2024-2025学年新教材高中数学单元素养评价第三章圆锥曲线的方程含解析新人教A版选择性必修第一册

PAGE第三章圆锥曲线的方程(第三章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知抛物线的方程为y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.(1,0) D.(0,1)【解析】选A.因为抛物线过点(1,4),所以4=2a,所以a=2,所以抛物线方程为x2=QUOTEy,焦点坐标为QUOTE.2.(2024·浙江高考)椭圆QUOTE+QUOTE=1的离心率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为椭圆方程为QUOTE+QUOTE=1,所以a=3,c=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以e=QUOTE=QUOTE.3.已知F是抛物线y=QUOTEx2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是 ()A.x2=2y-1 B.x2=2y-QUOTEC.x2=y-QUOTE D.x2=2y-2【解析】选A.设P(x0,y0),PF的中点为(x,y),则y0=QUOTE,又F(0,1),所以QUOTE所以QUOTE代入y0=QUOTE得2y-1=QUOTE(2x)2,化简得x2=2y-1.4.已知双曲线x2-QUOTE=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为 ()A.1 B.0 C.-2 D.-QUOTE【解析】选C.设点P(x0,y0),则QUOTE-QUOTE=1,由题意得A1(-1,0),F2(2,0),则·=(-1-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=QUOTE-x0-2+QUOTE,由双曲线方程得QUOTE=3(QUOTE-1),故·=4QUOTE-x0-5(x0≥1),可得当x0=1时,·有最小值-2.5.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-QUOTE=1的渐近线的距离是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选B.由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为QUOTEx-y=0或QUOTEx+y=0,则焦点到渐近线的距离d1=QUOTE=QUOTE或d2=QUOTE=QUOTE.6.若双曲线C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+QUOTE相切,则C的离心率为()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】选A.由题意得,联立直线与抛物线QUOTE得x2-kx+QUOTE=0,由Δ=0得k=±QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以e=QUOTE=QUOTE.7.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且=2,则椭圆C的离心率为 ().A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.3【解析】选A.如图,设椭圆方程为QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,设D(x,y),由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),即QUOTE解得QUOTE所以DQUOTE.因为点D在椭圆上,所以QUOTE+QUOTE=1,解得a2=3c2,即e2=QUOTE,所以e=QUOTE.8.已知点E是抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线的交点,点F为抛物线C的焦点,点P在抛物线C上,在△EFP中,若sin∠EFP=μ·sin∠FEP,则μ的最大值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.过P(x轴上方)作准线的垂线,垂足为H,则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|,由sin∠EFP=μ·sin∠FEP,则在△PFE中由正弦定理可知:|PE|=μ|PF|,所以|PE|=μ|PH|,设PE的倾斜角为α,则cosα=QUOTE=QUOTE,当μ取得最大值时,cosα最小,此时直线PE与抛物线相切,设直线PE的方程为x=ty-QUOTE,则联立直线与抛物线QUOTE即y2-2pty+p2=0,所以Δ=4p2t2-4p2=0,所以t=1,即tanα=1,则cosα=QUOTE,则μ的最大值为QUOTE.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程可以为 ()A.QUOTE+QUOTE=1 B.QUOTE+QUOTE=1C.QUOTE+QUOTE=1 D.QUOTE+QUOTE=1【解析】选BD.2c=6,所以c=3,2a+2b=18,a2=b2+c2,所以QUOTE所以椭圆方程为QUOTE+QUOTE=1或QUOTE+QUOTE=1.10.设双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2QUOTE,则双曲线的渐近线方程可以为 ()A.y=QUOTEx B.y=-QUOTExC.y=QUOTEx D.y=-QUOTEx【解析】选CD.因为2b=2,2c=2QUOTE,所以b=1,c=QUOTE,所以a2=c2-b2=3-1=2,所以a=QUOTE,故渐近线方程为y=±QUOTEx.11.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2.若曲线Γ上存在点P满意|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】选AC.设圆锥曲线的离心率为e,由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,知①若圆锥曲线为椭圆,由椭圆的定义,则有e=QUOTE=QUOTE=QUOTE;②若圆锥曲线为双曲线,由双曲线的定义,则有e=QUOTE=QUOTE=QUOTE.综上,所求的离心率为QUOTE或QUOTE.12.已知双曲线C:QUOTE-QUOTE=1,给出以下4个命题,真命题的是 ()A.直线y=QUOTEx+1与双曲线有两个交点B.双曲线C与QUOTE-QUOTE=1有相同的渐近线C.双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3D.双曲线的焦点坐标为(-13,0),(13,0)【解析】选BC.A错误,因为直线y=QUOTEx+1与渐近线y=QUOTEx平行,与双曲线只有一个交点;B正确,两曲线渐近线方程均为y=±QUOTEx;C正确,右焦点为(QUOTE,0)到渐近线y=QUOTEx的距离为3.D错,因c2=a2+b2=13,所以双曲线焦点坐标为(QUOTE,0)和(-QUOTE,0).三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且满意|PF2|=|F1F2|,则|PF1|=,△PF1F2的面积等于.

【解析】由QUOTE+QUOTE=1知,a=5,b=4,所以c=3,即F1(-3,0),F2(3,0),所以|PF2|=|F1F2又由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=10,所以|PF1|=10-6=4,于是QUOTE=QUOTE·|PF1|·h=QUOTE×4×QUOTE=8QUOTE.答案:48QUOTE14.已知P为抛物线y2=4x上的随意一点,记点P到y轴的距离为d,对于定点A(4,5),|PA|+d的最小值为.

【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.由题意得d=|PF|-1,所以|PA|+d≥|AF|-1=QUOTE-1=QUOTE-1,当且仅当A,P,F三点共线时,|PA|+d取得最小值QUOTE-1.答案:QUOTE-115.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为.

【解析】设椭圆的方程为QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),F2的坐标为(c,0),P点坐标为QUOTE(不妨取第一象限内点P),由题意知|PF2|=|F1F2|,所以QUOTE=2c,a2-c2=2ac,QUOTE+2QUOTE-1=0,解得QUOTE=±QUOTE-1,负值舍去,所以e=QUOTE=QUOTE-1.答案:QUOTE-116.设双曲线QUOTE-QUOTE=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为.

【解析】依据题意,得a2=9,b2=16,所以c=QUOTE=5,且A(3,0),F(5,0).因为双曲线QUOTE-QUOTE=1的渐近线方程为y=±QUOTEx.所以直线BF的方程为y=±QUOTE(x-5).①若直线BF的方程为y=QUOTE(x-5),与渐近线y=-QUOTEx交于点BQUOTE,此时S△AFB=QUOTE|AF|·|yB|=QUOTE×2×QUOTE=QUOTE;②若直线BF的方程为y=-QUOTE(x-5),与渐近线y=QUOTEx交于点BQUOTE.此时S△AFB=QUOTE|AF|·|yB|=QUOTE×2×QUOTE=QUOTE.因此,△AFB的面积为QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)给定抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点.若|FA|=2|BF|,求直线l的方程.【解析】明显直线l的斜率存在,故可设直线l:y=k(x-1),联立QUOTE消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,故x1=QUOTE,①又|FA|=2|BF|,所以=2,则x1-1=2(1-x2)②由①②得x2=QUOTE(x2=1舍去),所以BQUOTE,得直线l的斜率为k=kBF=±2QUOTE,所以直线l的方程为y=±2QUOTE(x-1).18.(12分)(2024·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率.(2)假如存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.【解析】(1)连接PF1,由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=QUOTEc,于是2a=|PF1|+|PF2|=QUOTEc,故C的离心率e=QUOTE=QUOTE-1.(2)由题意可知,满意条件的点P(x,y)存在,QUOTE|y|·2c=16,QUOTE·QUOTE=-1,即c|y|=16,①x2+y2=c2,②QUOTE+QUOTE=1,③由②③及a2=b2+c2得y2=QUOTE,又由①知y2=QUOTE,故b=4.由②③得x2=QUOTE(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4QUOTE.当b=4,a≥4QUOTE时,存在满意条件的点P.所以b=4,a的取值范围为[4QUOTE,+∞).19.(12分)椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为2QUOTE.一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3,求椭圆和双曲线的方程.【解析】①焦点在x轴上,设椭圆方程为QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),且c=QUOTE.设双曲线为QUOTE-QUOTE=1(m>0,n>0),m=a-4.因为QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得a=7,m=3.因为椭圆和双曲线的半焦距为QUOTE,所以b2=36,n2=4.所以椭圆方程为QUOTE+QUOTE=1,双曲线方程为QUOTE-QUOTE=1.②焦点在y轴上,椭圆方程为QUOTE+QUOTE=1,双曲线方程为QUOTE-QUOTE=1.20.(12分)已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,又知此抛物线上一点P(4,m)到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程.(2)若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,求k的值.【解析】(1)由题意设抛物线方程为y2=2px,p>0,其准线方程为x=-QUOTE,因为P(4,m)到焦点的距离等于P到其准线的距离,所以4+QUOTE=6,所以p=4,所以此抛物线的方程为y2=8x.(2)由QUOTE消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0,设直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),则有QUOTE解得k>-1且k≠0,且x1+x2=QUOTE=4,解得k=2或k=-1(舍去),所以所求k的值为2.21.(12分)设有三点A,B,P,其中点A,P在椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)上,A(0,2),B(2,0),且+=QUOTE.(1)求椭圆C的方程.(2)若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45°,直线l与椭圆C相交于E,F,求三角形OEF的面积.【解析】(1)由题意知,b=2,设P(x,y),A(0,2),B(2,0),由+=QUOTE,得(2,2)=QUOTE(x,y),则QUOTE椭圆方程为QUOTE+QUOTE=1,可得QUOTE+QUOTE=1,即a2=8.所以椭圆方程为QUOTE+QUOTE=1.(2)c