2024-2025学年人教版九年级数学下册专项复习：解直角三角形的实际应用（30题）（解析版）

专题第01讲解直角三角形的实际应用

专题第01讲解直角三角形的实际应用

1.(2023•绍兴)图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面支架CO与交于点4

支架CGLC。交OA于点G,支架。£平行地面篮筐跖与支架。E在同一直线上，。4=2.5米，

4。=0.8米.NAGC=32°.

(1)求NGAC的度数；

(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能

挂上篮网吗？请通过计算说明理由.(参考数据：sin32°^0.53,cos32°弋0.85,tan32°^0.62)

图1图2

【分析】(1)根据垂直定义可得NACG=90°,然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解

答；

(2)延长。4,交于点根据垂直定义可得NAOB=90°,从而利用平行线的性质可得

ZAOB=90°,再根据对顶角相等可得NZMM=NG4C=58°,从而利用直角三角形的两个锐角互余可

得NAr>M=32°,然后在中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，从而利用线段的和差

关系求出MO的长，比较即可解答.

【解答】解：(1)VCGXCD,

AZACG=90°,

；NAGC=32°,

：.ZGAC=9Q°-ZAGC=9Q°-32°=58°,

.••/G4C的度数为58°；

(2)该运动员能挂上篮网，

理由如下：延长OA,EO交于点

〈OALOB,

，NAO"90°,

\'DE//OB,

：.ZDMA^ZAOB=90°,

,：ZGAC=58°,

：.ZDAM^ZGAC^58°,

：.ZADM=90°-ZDAM=32°,

在RtZkAOM中，AZ）=0.8米，

：.AM=AD-sin32°«0.8X0.53=0.42（米），

；.OM=OA+AM=2.5+0.424=2.924（米），

：2.924米＜3米，

•••该运动员能挂上篮网.

2.（2023•长沙）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，

成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站.如图，在发射的过程中，飞船从地面。

处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8初7,仰角为30°；10s后飞

船到达8处，此时测得仰角为45°.

（1）求点A离地面的高度A。；

（2）求飞船从A处到B处的平均速度.（结果精确到0.1h〃/s,参考数据：V3^1-73）

【分析】(1)根据直角三角形的性质即可得到结论;

(2)在Rtz^AOC中，根据直角三角形的性质得到0C=近AC=4j§(板)，在Rt^BOC中，根据等

2

腰直角三角形的性质得到0B=0C=4Mkm,于是得到结论.

【解答】解：(1)在RtZ\AOC中，VZAOC=90°,ZACO=30°,AC=8km,

.,.AO=—AC=—X2=4(km),

22

(2)在Rt/XAOC中，VZAOC=90°,ZACO=30°,AC=8km,

：.OC=®AC=AM(km),

2

在RtZ\30C中，VZBOC=90°,ZBCO=45°,

：.ZBCO=ZOBC=45°,

：.OB=OC=4北(km),

：.AB=OB-OA=(4百一4)km,

•••飞船从A处到B处的平均速度=生巨二1七0.3(km/s).

10

3.(2023•湘潭)问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启

在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图①).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一

个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒.

问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的。。.如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米.当

/=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时/4。/=30°,经过95秒后该盛水筒运动到点B处.

问题解决：

(1)求该盛水筒从4处逆时针旋转到8处时，的度数；

(2)求该盛水筒旋转至8处时，它到水面的距离.(结果精确到0.1米)(参考数据灰心1.414,V3^

1.732)

【分析】(1)求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可；

(2)根据直角三角形的边角关系分别求出。£＞、0C即可.

【解答】解：(1)由于筒车每旋转一周用时120秒.所以每秒转过3600+120=3°,

/.ZBOM=360°-3°X95-30°=45°；

（2）如图，过点8、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D,

在RtZ\AO£）中，ZAOD=30°,04=2米，

：.OD=^-OA=\13（米）.

2

在RtZkBOC中，ZBOC=45°,03=2米，

；.OC=^-OB=42（米），

：.CD=OD-OC=6-&-0.3（米），

即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米.

4.（2023•陕西）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与。的高度差.如图所示，她站在自家

阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼的顶端C看到楼A8的底端8,即点E,C,8在同一直

线上.此时，测得点2的俯角a=22°,点A的仰角0=16.7°,并测得所=48%，FD=50m.已知，

EFLFB,CD±FB,AB±FB,点、F,D,B在同一水平直线上.求楼A8与CO的高度差.（参考数据：

sinl6.7°^0.29,cosl6.7°心0.96,tanl6.7°^0.30,sin22°仁0.37,cos22°弋0.93,tan22°弋0.40）

【分析】过点C作CGLE尸于G,过点£作于"根据正切的定义分别求出EG、FB、AH,计

算即可.

【解答】解：如图，过点C作CGLEP于G,过点E作即，42于人

；EF_LFB,CDLFB,AB±FB,

二得矩形CDFG,矩形EFBH,

：.CG=FD=5Qm,HB=EF=485,

在Rt^CGE中，CG=50m,ZECG=a=22°,

则EG=CG-tanZECG^50X0.40=20.00(m),

:.CD=FG=EF-EG=48-20.0=28.00(m),

在Rtz\EB2中，EF=48m,ZEBF=a=22°,

则EF=FB・tan/EBF,

：.48^FBX0A0,

，F8=120.00(m),

在RtZXAHE中，EH=FB=l2Qm,ZAE/f=p=16.7°,

则AH=EH-tmZAEH^120X0.30=36.00(m),

.•.AB=AH+BH=AH+EF=36,00+48=84.00(w),

：.AB-C£>=84.00-28.00=56.00(m),

答：楼AB与CD的高度差约为56.00m.

5.(2023•衡阳)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆

圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24«米的C

处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°,CD长为49.6

米.已知目高CE为1.6米.

(1)求教学楼4B的高度.

(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4«米/秒的速度继续向前匀速飞行.求经过多少

秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB.

^飞行方向_

B

-

二

二

一

二

二

二

二

EI二

【分析】(1)过点8作于点M,则NDBM=NBDN=30°,在RtZiBDM中，通过解直角三角

形可得出的长度，再结合AB=CM=C。-OM,即可求出结论;

（2）延长EB交。N于点G,则/。GE=/MBE,在中，利用锐角三角函数的定义求出

=30°,从而可得/DEG=60°,然后在Rt△即G中，利用锐角三角函数的定义求出£>G的长，最后进

行计算即可解答.

【解答】解：（1）过点8作BM_LCD于点M,则/。8M=N8ON=30°,

在RtZ^BDW中，8M=AC=24我米，ZDBM=3O°,

DM^BM'tanZDBM^24A/3X=24（米），

.•.A2=CM=CD-£>M=49.6-24=25.6（米）.

答：教学楼AB的高度为25.6米；

（2）延长EB交DN于点G,则/DGE=ZMBE,

飞行方向G

在中，5M=AC=24如米，EM=CM-CE=24米,

tanZMB£=匝=-2%-=返，

BM24V33

：.ZMBE^3Q°=NDGE,

：NEDG=90°,

：.ZDEG=90°-30°=60°,

在RtAEDG中，ED=CD-CE=48米，

：.DG=ED-tan60°=4873（米），

二48«+4我=12（秒），

经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线.

6.（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶600机高的山峰，由山底A处

先步行300%到达2处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶。处.已知点A,B,D,E,尸在同一平面内，

山坡AB的坡角为30°,缆车行驶路线8。与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）.

（1）求登山缆车上升的高度。E；

（2）若步行速度为30加/加小登山缆车的速度为60m/加“求从山底A处到达山顶。处大约需要多少分

钟（结果精确到0.L"讥）.

（参考数据：sin53°~0.80,cos53°—0.60,tan53°=1.33）

【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出进而求出。E即可；

（2）利用直角三角形的边角关系，求出8。的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可.

【解答】解：（1）如图，过点B作尸于点M,由题意可知，NA=30°,NDBE=53°,。F=600%,

AB=300m,

在RtZXABM中，ZA=30°,AB=300m,

:.BM=—AB=150%=跖，

2

；.DE=DF-EF=600-150=450(m),

答：登山缆车上升的高度。E为450〃z；

(2)在Rt/XBDE中，NDBE=53°,DE=450m,

:.BD=DE

sinZDBE

〜450

0.80

=562.5(m),

，需要的时间步行+f缆车

_30Q,562.5

~3060-

p19.4（mm）,

答：从山底A处到达山顶。处大约需要19.4分钟.

7.（2023•苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题.如图是某篮球架的侧面示意图，

BE,CD,GF为长度固定的支架，支架在A,D,G处与立柱A8连接（A8垂直于MN,垂足为X）,在

B,C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN）,EP是可以调节长度的伸缩臂（旋转点尸处的螺栓改变

E尸的长度，使得支架8E绕点A旋转，从而改变四边形ABC。的形状，以此调节篮板的高度）.已知

=BC,DH=2O8cm,测得/G4E=60°时，点C离地面的高度为288cm.调节伸缩臂EF,将/GAE由

60。调节为54°,判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54。

乙0.8,cos54°乙0.6）

B

【分析】当NG4E=60°时，过点C作CKLH4,交H4的延长线于点K,根据已知易得BC〃A8,从

而可得四边形ABC。是平行四边形，进而可得AB〃CD,然后利用平行线的性质可得NADC=/GAE=

60°,再根据己知可得。K=80c〃z,最后在RtZXCDK中，利用锐角三角函数的定义求出C。的长；当/

GA£=54°,过点C作CQLH4,交HA的延长线于点Q,在RtZ\C。。中，利用锐角三角函数的定义求

出。。的长，然后进行计算，即可解答.

【解答】解：点C离地面的高度升高了，

理由：如图，当/G4E=60°时，过点C作CKLH4,交HA的延长线于点K,

J.BC//AH,

"：AD=BC,

...四边形ABCD是平行四边形，

J.AB//CD,

：.ZADC=ZGA£=60°,

,?点C离地面的高度为288cm,£>H=208cm,

，Z)K=288-208=80(cm),

在RtZkCDK中，CD=—0长。=^2=160(cm),

cos601

2

如图，当NGAE=54°,过点C作CQLHA,交曲的延长线于点。,

：.DQ=CD-cos54°^160X0.6=96(cm),

96-80=16(cm),

点C离地面的高度升高约16cv”.

8.(2023•河南)综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABC。为正方形，AB

=30cm,顶点A处挂了一个铅锤如图是测量树高的示意图，测高仪上的点。，A与树顶E在一条直

线上，铅垂线AM交8c于点H.经测量，点A距地面1.8%，到树EG的距离4尸=11m，BH=20cm.求

树EG的高度(结果精确到0.1/H).

【分析】由题意可知，ZBAE=ZMAF=ZBAD=W,FG=l.Sm,易知NE4尸=NBA〃，可得tan/EA/

=^=tanZBA//=-|,进而求得EF=^H，利用EG=EF+bG即可求解.

【解答】解：由题意可知，ZBAE=ZMAF=ZBAD=90°,FG=l.Sm,

贝（J/EAF+/BA歹=NBAF+/B4H=90°,

：.ZEAF=ZBAH,

AB=3Qcm,BH=20cm,

贝Utan/£AF=@l=2,

AB3

tanZ£AF=空=tanZBAH=2,

AF3

VAF=11m,

则里上，

113

：.EF=^-,

3

：.EG=EF+FG=—41.^9.Im.

3

答：树EG的高度为9.1%.

9.（2023•丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔8在它北偏东31°方向上，继续向东

航行10加位历到达C港，此时测得灯塔8在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔8的最短

距离.（结果精确到0.1丽诵）（参考数据：sin31°^0.52,cos31°-0.86,tan31°-0.60,sin61°-0.87,

cos61°仁0.48,tan61°-1.80）.

【分析】过B作8O_LAC于D,则乙4。。=乙4。8=90°,设8。=工〃加,加，解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：过8作8OLAC于。，

则/4OC=NAOB=90°,

VZABD=3l°,ZCBD=61°,

设BD=xnmile,

.\AZ)=BZ)*tan31o,CD=BDnm61°,

VAC=lOnmile,

.*.x*tan31°+x*tan61°=x(0.60+1.80)=10,

.\x=BD^4.2nmilef

答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为4.2nmile.

10.（2020秋•苍梧县期末）如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC,在点A处用测角仪测得塔顶端点P

的仰角是45°,向前走9米到达2点，用测角仪测得塔顶端点尸和塔底端点C的仰角分别是60°和30°.

（1）求/BPC的度数；

（2）求该铁塔PC的高度.（结果精确到0.1米；参考数据：V3^1-73,72^1.41）

【分析】（1）延长PC交直线42于点R根据直角三角形两锐角互余求得即可;

（2）设PC=x米，根据构建方程求出x即可.

【解答】解：（1）延长尸C交直线于点P,则PPLAE

DE

依题意得：ZP4F=45°,NPBF=60°,/CBF=3G°,

：.ZBPC=90°-60°=30°；

(2)设尸C=尤米，贝iJCB=CP=x米，

在RtzXCBF中，BF=x«cos30°=近尤米，CF=lx米,

22

在中，FA=FP,

；.9+近x=L+x,

22

；.x=9+3V3>

，PC=9+3如-14.2（米），

即该铁塔PC的高度约为14.2米.

11.（2022秋•源汇区校级期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了

如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC=18cm,灯

臂C£>=31c»i,灯罩DEM24CMJ,BC±AB,CD、OE分别可以绕点C、。上下调节一定的角度.经使用

发现：当N£）CB=140°,且时，台灯光线最佳.求此时点。到桌面凡8的距离.（精确到O.ICTM,

参考数值：sin50°=0.77,cos50°奔0.64,tan50°坊1.19)

图1

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可得到。尸的长，再根据FG=C8,

即可求得OG的长，从而可以解答本题.

【解答】解：过点。作。G,A3,垂足为G,过点C作CTLOG,垂足为尸，如图所示,

VCB±AB,FGVAB,CFLFG,

：.ZB=ZBGF=ZGFC=90°,

四边形BC/G为矩形，

/.ZBCF=90°,FG=BC=18cm,

又；/DC"140°,

：.ZDCF=5Q°,

"：CD=31cm,NDFC=90°,

：.DF=CD-sin50°«31X0.77=23.87(cm),

•,.DG^23.87+18«41.9(cm),

答：点D到桌面AB的距离约为41.9cm.

图2

12.（2023春•巴南区期末）在海平面上有A,B,C三个标记点，其中A在C的北偏西54°方向上，与C

的距离是800海里，8在C的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里.

(1)求点A与点8之间的距离；

(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时

在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里.轮船在驶向A处的

过程中，最多能收到多少次信号？(信号传播的时间忽略不计).

【分析】(1)由题意易得/AC8是直角，由勾股定理即可求得点A与点8之间的距离；

(2)过C作COLA8于。，由面积关系可求得CD的长，判断出COV500,分别在和D4上找点E

和点E使CF=CE=500,分别求得。E、。产的长，可求得此时无人机飞过时的时间，从而可求得最

多能收到的信号次数.

【解答】解：(1)依题意有：AC=800,BC=600,ZNCA=54°,ZSCB=36°,

：.ZACB=180°-54°-36°=90°,

在Rt/XACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

AAB=V6002+8002(米)，

答：点4与点8之间的距离为1000米；

(2)过C作CDLABD,

'：S^ABC=—AC'BC=—AB-CD,

22

.•.C£>=&C"BC.=480（米），

AB

：480V500,

故分别在DB和DA上找点E和点/使CF=CE=50Q,

在RtZiCDE中，由勾股定理得：CD2+DE2=CE2,

50（）2-4802=140（米），

同理得：Z）F=140（米），

当无人机处在EF段时能收到信号，由无人机的速度为lOm/s,

则无人机飞过此段的时间为：140+140=14（小时），

20

无人机收到信号次数最多为卫+1=29（次）.

0.5

13.（2022秋•宁波期末）如图1是一个简易手机支架，由水平底板。E、侧支撑杆8。和手机托盘长AC组

亦侧面示意图如图2所示.已知手机托盘长AC=10cm,侧支撑杆8。=10刖，ZCBD=J5°,ZBDE

=60°,其中点A为手机托盘最高点，支撑点B是AC的中点，手机托盘AC可绕点B转动，侧支撑杆

BD可绕点D转动.

（1）如图2,求手机托盘最高点A离水平底板。E的高度/I（精确到0.1cm）.

（2）如图3,当手机托盘AC绕点B逆时针旋转15°后，再将BD绕点。顺时针旋转a,使点C落在水

平底板DE上，求a（精确到0.1°）.（参考数据：tan26.6°弋0.5,加仁1.41,代-1.73）

【分析】（D作BfUDE于点RBG//DE,AGL2G于点G,构造直角三角形，根据题中的已知条件,

可求出AG,8尸的长，可得答案.

（2）由题意可得NOBC=90°,在Rt/XOBC中，已知两直角边，可求得/B£）C的正切值，进而可求得

a的度数.

【解答】解：（1）如图2,作于点EBG//DE,AG_LBG于点G,

"：ZBDE=60°,

；./DBF=30°,

又；BD=10cm,

，BF=5百cir，

9：ZCBD=75°,

.\ZCBF=45°,

AZABG=45°,

VAC=10cm,8是AC的中点,

J.AB=5cm

.…5班

,，AG~，

h=AG+BF=-^y-+5V3=12.2cm；

(2)由条件，得：Z£)BC=90°,

又BD=10cm,BC=5cm,

BC

**,tanZBDC=77T=0.5，

DU

ZBDC^26.6°,

；.a=60°-26.6°=33.4°.

14.(2022秋•平昌县校级期末)如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测得岛C在

北偏东60°方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围9海里内

有暗礁.

参考数据：我七1.732,sin75°心0.966,cos75°"0.259.

(1)B处离岛C10海里.

(2)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由.

(3)如果渔船在8处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由.

【分析】(1)根据方向角的定义以及等腰三角形的判断可得BC=A8=10即可;

(2)在中，由锐角三角函数即可求出答案；

(3)构造直角三角形，由锐角三角函数可求出CD,比较得出结论.

【解答】解：(1)如图，过C作C0LA2于。，

由题意得，ZCAB=90°-60°=30°,ZCBO=90°-30°=60°,

ZACB=ZCAB=3O°,

•••BC=AB=30X含=1。（海里），

60

故答案为10；

（2）由（1）知，C。为渔船向东航行到C的最短距离，ZCBO=60°,

VCO1.AB,ZCBO=60°,BC=1O,

••.C0=5百=8.66<9,

，如果渔船继续向东航行，有触礁危险；

（3）过C作C£）_L3尸交2尸于。，交BO于E,

在RtZ\BCr）中，ZCBD=ZCBO+ZDBO^60°+15°=75°,BC=10,

.•.C£）=sin75°BC^9.66>9,

没有触礁的危险.

15.（2022秋•平城区校级期末）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度

。点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°,测得小区楼房8c顶端点C处的俯角为45°.已知操控

者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为（30+15如）米.（假定点A，B,C,。都在

同一平面内.参考数据：tan75°=2+V§，tanl5°=2-愿.计算结果保留根号）

（1）求此时小区楼房BC的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度继续向右匀速飞

行.问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？

口

口

口

AB

【分析】（1）过点。作。ELA8于点E,过点C作CPLOE于点尸，由题意得AB=45米，/DAE=75°,

/DCF=/FDC=45°,贝I]CF=Z）凡再由四边形8CFE是矩形，得出BE=CF=Z）R在算出NZME的

正弦值用含BE的式子表示，求出BE,则。BE即为所求；

（2）求得AH,即可求得。G=E",进而即可求得无人机刚好离开操控者的视线所用的时间.

【解答】解：（1）过点D作DELA2于点£,过点C作CfUDE于点尸，如图所示：

则四边形BCFE是矩形,

由题意得：AB=45米，NDAE=15°,NDCF=/FDC=45°,

'：ZDCF=ZFDC=45°,

：.CF=DF,

•..四边形BCEE是矩形，

：.BE=CF=DF,

在RtZ\AQE中，ZA£D=90°,

=2+«,

：.BE=30,

经检验，BE=30是原方程的解，

.•衣=£)8-。/=30+15«-30=15«(米)，

答：此时小区楼房BC的高度为15百米.

(2)VDE=15(2+73)米，

.,.AE=—D/=15)=15(米)，

2W32W3

过D点作DG〃AB,交AC的延长线于G,作GH1.AB于H,

在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=45米，8c=15百米，

：.tanZBAC=—=比巨=近，

AB453

在Rt/XAGH中，GH=DE=15(2+73)米，

AH=——孥——=,15(2+/3)(30我+45)米，

tanZGAHV3

~3~

；.DG=EH=AH-AE=(30a+45)-15=(3073+30)米,

(30A/3+30)4-5=(6如+6)(秒)，

答：经过(673+6)秒时，无人机刚好离开了操控者的视线.

16.（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在一笔直的海岸线/上有A,8两个观测站，A在8的正东方向.有

一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从3处测得渔船在其东北方向，且测得8,

产两点之间的距离为20海里.

（1）求观测站A,8之间的距离（结果保留根号）；

（2）渔船从点尸处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从2测得渔船在北偏

西15°的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处,

请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：A/3^1.73）

【分析】（1）过点P作尸。_LAB于Z）点，可得,然后在中，利用锐角

三角函数的定义求出3。，。尸的长，再在RtAR4。中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计

算即可解答；

（2）过点2作BF_LAC,垂足为R根据题意得：ZABC=105°,NB4Z）=30°,从而求出/C=45°,

然后在Rt/XABB中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再在RtZXBCT中，利用锐角三角函数的定

义求出8C的长，进行计算即可解答.

【解答】解：（1）过点于。点，

：.ZBDP^ZADP^90°,

在Rt/XPBO中，/PBD=90°-45°=45°,8P=20海里,

：.DP=BP-sin45°=20X亚=10&（海里），

2

BD-BP-cos45°-20X近-1072（海里），

2

在Rt△以。中，ZPAD=90°-60°=30°,

：.AD=—DP_=J^2.=IOA/6（海里），

tan30V3

~3~

：.AB=BD+AD=（10V2+10V6）海里，

观测站A,2之间的距离为（10&+10a）海里;

(2)补给船能在83分钟之内到达C处,

理由：过点8作2尸，AC,垂足为R

/AFB=NCFB=9Q°

由题意得：ZABC=90°+15°=105°,ZB4D=90°-60°=30°,

AZC=180°-ZABC-ZPAD=45°,

在RtZXAB/中，ZBAF=30°,

：.BF=^AB=(5V2+5V6)海里，

2

在RtZ\BCF中，ZC=45",

：.BC^—理寸=反与图反=(10+10V3)海里，

sin45y/2_

~2~

补给船从8到C处的航行时间=此旦史巨X60=30+30向心81.9(分钟)<83分钟，

20

；・补给船能在83分钟之内到达C处.

17.(2022秋•阳泉期末)“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶.她看到汽车尾部自动升起

的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图.图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形ABC。

表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A顺时针方向旋转，当旋转角为

60°时，箱盖AOE落在ADE的位置的示意图.王红测得&。=90厘米，£>E=30厘米，EC=40厘米.根

据王红提供的信息解答下列问题：

(1)求点到BC的距离；

(2)求点E运动的距离.

D

E'

【分析】（1）通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及旋转的性质求出。'X即可;

（2）根据勾股定理求出AE的长，再根据弧长的计算方法求出弧EE'的长即可.

【解答】解：（1）如图2,过点。'作O'于"，连接AE,AE',由题意可知，D'E'=DE=

30cm,AD'^AD=90cm,/DAD'=ZEAE'=60°,

在RtZXAD'H中，AD'=90cm,/HAD'=60°,

：.D'H=®AD，=4573(cm),

2

...点O'到8C的距离为4//+DC=45V3+30+40=(70+4573)cm,

答：点。'到BC的距离为(70+45如)cm；

(2)在RtZ\ADE中，AD90cm,DE=30cm,

•••AE=VAD2+DE2=V8100+900=30^/10(cm),

；.弧团的长为叫浮=1°板…)，

18.（2022秋•郸州区期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地

面垂直，两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面12〃高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若

妈妈与爸爸到的水平距离瓦）、CE分别为1.8相和2.4〃z,ZB<9C=90°.

（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由.

（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？

（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是0.6m.

【分析】(1)由直角三角形的性质得出NCOE=/O8Z),根据A4s可证明△(%»£0△OBD；

(2)由全等三角形的性质得出CE=O£>,OE=BD,求出DE的长则可得出答案；

(3)因为。4=。8,由勾股定理求得。8,再根据AM=O£»+Z)M-OA便可求得结果.

【解答】解：(1)△08。与△COE全等.

理由如下：

由题意可知NCEO=N8OO=90°,OB=OC,

'：ZBOC=90°,

AZCOE+ZBOD=ZBOD+ZOBD=90°.

：.ZCOE=ZOBD,

在△(%>£和△03。中，

，ZC0E=Z0BD

•ZCEOZODB，

OC=OB

:.△COEmdOBD(AA5)；

(2);ACOE会AOBD,

:.CE=OD,OE=BD,

；BD、CE分别为1.8m和2.4m,

0D—2Am,0E—1.8m,

：.DE=OD-OE=CE-BD=2A-1.8=0.6(m),

:妈妈在距地面L2MJ高的B处，即DM=L2m,

:.EM=DM+DE=1.8(m),

答：爸爸是在距离地面L8〃?的地方接住小丽的;

⑶,：0A=OB=VOD2+BD2=72.42+l.82=3(根)，

：.AM^OD+DM-04=2.4+1.2-3=0.6(m).

，秋千的起始位置A处与距地面的高0.6m.

故答案为：0.6.

19.（2022秋•蒙城县期末）北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空,

为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅GF.如图，已知楼顶到地面的距离

GE为18.5米，当小亮站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°,然后向教

学楼方向前行15米到达点。处（楼底部点E与点3,。在一条直线上），在点。正上方点C处测得条幅

底端厂的仰角为42°,若AB,8均为1.7米（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算：

（1）当小亮站在B处时离教学楼的距离BE;

（2）求条幅GP的长度.

（结果精确到0」山，参考数据：sin37°=0.60,cos37°—0.80,tan37°—0.75,sin42°—0.67,cos42°

-0.74,tan42°心0.90）

【分析】（1）延长AC交EG于X,根据矩形的性质得到A2=Cr）=E8=L7米，AC^BD,AH=BE,根

据三角函数的定义即可得到结论；

（2）由（1）知CH=7,4米，解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：（1）延长AC交EG于

贝UAB=CD=EH=L7米，AC=BD,AH=BE,

VGE=18.5米，

：.HG=EG-HE=18.5-1.7=16.8（米），

在Rt/XAGH中，NGAH=31°,

；.tan37。=16-8^0.75,

AH15yH

：.CH=1A,

.,.BE-15+7.4=22.4（米），

答：小亮站在2处时离教学楼的距离BE为22.4米;

（2）由（1）知C8=7.4米，

在Rt△尸CW中，•:NFCH=42°,

谭五。。,

Atan42o.9

：.FH=6.66,

：.FG=GH-FH=16.S-6.66^10.1（米），

答：条幅GF的长度约为10.1米.

20.（2022秋•北倍区校级期末）如图，某工程队从A处沿正北方向铺设了184米轨道到达8处.某同学在

博物馆C测得A处在博物馆C的南偏东27°方向，B处在博物馆C的东南方向.（参考数据：sin270弋

0.45,cos27°心0.90,tan27°心0.50,遍心2.45.）

（1）请计算博物馆C到8处的距离；（结果保留根号）

（2）博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道.某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B处时，

只需沿北偏东15°的8E方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地.请计算博物馆C周围至少多少

米内不能铺设轨道.（结果精确到个位）

A

【分析】（1）过点C作CGLAB于点G,证ABCG是等腰直角三角形，得CG=BG,设CG=BG=尤米，

贝米，再由锐角三角函数定义得AG心2CG=2无米，贝|2天能184+x,解得尤七184,即可解决问

题；

（2）过点C作于点X,根据题意得NC2£=60°,在中，利用锐角三角函数的定义

求出CW的长即可.八D,„¥

【解答】解：（1）如图1,过点C作CGLAB于点G,„

在RtZ^BCG中，NCBG=45°,；/

...△BCG是等腰直角三角形，

：.CG=BG,\；

设CG=BG=x米，贝I]BC=&A:米，A

图1

在RtZXACG中，/CAG=27°,tanNCAG="=tan27°-0.50,

AG

...AG^2CG=2x米，

"：AG=AB+BG=（184+无）米，

:・2x=184+x,

解得：x-184,

；.8C=6XM84&（:米）,

答：博物馆C到B处的距离约为184弧米；

（2）如图2,过点C作CHLBE于点H,

由题意得：ZCBG=45°,ZDBE=\5°,

：.ZCBE=ZCBG+/DBE=600,

由（1）可知，8cpi84、历米，

在RtZkCBH中，C//=BC»sin60°^184&X返,=92右心225（米）,

A

2图2

答：博物馆C周围至少225米内不能铺设轨道.

21.（2022秋•辽宁期末）“愚公移山”是我国著名寓言故事，它告诉了我们坚持不懈的道理.某日，小张穿

越至愚公的年代，碰到了移山的众人.

（1）在运输山石等杂物时，有两条路可行，已知A,B间的直线距离为50里（如图1所示）.

线路1：折线ACDB,已知点C在点A东北方向，点8在