B.按安排到甲宿舍的人数进行分类，则不同的安排方案共有Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(5,7)Ceq\o\al(2,2)＝112种．5．空间中有6个点，它们任何3点不共线，任何4点不共面，则过其中2点的异面直线共有()A．15对 B．30对C．45对 D．60对解析：选C.考虑到每一个三棱锥对应着3对异面直线，问题就转化为求能构成的三棱锥的个数．由于这6个点可构成Ceq\o\al(4,6)个三棱锥，故所求异面直线的对数为3Ceq\o\al(4,6)＝45.6．从0，1，2，3，4，5这6个数中每次取3个不同的数，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有________个．解析：先选取3个不同的数，有Ceq\o\al(3,6)种选法；然后把其中最大的数放在百位上，另2个不同的数放在十位和个位上，有Aeq\o\al(2,2)种放法，故共有Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,2)＝40个三位数．答案：407．某单位需同时参与甲、乙、丙三个会议，甲需2人参与，乙、丙各需1人参与，从10人中选派4人参与这三个会议，不同的支配方法有________种．解析：从10人中选派4人有Ceq\o\al(4,10)种方法，对选出的4人详细支配会议有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)＝2520种．答案：25208．若Ceq\o\al(m－1,n)∶Ceq\o\al(m,n)∶Ceq\o\al(m＋1,n)＝3∶4∶5，则n－m＝________．解析：由题意知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(Ceq\o\al(m－1,n),Ceq\o\al(m,n))＝\f(3,4)，,\f(Ceq\o\al(m,n),Ceq\o\al(m＋1,n))＝\f(4,5)，))由组合数公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n－7m＋3＝0，,9m－4n＋5＝0，))解得：n＝62，m＝27.n－m＝62－27＝35.答案：359．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参与市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)随意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参与；(3)甲、乙、丙三人不能参与；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参与．解：(1)从中任取5人是组合问题，共有Ceq\o\al(5,12)＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必需参与，则只须要从另外9人中选2人，是组合问题，共有Ceq\o\al(2,9)＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参与，则只需从另外的9人中选5人，共有Ceq\o\al(5,9)＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参与，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有Ceq\o\al(1,3)种选法；再从另外9人中选4人，有Ceq\o\al(4,9)种选法．共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＝378种不同的选法．10．6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的安排方法？(1)甲2本，乙2本，丙2本；(2)甲1本，乙2本，丙3本；(3)甲4本，乙、丙每人1本；(4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本；(6)一人4本，其余两人每人1本．解：(1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向安排问题，由分步乘法计数原理得：(1)共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90种不同的安排方法；(2)共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60种不同的安排方法；(3)共有Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝30种不同的安排方法．(4)(5)(6)属于不定向安排问题，是该类题中比较困难的问题．安排给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．事实上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人，因此只要将分组方法数再乘以甲、乙、丙3人的全排列数Aeq\o\al(3,3)即可．因此，(4)共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)÷Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(3,3)＝90种不同的安排方法；(5)共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(3,3)＝360种不同的安排方法；(6)共有Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)÷Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(3,3)＝90种不同的安排方法．[B实力提升]11．如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为()A．208 B．204C．200 D．196解析：选C.任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3Ceq\o\al(3,4)；二是4条竖线上的3个点，其组数为4Ceq\o\al(3,3)；三是4条对角线上的3个点，其组数为4Ceq\o\al(3,3)，所以可以构成三角形的组数为：Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)－8Ceq\o\