2025版高中数学课时作业10直线与平面平行的判定新人教A版必修2

PAGEPAGE1课时作业10直线与平面平行的判定基础巩固1．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB＝AE︰EC，如图1，则BC与α的位置关系是()图1A.平行 B.相交C.平行或相交 D.异面解析：因为AD︰DB＝AE︰EC，所以DE∥BC，又DE⊂α，BC⊄α，所以BC∥α.答案：A2．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1 C.2D.3解析：如图2，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，CD∥AB，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；由A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；由AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；由A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．图2答案：A图33．如图3所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：∵A1B1∥AB，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.又A1B1⊂平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1，∴DE∥AB.答案：B4．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A．3 B．2 C．1 D．0解析：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m，故①错误；②中l与m也可能异面，故②错误；③中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(l∥γ,l⊂β,β∩γ＝m))⇒l∥m，同理l∥n，则m∥n，故③正确．答案：C5．如图4，在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD和△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．图4解析：由重心可知MN∥AB.答案：面ABC、面ABD实力提升1．如图5，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O为AC与BD的交点，下面说法错误的是()图5A．OQ∥平面PCD B．PC∥平面BDQC．AQ∥平面PCD D．CD∥平面PAB解析：因为O为▱ABCD对角线的交点，所以AO＝OC，又Q为PA的中点，所以QO∥PC.由线面平行的判定定理，可知A、B正确，又ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，故CD∥平面PAB，故D正确．答案：C图62．如图6，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：A：∵AC∥MN，BD∥QM，MN⊥QM，∴AC⊥BD；B：∵AC∥MN，MN⊂平面PQMN，AC⊄平面PQMN，∴AC∥平面PQMN；C：∵eq\f(|PN|,|BD|)＝eq\f(|AN|,|AD|)，eq\f(|NM|,|AC|)＝eq\f(|ND|,|AD|)，|PN|＝|NM|∴要使得AC＝BD，即|AN|＝|ND|，∴当N为AD中点时，AC＝BD，否则不成立；D：∵BD∥MQ，MQ与PM成45°角，∴BD与PM也成45°角．答案：C3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图7，M，N分别为A1B，B1C1的中点．图7下列结论中正确的个数有()①直线MN与A1C相交．②MN⊥BC.③MN∥平面ACC1A1.④三棱锥N－A1BC的体积为VN－A1BC＝eq\f(1,6)a3.A.4个 B.3个 C.2个 D.1个解析：取A1B1的中点D，连结DM、DN.由于M、N分别是所在棱的中点，所以可得DN∥A1C1，DN⊄平面A1ACC1，A1C1⊂平面A1ACC1，所以DN∥平面A1ACC1.同理可证DM∥平面A1ACC1.又∵DM∩DN＝D，所以平面DMN∥平面A1ACC1，所以直线MN与A1C相交不成立，①错误；由三视图可得A1C1⊥平面BCC1B1.所以DN⊥平面BCC1B1，所以DN⊥BC，又易知DM⊥BC，所以BC⊥平面DMN，所以BC⊥MN，②正确；由①中，平面DMN∥平面A1ACC1，可得：MN∥平面ACC1A1，③正确；因为VN－A1BC＝VA1－NBC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a×a×a，所以④正确．综上，②③④正确．故选B.答案：B4．如图8所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是________．(填序号)图8解析：由题意得，①中连接点A与点B上面的顶点，记为C，则易证平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP；④中AB∥NP，依据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP；②③中，AB均与平面MNP相交，故选①④.答案：①④5．如图9，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，则下列命题：①E，C，D1，F四点共面；图9②CE，D1F，DA三线共点；③EF和BD1所成的角为90°；④A1B∥平面CD1E.其中正确的是________(填序号)．解析：由题意EF∥CD1，故E，C，D1，F四点共面；由EF綊eq\f(1,2)CD1，故D1F与CE相交，记交点为P，则P∈平面ADD1A1，P∈平面ABCD，所以点P在平面ADD1A1与平面ABCD的交线AD上，故CE，D1F，DA三线共点；∠A1BD1即为EF与BD1所成角，明显∠A1BD1≠90°；因为A1B∥EF，EF⊂平面CD1E，A1B⊄平面CD1E，所以A1B∥平面CD1E.答案：①②④6．如图10，已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.图10求证：PQ∥平面CBE.证明：作PM∥AB，交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，则PM∥QN.图11由eq\f(PM,AB)＝eq\f(EP,EA)，eq\f(QN,CD)＝eq\f(BQ,BD)，又AP＝DQ，∴EP＝BQ.又∵AB＝CD，EA＝BD，∴PM綊QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.7．如图12，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，设F是棱AB的中点．图12证明：直线EE1∥平面FCC1.证明：如图13，取A1B1的中点F1.连接FF1，C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1，图13所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连接A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊DC，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，得EE1∥F1C.又∵EE1⊄面FCC1，F1C⊂面FCC1∴EE1∥面FCC1.8．已知直三棱柱ABC­A1B1C1，点N在AC上且CN＝3AN，点M，P，Q分别是AA1，A1B1，BC的中点．图14求证：直线PQ∥平面BMN.证明：如图15，取AB中点G，连接PG，QG分别交BM，BN于点E，F，则E，F分别为BM，BN的中点．而GE∥eq\f(1,2)AM，GE＝eq\f(1,2)AM，GF∥eq\f(