2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程课时作业112.2.1椭圆及其标准方程含解析新人教A版选修2-1

PAGEPAGE1课时作业11椭圆及其标准方程时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一点M到焦点F1的距离为2，则M到另一焦点F2的距离为(C)A．3 B．6C．8 D．以上都不对解析：由椭圆的定义知|MF1|＋|MF2|＝10，∴|MF2|＝10－2＝8.故选C．2．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2)＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(D)A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．x2＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1解析：由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2，∴a2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1，故选D．3．已知方程eq\f(x2,|m|－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(C)A．m<2 B．1<m<2C．m<－1或1<m<eq\f(3,2) D．m<－1或1<m<2解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|m|－1>0，,2－m>0，,|m|－1<2－m，))解得m<－1或1<m<eq\f(3,2).故选C．4．设椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为eq\r(3)，则|PF|等于(D)A．eq\f(1,2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(5,2) D．eq\f(7,2)解析：依题意得，椭圆的右焦点F2的横坐标是eq\r(3)，于是有|PF2|＝eq\f(1,2)，|PF|＝2×2－|PF2|＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)，选D．5．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满意条件|PF1|＋|PF2|＝a＋eq\f(9,a)(a>0)，则点P的轨迹是(D)A．椭圆 B．线段C．不存在 D．椭圆或线段解析：∵|PF1|＋|PF2|＝a＋eq\f(9,a)≥2eq\r(a·\f(9,a))＝6＝|F1F2|，当|PF1|＋|PF2|>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；当|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段F1F2.6．点P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一点，以点P以及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于4，则P点的坐标是(C)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±1，\f(10,3)\r(2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±1，±\f(10,3)\r(2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(10,3)\r(2)，±1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)\r(2)，1))解析：设P(x0，y0)，则S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y0|＝eq\f(1,2)×2c|y0|＝c|y0|.又∵c＝eq\r(a2－b2)＝4，∴4|y0|＝4，得y0＝±1.可得x0＝±eq\f(10,3)eq\r(2).故P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(10,3)\r(2)，±1)).7．若α∈(0，eq\f(π,2))，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是(A)A．(eq\f(π,4)，eq\f(π,2)) B．(0，eq\f(π,4)]C．(0，eq\f(π,4)) D．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))解析：易知sinα≠0，cosα≠0，方程x2sinα＋y2cosα＝1可化为eq\f(x2,\f(1,sinα))＋eq\f(y2,\f(1,cosα))＝1.因为椭圆的焦点在y轴上，所以eq\f(1,cosα)>eq\f(1,sinα)>0，即sinα>cosα>0.又α∈(0，eq\f(π,2))，所以eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2).8．若椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为(A)A．9 B．12C．15 D．18解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由∠F1PF2＝90°且|F1F2|＝8，知req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＝64.又r1＋r2＝10，可得r1r2＝18，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2＝9.二、填空题9．椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距是2，则m的值是3或5.解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1.∴m－4＝1，m＝5.当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.10．过点(－3,2)且与eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆方程是eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.解析：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的焦点坐标为(±eq\r(5)，0)，可设所求椭圆方程为eq\f(x2,b2＋5)＋eq\f(y2,b2)＝1，由eq\f(9,b2＋5)＋eq\f(4,b2)＝1，得b2＝10，b2＝－2(舍去)．故所求椭圆方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.11．已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝120°.解析：由题意，得a2＝9，∴a＝3，c2＝a2－b2＝9－2＝7，∴c＝eq\r(7)，∴|F1F2|＝2eq\r(7).∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2.∴cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2×|PF1||PF2|)＝eq\f(42＋22－2\r(7)2,2×4×2)＝－eq\f(1,2)，∴∠F1PF2＝120°.三、解答题12．已知一椭圆焦点坐标为(0，eq\r(3))和(0，－eq\r(3))，且经过点(2，－eq\r(3))，求此椭圆的标准方程．解：由条件得c＝eq\r(3)，且焦点坐标在y轴上．2a＝eq\r(22＋－\r(3)－\r(3)2)＋eq\r(22＋－\r(3)＋\r(3)2)＝6，所以a＝3.从而b2＝a2－c2＝6.故所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,6)＝1.13．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆M的半径为r，则|MA|＝r，|MB|＝8－r，∴|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6，∴动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8，∴a＝4，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M的轨迹方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1.——实力提升类——14．已知椭圆C上随意一点P(x，y)都满意关系式eq\r(x－12＋y2)＋eq\r(x＋12＋y2)＝4，则椭圆C的标准方程为(B)A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,4)＋y2＝1解析：由题设可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为(1,0)，(－1,0)，2a＝4，故a＝2，c＝1，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.15．设P(x，y)是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的点且P的纵坐标y≠0，点A(－5,0)、B(5,0)，试推断kPA·kPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解：∵点P在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，∴y2＝16×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,25)))＝16×eq\f(25－x2,25).①∵点