2024-2025学年人教版九年级数学上册同步练习：圆锥（解析版）

第08讲圆锥的认识与计算

学习目标

课程标准学习目标

①圆锥的认识1.认识圆锥以及相关概念。

②圆锥的侧面积2.掌握圆锥的侧面积计算公式并运用。

③圆锥的全面积3,掌握圆锥的全面积公式并应用。

思维导图

知识点01圆锥的认识

i.圆锥的认识：

如图，圆锥是由一个侧面和一个底面构成。顶点c到底面圆上任

意一点的连线是圆锥的母线，如的CA与CB。AB是圆锥底面直径，

顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的高。

2.圆锥的母线长、高与底面半径的关系：

圆锥的母线长与高与底面半径构成勾股定理。

即：如图：—CB?=C()2+OB2。

题型考点：①利用三者之间的关系计算。

【即学即练1】

1.一个圆锥的底面半径为IOCMI,母线长为20cM1,求圆锥的高是

【解答】解：（1）如图所示0,在RtZkSOA中,

SO=VSA2-0A2=7202-102=1。五

知识点02圆锥的侧面展开图与侧面积

1.圆锥的侧面展开图的认识：

圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆

锥的母线长。扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。

2.圆锥的侧面积计算：

方法1:若已知圆锥的母线长为4,底面圆的半径为厂，则圆锥的侧面展

开图的扇形的半径为。，弧长等于底面圆周长等于：=根据

已知弧长与半径可得扇形的面积为：S=Lla=aa。

~2-

方法2：圆锥的母线长为a,侧面展开图的圆心角为”。。则侧面展开图的扇形面积为:

nna

-360

题型考点：①圆锥侧面积的计算。②侧面积公式的应用。

【即学即练1】

2.圆锥的母线长为4,底面半径为3,圆锥的侧面积为（结果保留n）.

【解答】解：•••圆锥的母线长为4,底面半径为3,

该圆锥的侧面积为：irX3X4=12n.

故答案为：12TT.

【即学即练2】

3.已知圆锥的母线长为8cm,侧面展开图的圆心角为45°,则该圆锥的侧面积为cm1.

【解答】解：根据题意，该圆锥的侧面积=45X兀X82=8行（°冽2）.

故答案为8Tt.

【即学即练3】

4.如图，圆锥的底面半径08=6,高0C=8,则圆锥的侧面积等于

c

【解答】解：•.,它的底面半径。2=6,高0C=8.

22

•'•BC=<^g+g=10,

这个圆锥漏斗的侧面积是：-rtr/=nX6X10=60n.

故答案为：60n.

【即学即练4】

5.圆锥的侧面积为8m母线长为4,则它的底面半径为（）

A.2B.1C.3D.4

【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r,

根据题意得lx2TtrX4=8n,解得r=2.

2

故选：A.

【即学即练4】

6.若圆锥的侧面积是15m母线长是5,则该圆锥底面圆的半径是.

【解答】解：设该圆锥底面圆的半径是为r,

根据题意得lx2irXr><5=15n,解得r=3.

2

即该圆锥底面圆的半径是3.

故答案为3.

知识点03圆锥的全面积（表面积）计算

1.圆锥的表面积计算：

圆锥的侧面是一个扇形，底面是一个圆。所以：

圆锥的表面积=圆锥的侧面积+圆锥的底面积。

题型考点：①圆锥的表面积的计算。

【即学即练1】

7.已知圆锥的底面直径为20CTM,母线长为90CMJ,则圆锥的表面积是cm2.（结果保留it）

【解答】解：圆锥的表面积=107TX90+100iT=1000nc〃2

故答案为：1000TT.

【即学即练2】

2

8.扇形的圆心角为150°,半径为4CTM,用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为cm.

【解答】解：：扇形的圆心角为150°,半径为4cm,

/.扇形的弧长为15°>X4=也冗，

1803

圆锥的底面周长为」与区，

3

.,.圆锥的底面半径为也n+2ir=§c〃z,

33

.,.圆锥的表面积为TtX$X4+nX（5）2=^2Lcrrr.

339

故答案为&L.

9

【即学即练3】

9.已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm另一条直角边BC=5c〃z,则以AB为轴旋转一周，所得

到的圆锥的表面积是（）

A.90ncm2B.209TC（?m2C.155ircm2D.65ircm2

【解答】解：圆锥的表面积=』X10TrX13+TrX52=90m"2.

2

故选：A.

题型精讲

题型01圆周侧面积的计算

【典例1】

已知圆锥的底面半径是4,母线长是5,则圆锥的侧面积是（）

A.IOTTB.15nC.20TTD.25n

【解答】解：圆锥的侧面积=』X2TtX4X5=20n,

2

故选：C.

【典例2】

圆锥的高为蓊，母线长为3,沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是度，该圆

锥的侧面积是（结果用含TT的式子表示）.

【解答】解：•••圆锥的高为K历，母线长为3,

.,.圆锥底面圆的半径为：432-（）2=1，

...圆锥底面圆的周长为：2n.

设展开图(扇形)的圆心角是,

依题意得：2]』兀*&,

180

解得：»=120°,

圆锥的侧面积是：120兀X32

360

故答案为：120,3n.

【典例3】

已知圆锥的底面半径为5c〃z,高线长为12c〃z,则圆锥的侧面积为()cm2.

A.130TTB.120TTC.65TTD.60TT

【解答】解：•••圆锥的底面半径为5c7〃，高线长为12。小

••.圆锥的底面周长=2nX5=10TT(cm),母线长={52+]_22=」(cm),

.,.圆锥的侧面积=2XIOTCX13=65TC(cm2).

2

故选：c.

【典例4】

已知一个三角形的三边长分别为3、4、5,将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何体，

那么这个几何体的侧面积为()

A.12TtB.15TTC.20TTD.24it

【解答】解：：32+42=52,

这个三角形为直角三角形，两直角边为3,4,斜边为5,

以直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4,母线是5,

.­.Ax2irX4X5=20Tt.

2

故选：C.

题型02圆锥的表面积计算

【典例1】

已知圆锥的母线是3c/n,底面半径是1CM,则圆锥的表面积是cm2.

【解答】解：底面半径为1cm,则底面周长=2now,圆锥的侧面面积=」乂2兀乂3=3n(?〃?2,底面面积=

2

ncm2,

/.圆锥的表面积=3冗+冗=4伍;毋.

故答案为：4n.

【典例2】

如图，圆锥的底面直径A3=6cm,OC=4cm,则该圆锥的表面积是24ncm2(结果保留n).

.•・。4=鲤>=3(cm),

2

AC"VOA2OC2=VS2+42"5(cm)，

圆锥的表面积=S底+SwLTrJ+nrUgTr+lSTTuZM(cm2),

故答案为：247r.

【典例3】

如图，在△ABC中，AC=3,AB=4,BC边上的高A£>=2,将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的

几何体的表面积为14TT.

【解答】解：所得到的几何体的表面积为nX2X3+T[X2X4=14Tr.

故答案为：14TT.

【典例4】

如图所示，矩形纸片A8C。中，AD=6cm,把它分割成正方形纸片A8FE和矩形纸片EFC。后，分别裁出

扇形尸和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为()

2

C.6TIcmD.8ircm

【解答】解：设AB=xcm,则。E=（6-x）cm,

根据题意，得也工互=豆（6-x）,

180

解得x=4,

所以圆锥的表面积=S恻+S底=Lx4%+Tt=5TT（CTM2）.

4

故选：B.

题型03底面圆的半径计算

【典例1】

如果圆锥侧面展开图的面积是15m母线长是5,则这个圆锥的底面半径是（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：设底面半径为R,则底面周长=2皿?，圆锥的侧面展开图的面积=lx2nRX5=15m

2

:・R=3.

故选：A.

【典例2】

将半径为4,圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径是（）

A.1B.aC.2D.V2

2

【解答】解：设此圆锥底面圆的半径是r,

根据题意，可得2兀r=><2兀乂4,

3：6?0。

解得厂=1,

即此圆锥底面圆的半径是1.

故选：A.

【典例3】

如图，用圆心角为120。，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（）

A.4B.2C.4互D.2K

【解答】解：扇形的弧长=12°兀旭=4TT,

180

圆锥的底面半径为4n4-2n=2.

故选：B.

【典例4】

如图，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么

A.2LB.亚C亚

442

【解答】解：连接2C,AO,

由题意，得：ZCAB=90°,AC=BC,

VA,B,C在OO上，

为OO的直径，AO=BO=2,BCLAO,

在RtA4B。中，=VOB2-K)A2=2V2,

即扇形的半径为：R=25/2

扇形的弧长：厂/兀,2&用冗

180

设圆锥底面圆半径为r,

则有2兀r=&兀，

故选：c.

题型04圆锥的高线的计算

【典例1】

已知圆锥的母线长13CTM,侧面积65nc«i2,则这个圆锥的高是cm.

【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为皿"，

根据题意得工•2Tt・L13=65iT,

2

解得r=5,

所以圆锥的rWi=yj132-5=12(cm).

故答案为：12.

【典例2】

圆锥的侧面展开图是一个圆心角120°,半径6cm的扇形，则该圆锥的高是()

A.1cmB.2cmC.^~2cmD.2'V10cm

【解答】解：・.•一圆锥的侧面展开图是圆心角为120。、半径为6cm的扇形，

兀

；・扇形弧长=120X6=41T(cm),

180

2nr=4n,

r=2(cm),

・,•圆锥的高=462-22=4，^(cm),

故选：C,

【典例3】

如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65Tle机2,扇形的弧长为10n则圆锥的高是()

【解答】解：设母线长为R,由题意得：65Tt=2X10irXR,解得R=13CTM.

2

设圆锥的底面半径为r,则10n=2m

解得：­=5,

故圆锥的高为：=

故选：C.

题型05圆锥的母线长的计算

【典例1】

已知一个圆锥的底面半径是5c〃z,侧面积是8511（:/,则圆锥的母线长是（）

A.65cmB.13cmC.11cmD.26cm

【解答】解：设圆锥的母线长为Rem,

贝！J：85it=itX5XR,

解得R=17,

故选：C.

【典例2】

圆锥的底面圆半径是1,侧面展开图的圆心角是90。，那么圆锥的母线长是.

【解答】解：设圆锥的母线长为R,由题意得：90KXR=2HX1

180

解得：R=4,

故答案为：4.

【典例3】

如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，4B为半径作与正六边形A8CD跖重合的扇形部分恰好

是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面半径与母线长之比为（）

【解答】解：设正六边形ABCDE尸的边长为a,圆锥的底面半径为r,

六边形ABCDEF为正六边形，

4P=120°,

根据题意得2irr=120Xnxa,

180

所以工■=2，

a3

即该圆锥的底面半径与母线长之比为」.

3

故选：C.

强化训练

1.圆锥的底面半径为3,母线长为5.则这个圆锥的侧面积为（）

A.257rB.20TIC.15nD.12n

【解答】解：圆锥的侧面积=Tr〃=nX3X5=15ii,

故选：C.

2.已知圆锥的底面半径为5CM,高为12CM,则这个圆锥的侧面积为（）

A.60ncm2B.65ircm2C.120ncm2D.130ncm2

【解答】解：由圆锥底面半径〃=5CM,高/Z=12CM,

22=

根据勾股定理得到母线长/=Vr+h=7?+1213（cm）,

根据圆锥的侧面积公式：n〃=nX5X13=65n（cm2）,

故选：B.

3.某学校组织开展手工制作实践活动，一学生制作的圆锥母线长为30c",底面圆的半径为10cm,这个圆

锥的侧面展开图的圆心角度数是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

【解答】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是,

根据题意得，2兀X10=亚卫1，

180

解得“=120,

即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°,

故选：D.

4.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=lcm,扇形的圆

心角6=120。，则该圆锥的母线长/为（）

A.1cmB.12cmC.3cmD.6cm

【解答】解：圆锥的底面周长=2nXl=2it

设圆锥的母线长为Ron,贝IJ：12°兀=2m

180

解得R=3.

故选：C.

5.现有一张圆心角为90°,半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则

该圆锥底面圆的半径为（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r,

根据题意得2何=90'兀:8,

180

解得r=2,

即该圆锥底面圆的半径为2cm.

故选：B.

6.如图，Rt^ABC的斜边A8=13aw,一条直角边AC=50W,以8C边所在直线为轴将这个三角形旋转一

周，得到一个圆锥，则这个圆锥的全面积为（）

B

AC

nnn

A.65ncmB.9chic加C.156ncmD.300Tle徵2

【解答】解：圆锥的表面积=71X5X13+71X52=9071（cm2）

故选:B.

7.如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形,使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R,

圆的半径为r,则R与r满足的数量关系是（）

A.R=«rB.R=2rC.R：=3rD.R=4r

【解答】解：扇形的弧长是：迎里=理，

1802

圆的半径为r,则底面圆的周长是2nr,

圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到工K=2m,

2

即：R=4r,

R与r之间的关系是R=4厂.

故选：D.

8.如图，矩形纸片ABC。中，AD=12cm,把它分割成正方形纸片A3FE和矩形纸片EFCD后，分别裁出

扇形A2B和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm

【解答】解：设圆锥的底面的半径为rem,则£>E=2ro?t,AE=AB=（12-2r）cm,

根据题意得9°兀X（12-2r）=2.，

180

解得r=2,

所以A2=12-2r=12-2X2=8（cm）.

故选：C.

9.某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的母线AB=5米，半径。2=4米，则圆锥的侧面积

是平方米（结果保留TT）.

【解答】解：：。2=4米，42=5米，

.,.圆锥的底面周长=2XTTX4=8TT米，

扇形=1/r=lx8rtX5=20n米2.

22

故答案为：207t.

10.有一直径为2的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC,用此剪下的扇形铁皮围成

一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r=.

B

A

【解答】解：连接。4,作。于点D

则NZMO=2X60。=30°,。。=工，

22

则AD=MOD=^~,

2

:.AB=y[^.

则扇形的弧长是：60兀义炳=®n,

1803

根据题意得：2巾=返口，

3

解得：『近.

6

故答案为：近.

6

11.已知一个圆锥的侧面积与全面积的比为3：5,则其侧面展开图的圆心角为°.

【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，，母线长为/,侧面展开图的圆心角为〃。，

圆锥的侧面积=」X2nrX/=Tu7,

2

圆锥的全面积=冗”+71”，

,・,圆锥的侧面积与全面积的比为3：5,

:・Ttrl：(nr/+7iJ)=3：5,

•.•I,--3---T,

2

3

乂p•乂1nX兀X^r

...2/叱2I=_________

180180

解得“=240,

即圆锥侧面展开图的圆心角为240°.

故答案为：240.

12.如图，已知矩形纸片ABC。，AD=2,AB=J§,以A为圆心，长为半径画弧交BC于点E,将扇形

AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为

・・・NA4E=30°,

：.ZDAE=60°,

.•.圆锥的侧面展开图的弧长为：00＞泊2.=2n,

1803

圆锥的底面半径为2n+2n=工.

33

13.在半径为«的圆形纸片中，剪出一个圆心角为60。的扇形（图中的阴影部分）.

（1）求这个扇形的半径；

（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径.

【解答】解：（1）如图，连接BC,OB,