2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.1.2数据的数字特征训练含解析新人教B版必修第二册

PAGE6-第五章5.15.1.2请同学们仔细完成[练案14]A级基础巩固一、选择题1．已知数据－3，－2,0,6,6,13,20,35则它的中位数和众数各是(A)A．6和6 B．3和6C．6和3 D．9.5和6[解析]∵从小到大排列的这8个数，排在中间的两个数都是6，∴中位数是6；∵6出现的次数最多，∴众数是6，故选A．2．2024年1月份我国多地雾霾天气频发，部分地区平均雾霾天数统计如下：省份江苏北京浙江安徽山东天数(天)241513108这五省1月份雾霾天数的平均数与中位数分别是(A)A．14,13 B．15,13C．14,14 D．14,15[解析]将这组数据按从大到小的依次排列，中间一个数为13，则这组数据的中位数是13；平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝(24＋15＋13＋10＋8)÷5＝14.故选A．3．(多选题)下列说法中正确的是(ACD)A．数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定B．数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C．数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D．数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定[解析]由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之无关，故B不正确，ACD正确．4．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数eq\o(x,\s\up6(－))及其方差s2如表所示，则选送决赛的最佳人选应是(B)项目甲乙丙丁eq\o(x,\s\up6(－))7887s26.36.378.7A．甲 B．乙C．丙 D．丁[解析]因为eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\o(x,\s\up6(－))丙＞eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))丁，且seq\o\al(2,甲)＝seq\o\al(2,乙)＜seq\o\al(2,丙)＜seq\o\al(2,丁)，所以应选择乙进入决赛．5．某射手在一次训练中12次射击的成果分别为9.6,9.7，9.0，9.1,9.4,9.4,9.8,9.9,9.4,9.6,9.6,9.7，则该射手五次射击的成果的75%分位数是(C)A．9.5 B．9.6C．9.7 D．9.8[解析]将12个数从小到大排列：9.0,9.1,9.4,9.4,9.4,9.6,9.6,9.6,9.7,9.7,9.8,9.9．因为12×75%＝9，所以这组数据的75%分位数为eq\f(x9＋x10,2)＝eq\f(9.7＋9.7,2)＝9.7．二、填空题6．一个样本数据按从小到大的依次排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为23，则x＝__23__．[解析]由题意知eq\f(x＋23,2)＝23，则x＝23．7．若k1，k2，…，k6的方差为3，则2(k1－3)，2(k2－3)，…，2(k6－3)的方差为__12__．[解析]设k1，k2，…，k6的平均数为eq\o(k,\s\up6(－))，则eq\f(1,6)[(k1－eq\o(k,\s\up6(－)))2＋(k2－eq\o(k,\s\up6(－)))2＋…＋(k6－eq\o(k,\s\up6(－)))2]＝3．而2(k1－3)，2(k2－3)，…，2(k6－3)的平均数为2(eq\o(k,\s\up6(－))－3)．则所求方差为eq\f(1,6)[4(k1－eq\o(k,\s\up6(－)))2＋4(k2－eq\o(k,\s\up6(－)))2＋…＋4(k6－eq\o(k,\s\up6(－)))2]＝4×3＝12．8．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4．则：(1)平均命中环数为__7__；(2)命中环数的标准差为__2__．[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7．(2)∵s2＝eq\f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2．三、解答题9．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的状况，有关数据如表：每户丢弃旧塑料袋个数2345户数6171512(1)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的平均数、中位数；(2)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75%分位数．[解析](1)平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,50)×(2×6＋3×17＋4×15＋5×12)＝eq\f(183,50)＝3.66.中位数是4．(2)因为50×75%＝37.5，所以这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75%分位数是x38＝4．10．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成果相同，从而确定依据平常在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成果数据如下：甲127138130137135131乙133129138134128136求两人竞赛成果的平均数以及方差，并且分析成果的稳定性，从中选出一位参与数学竞赛．[解析]设甲、乙两人成果的平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙，则eq\o(x,\s\up6(－))甲＝130＋eq\f(1,6)(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝130＋eq\f(1,6)(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝eq\f(47,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝eq\f(38,3)．因此，甲与乙的成果的平均数相同，由于乙的成果的方差较小，所以乙的成果比甲的成果稳定，应当选乙参与竞赛比较合适．B级素养提升一、选择题1．(多选题)下列说法正确的是(ABC)A．方差是标准差的平方B．标准差的大小不会超过极差C．若一组数据的值大小相等，没有波动改变，则标准差为0D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数四周越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数四周越分散[解析]标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数四周越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数四周越分散．2．奥运会体操竞赛的计分规则为：当评委亮分后，其成果先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为(C)A．削减计算量 B．避开故障C．剔除异样值 D．活跃赛场气氛[解析]因为在体操竞赛的评分中运用的是平均分，记分过程中采纳“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公允．3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为(D)A．eq\r(\f(6,5)) B．eq\f(6,5)C．eq\r(2) D．2[解析]∵样本的平均数为1，∴eq\f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1，∴样本方差s2＝eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2．4．已知某7个数的平均数为3，方差为s2，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为eq\f(7,2)，则(B)A．eq\o(x,\s\up6(－))＝3，s2＝2 B．eq\o(x,\s\up6(－))＝3，s2＝4C．eq\o(x,\s\up6(－))＝3，s2＝28 D．eq\o(x,\s\up6(－))＝3，s2＝eq\f(7,2)[解析]由题意知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(7×3＋3,8)＝3，由方差公式得eq\f(7,2)＝eq\f(1,8)[7s2＋(3－3)2]，所以s2＝eq\f(7,2)×8×eq\f(1,7)＝4．二、填空题5．某学习小组10名同学在一次数学测试中的得分分别为85,78,66,91,67,78,67,87,96,88，则这10名同学成果的60%分位数为__86__．[解析]这组数据依据从小到大排列后为66,67,67,78,78,85,87,88,91,96，10×60%＝6，所以这10名同学成果的60%分位数为eq\f(x6＋x7,2)＝eq\f(85＋87,2)＝86．6．某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表.甲811141522乙67102324用seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，则seq\o\al(2,1)＝__22__，seq\o\al(2,2)＝__62__，并由此可推断成果更稳定的班级是__甲__班．[解析]依据表中数据，计算甲班的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,5)×(8＋11＋14＋15＋22)＝14，乙班的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(6＋7＋10＋23＋24)＝14；甲班的方差为seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,5)×[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，乙班的方差为seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,5)×[(6－14)2＋(7－14)2＋(10－14)2＋(23－14)2＋(24－14)2]＝62，所以seq\o\al(2,1)＜seq\o\al(2,2)，由此可推断成果更稳定的班级是甲班．三、解答题7．一箱便利面共有50袋，用随机抽样方法从中抽取了10袋，并称其质量(单位：g)结果为：60.5,61,60,60,61.5,59.5,59.5,58,60,60．(1)指出总体、个体、样本、样本容量；(2)指出样本数据的众数、中位数、平均数；(3)求样本数据的方差．[解析](1)总体是这50袋便利面的质量，个体是这一箱便利面中每一袋便利面的质量，样本是抽取的10袋便利面的质量，样本容量为10．(2)这组样本数据的众数是60，中位数为60，平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)×(60.5＋61＋60＋60＋61.5＋59.5＋59.5＋58＋60＋60)＝60．(3)样本数据的方差为s2＝eq\f(1,10)[(60.5－60)2＋(61－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(61.5－60)2＋(59.5－60)2＋(59.5－60)2＋(58－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2]＝0.88．甲，乙两名射击运动员在相同条件下进行水平测试，各射击10次，命中的环数如下：甲86786591047乙6778678795(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)现要从甲、乙两人中选拔一人去参与竞赛，依据上面的测试成果，你认为应当派谁去合适？并且说明理由．[解析](1)甲的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，乙的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7，甲的方差为seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(4－7)2＋(7－7)2]＝eq\f(1,10)×(1＋1＋1＋1＋4＋4＋9＋9)＝eq\