统考版2024高考数学二轮复习命题有依据学案含解析文

PAGE命题有依据素养1数学抽象通过由详细的实例概括一般性结论，看我们能否在综合的情境中学会抽象出数学问题，并在得到数学结论的基础上形成新的命题，以此考查数学抽象素养.主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的详细背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.详细表现：①形成数学概念与规则；②形成数学命题与模型；③形成数学方法与思想；④形成数学结构与体系.[例1](2024·新高考全国卷Ⅰ，T8)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满意xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]D[由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，明显符合题意．综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，故选D.][点评]由函数性质抽象出函数图形，体现了数学抽象的素养．素养2直观想象通过对空间图形与平面图形的视察以及图形与数量关系的分析，通过想象对困难的数学问题进行直观表达，看我们能否运用图形和空间想象思索问题，感悟事物的本质，形成解决问题的思路，以此考查直观想象素养.主要包括利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探究解决问题的思路.详细表现：①利用图形描述数学问题；②利用图形理解数学问题；③利用图形探究和解决数学问题；④构建数学问题的直观模型.[例2](2024·全国卷Ⅰ，T3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形态可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.eq\f(\r(5)－1,4)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4)D.eq\f(\r(5)＋1,2)C[设正四棱锥的高为h，底面正方形的边长为2a，斜高为m，依题意得h2＝eq\f(1,2)×2a×m，即h2＝am①，易知h2＋a2＝m2②，由①②得m＝eq\f(1＋\r(5),2)a(负值舍去)，所以eq\f(m,2a)＝eq\f(\f(1＋\r(5),2)a,2a)＝eq\f(1＋\r(5),4).故选C.][点评]由实物体勾画出几何图形，体现了直观想象的素养．素养3逻辑推理通过提出问题和论证命题的过程，看我们能否选择合适的论证方法与途径予以证明，并能用精确、严谨的数学语言表述论证过程，以此考查逻辑推理素养.主要包括两类，一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，推理形式主要有归纳推理、类比推理；一类是从大范围成立的命题推断小范围内成立的命题的推理，推理形式主要有演绎推理.详细表现：①发觉和提出命题；②驾驭推理的基本形式和规则；③探究和表述论证的过程；④构建命题体系；⑤表达与沟通.[例3](2024·全国卷Ⅱ，T5)在“一带一路”学问测验后，甲、乙、丙三人对成果进行预料．甲：我的成果比乙高．乙：丙的成果比我和甲的都高．丙：我的成果比乙高．成果公布后，三人成果互不相同且只有一个人预料正确，那么三人按成果由高到低的次序为()A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙A[由于三人成果互不相同且只有一个人预料正确．若甲预料正确，则乙、丙预料错误，于是三人按成果由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预料错误，则甲、乙按成果由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预料正确，则乙、丙按成果由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成果由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预料也正确，与事实冲突；若甲、丙预料错误，则可推出乙的预料也错误．综上所述，三人按成果由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.][点评]由语言间的逻辑关系推导出结果，体现了逻辑推理的素养．素养4数学运算通过各类数学问题特殊是综合性问题的处理，看我们能否做到明确运算对象，分析运算条件，选择运算法则，把握运算方向，设计运算程序，获得运算结果，以此考查数学运算素养.主要包括理解运算对象、驾驭运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果.详细表现：①理解运算对象；②驾驭运算法则；③探究运算思想；④设计运算程序.[例4](2024·全国卷Ⅲ，T6)已知向量a，b满意|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝()A．－eq\f(31,35)B．－eq\f(19,35)C.eq\f(17,35)D.eq\f(19,35)D[由a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝25－6＝19，又|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝7，所以cos〈a，a＋b〉＝eq\f(a·a＋b,|a|·|a＋b|)＝eq\f(19,5×7)＝eq\f(19,35)，故选D.][点评]向量的模、数量积的运算、向量的夹角等均体现了数学运算的素养．素养5数学建模通过实际应用问题的处理，看我们是否能够运用数学语言，清楚、精确地表达数学建模的过程和结果，以此考查数学建模素养.主要包括在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改进模型，最终得到符合实际的结果.详细表现：①发觉和提出问题；②建立模型；③求解模型；④检验结果和完善模型.[例5](2024·全国卷Ⅱ，T4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最终一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块 B．3474块C．3402块 D．3339块C[由题意知，由天心石起先向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9、公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n.设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝eq\f(2n9＋18n,2)－2×eq\f(n9＋9n,2)＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝eq\f(3n9＋27n,2)＝eq\f(3×9×9＋27×9,2)＝3402，故选C.][点评]由题设信息抽象出数列模型，体现了数学建模的素养．素养6数据分析通过对概率与统计问题中大量数据的分析和加工，看我们能否获得数据供应的信息及其所呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发觉随机现象的统计规律，以此考查数据分析素养.主要包括收集数据提取信息，利用图表展示数据，构建模型分析数据，说明数据获得学问.详细表现：①数据获得；②数据分析；③学问构建.[例6](2024·全国卷Ⅱ，T18)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简洁随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得eq\o(∑,\s\up7(20),\s\do10(i＝1))xi＝60，eq\o(∑,\s\up7(20),\s\do10(i＝1))yi＝1200，eq\o(∑,\s\up7(20),\s\do10(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))2＝80，eq\o(∑,\s\up7(20),\s\do10(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up7(－)))2＝9000，eq\o(∑,\s\up7(20),\s\do10(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))(yi－eq\o(y,\s\up7(－)))＝800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；(3)依据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更精确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))xi－\o(x,\s\up7(－))yi－\o(y,\s\up7(－)),\r(\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))xi－\o(x,\s\up7(－))2\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))yi－\o(y,\s\up7(－))2))，eq\r(2)≈1.414.[解](1)由已知得样本平均数eq\x\to(y)＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,y)i＝60，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200＝12000.(2)样本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,20,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(800,\r(80×9000))＝eq\f(2\r(2),3)≈0.94.(3)分层抽样：依据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采纳分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一样性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更精确的估计．[点评]由题设样本数据对总体作出合理分析，体现了数据分析的素养．真题示例1源于教材2024·全国卷Ⅰ，T8人教A版必修1P75B组T1设alog34＝2，则4－a＝()A.eq\f(1,16)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,6)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值.点评：高考题与教材的题目如出一辙，均考查指、对数互化及指数幂的运算.真题示例2源于教材2024·全国卷Ⅱ，T16人教A版必修5P18练习T3△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.在△ABC中，求证：a＝bcosC＋ccosB，b＝ccosA＋acosC，c＝acosB＋bcosA.点评：高考题常利用以上三结论干脆命题.真题示例3源于教材2013·全国新课标卷Ⅰ，T21(1)人教A版选修2－1P50B组T2人教A版选修2－1P80A组T已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程.1.一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.2.与圆x2＋y2＝1及圆x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在()A.一个椭圆上B.双曲线的一支上C.一条抛物线上D.一个圆上点评：以上试题均以圆与圆的位置关系为载体考查圆心的轨迹方程问题.真题示例1追踪溯源2024·全国卷Ⅲ，T162024·全国卷Ⅰ，T13已知函数f(x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.若函数f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))为偶函数，则a＝________.点评：两道考题均以函数y＝ln(eq\r(1＋x2)±x)的奇偶性为载体，通过构造变迁成新的考题，在求解过程中均采纳了分别转化的思想．如2024年全国卷Ⅰ用了“奇函数×奇函数＝偶函数”的性质，而2024年全国卷Ⅲ应用了整体代换思想，熟知函数y＝ln(eq\r(1＋x2)±x)的奇偶性是解题关键.真题示例2追踪溯源2024·全国卷Ⅰ，T162012·全国新课标卷Ⅰ，T12数列{an}满意an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________.数列{an}满意an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前60项和为()A.3690B．3660C.1845D．1830点评：两题均以递推关系为载体，命题结构完全相像，在求解思路上，均以n的奇偶性为切入点，通过项间的关系发觉内在规律.真题示例1：(2024·全国卷Ⅱ，T13)我国高铁发展快速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.9