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文档简介

专题04圆

垂径定理

涉及・闽角定量的H明与“■»

»

EI・小•升

,

6$的*号慢届

货长与■形面用的计,

1.(2023秋•绥阳县期中)如图,。。的半径为10,弦AB=16,点M是弦AB上的动点且点M不与点A、

2重合,若OM的长为整数,则这样的点M有几个?()

B.5C.7D.9

【分析】过点O作OPLAB于点P,连接。4,根据垂径定理及勾股定理求出OP=6,根据两点间的距

离推出OM可取6,7,8,9,据此即可得解.

【解答】解:如图,过点。作。尸,A8于点P,连接OA,

;弦AB=16,

:.AP=1.AB=8,

2

VOA=10,

=22

;•0PVOA-AP=6,

:.OM的最短距离为OP,最长距离为OA,

:点M是弦AB上的动点且点M不与点A、8重合,

.•.6WOMC10,

:。河的长为整数,

可取6,7,8,9,

即这样的点M有7个,

故选:C.

2.(2023秋•黔南州期末)如图,AB是。。的直径,弦于点E.若48=10,C£>=8,则AE的长

为()

A.3B.6C.8D.9

【分析】连接OC,利用勾股定理求出。E,可得结论.

【解答】解:连接。C.

':AB±CD,

:.CE=ED=1CD=4,

2

22

•••°E=Voc2-CE2=VS-4=3'

AE=AO+OE—5+3=8,

故选:C.

3.(2023秋•凯里市校级月考)如图,CD是。。的直径,弦A8垂直C。于点E,连接AC,BC,AD,BD,

则下列结论不一定的是()

A.AE=BEB.CE=OEC.AC=BCD.AD=BD

【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可.

【解答】解:CD是。。的直径,弦AB垂直C。于点E,

:.AE=BE,弧4。=弧8(7,弧A£)=弧2£>,

:.AC=BC,AD=BD,

而CE=OE不一定成立,

故选:B.

4.(2023•遵义三模)在半径为r的圆中,弦8C垂直平分若2C=6,则r的值是()

A.V3B.3V3C.2V3D.^[1.

2

【分析】设OA交BC于点如图,根据线段垂直平分线的性质得到。。=工厂,根据垂径定理得到2。

2

=3,则利用勾股定理得到(工厂)2+32=r,然后解方程即可.

2

【解答】解:设OA交BC于点D如图,

垂直平分。4,

:.OD=l-r,BD=CD=LBC=3,

22

在RtZ^OB。中,(工厂)2+32=^,

2

解得厂1=2百,n=-2-73(舍去),

即r的值为2近.

故选:C.

5.(2023•仁怀市模拟)如图,点A、B、C三点在。0上,点。为弦A5的中点,AB=8cm,CD=6cm,则

0D=()

c

A.—cmB.—cmC.—cmD.-^-cm

3333

【分析】连接04设0A=r(cm),根据CO的长计算出的长,根据点。为弦的中点,。为圆

心得到OD_LAB,从而求出4D的长,在RtZXAOO中利用勾股定理求出r的值,即可求出。。的长.

【解答】解:连接

设OA=r(cm),

则OC=OA=r(cm),

:点D为弦AB的中点,。为圆心,

:.OD1AB,

\"AB=8(cm),

.".AD—BD—4(cm),

':CD=6(cm),

:.0D=CD-OC=(6-r)(cm),

在RtAAOD中,由勾股定理得O^^OCr+AD2,

:.r=(6-r)2+42,

解得r以③,

r3

0D《(cm),

故选:B.

C

[产型。2|圆周角定理

1.(2023秋•绥阳县期中)如图,△ABC是。。的内接三角形,ZBAC=35°,则N20C的度数为()

A.60°B.65°C.70°D.75°

【分析】根据圆周角定理计算即可.

【解答】解:・・,NA4c=35°,

AZBOC=2ZBAC=2X35°=70°.

故选:C.

2.(2023秋•盘州市期中)如图,在。。中,半径。4垂直弦5。于点D若NAC8=33°,则N03C的大

小为()

A.24°B.33°C.34°D.66°

【分析】根据圆周角定理得到NAO5=2NACB=66°,然后根据互余计算N05C的大小.

【解答】VOAXBC,

:.ZODB=90°,

VZACB=3V,

AZAOB=2ZACB=66°,

:.ZOBC=90°-ZAOB=24°.

故选:A.

3.(2023秋•红花岗区期中)如图,A3是。。的直径,NB=30°,AC=1,则A3的长为()

C.2V3D.3

【分析】由A8是。。的直径可得/C=90°,由/8=30°可得AB=2AC=2.

【解答】解:•・,A5是。。的直径,

:.ZC=90°,

VZB=30°,AC=lf

:.AB=2AC=2.

故选:B.

圆的内接四边形

1.(2023秋•盘州市期中)如图,四边形A8CD是圆内接四边形,石是延长线上一点,若NAW=105°,

则NDCE的大小是105°.

【分析】先根据圆内接四边形的性质求出NOC8的度数,再由两角互补的性质即可得出结论.

【解答】解:・・•四边形A5CO是圆内接四边形,

:.ZDAB+ZDCB=ISO°,

VZBAD=105°,

:.ZDCB=l80°-ZDAB=180°-105°=75°,

9:ZDCB+ZDCE=1SO°,

:.ZDCE=ZDAB=W5°.

故答案为:105。

2.(2023秋•关岭县期末)如图,四边形ABCD是。。的内接四边形,若NA=110°,则NBOQ的度数为

【分析】先根据圆内接四边形的性质求出NC的度数,再由圆周角定理即可得出结论.

【解答】解:・.•四边形ABC。是。。的内接四边形,ZA=110°,

.".ZC=180°-110°=70°,

:.ZBOD=2ZC=140°.

故选:D.

3.(2024•息烽县一模)如图,四边形A5CD是。。的内接四边形,延长3C到点E,则NA与NOCE的数

量关系一定成立的是()

C.NA+N0CE=9O°D.ZA>ZDCE

【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”及邻补角定义求解即可.

【解答】解:・・•四边形ABCZ)是。。的内接四边形,

ZA+ZZ)CB=180°,

VZDCB+ZDCE=180°,

・•・NA=NDCE,

故选:A.

4.(2024•金沙县一模)如图,NDCE是。0内接四边形ABCD的一个外角,若NQCE=80°,那么N50Z)

的度数为()

A

【分析】根据圆内接四边形的性质证得NDCE=NA,在根据圆周角定理求出N8OO即可.

【解答】解:•:ZDCE+ZBCD=180°,ZA+ZBCD=180°,

:.NA=NDCE,

VZZ)CE=80°,

・・・NA=80°,

:.ZBOD^160°.

故选:A.

A

[题型04]三角形的外接圆与外心

1.(2023秋•绥阳县期末)在△ABC中,NC=90°,AC=1,BC=2,M是A2的中点,以点C为圆心,1

为半径作(DC,则()

A.点M在OC外B.点M在OC上C.点M在OC内D.不能确定

【分析】根据题意画出图形,由勾股定理求出48的长,再由直角三角形的性质得出的长,再与OC

的半径相比较即可.

【解答】解:如图,

:在△ABC中,ZC=90°,AC=1,BC=2,

AB=VAC2+BC2=Vl2+22=遍•

是AB的中点,

.-.CM=AAB=^_>I,

22

...点M在OC外.

故选:A.

2.(2023秋•遵义期末)如图,OO是的外接圆,0ULA5,连接OB.若N5OC=50°,则NAP5

的度数是()

C

A.45°B.50°C.55°D.60°

【分析】连接。A,如图,先根据垂径定理得到会=前,则利用圆心角、弧、弦的关系得到NAOC=/

BOC,从而得到/AO3的度数,然后根据圆周角定理求解.

【解答】解:连接。4,如图,

OC±AB,

•*.AC=BC-

ZAOC=ZBOC,

:.ZAOB=2ZBOC=2X50°=100°,

AZAPB=AZAOB=50°.

2

故选:B.

P

3.(2024•遵义二模)如图,已知点。是△ABC的外心,连接。4,OB,OC,若Nl=40°,则N8AC的度

数为()

【分析】根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结果.

【解答】解:・.•点。为△A3。的外心,

JOB=OC,

AZOCB=Z1=40°,

:.ZBOC=1SO°-40°-40°=100°,

4c=/NBOC=50°,

故选:D.

4.(2023•钟山区一模)如图,△ABC和△BCD内接于OO,AC与相交于点£.若AB〃CD,NA=43

则乙BEC的度数为86°

【分析】根据圆周角定理和平行线的性质以及三角形的外角的性质即可得到结论.

【解答】解:•;NA=43°,

.*.Z£)=ZA=43O,

,JAB//CD,

:.AABD=ZD=^°,

AZBEC=ZA+ZABD^86°,

故答案为:86°.

5.(2023秋•黔东南州期末)如图,是△A3C的外接圆,A。是。。的直径,AOL2C于点E.

(1)求证:ZBAD=ZCAD;

(2)连接8。并延长,交O。于点G,连接GC,若OE=3,求GC的长.

【分析】(1)根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可;

(2)根据垂径定理得出点E为BC的中点,根据点。是BG的中点,得出0E,CG,即可求出结果•

【解答】(1)证明:是。。的直径,ADLBC,

•.BD=CD-

:.NBAD=NCAD;

(2)解:根据题意,如图所示:

B

0/

*

GC

是OO的直径,AD±BC,

.•.点E为8c的中点,

:点。是BG的中点,

.1

••OE-^-CG

:OE=3,

:.CG=6.

\题型05切线的性质

1

1.(2023秋•红花岗区期中)如图,A8是。。的直径,8C是。。的切线,连接AC交。。于点。,连接BD,

若/C2Z)=28°,则NA的度数为(

C.28°D.14°

【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论.

【解答】解:是。。的直径,BC是。。的切线,

ZABC=ZADB=90°,

VZCBD=28°,

480=90°-28°=62°,

ZA=90°-ZABD=90°-62°=28°,

故选:C.

2.(2023秋•关岭县期末)如图,将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内,使。、C、

B在一条直线上,且DC=2BC,过点A作量角器圆弧所在圆的切线,切点为E,则NEAC的度数是()

【分析】设半圆的圆心为。,连接。A,由题意易得AC是线段。3的垂直平分线,即可求得NAOC=N

ABC=60°,又由AE是切线,证明RtZkAOE也RtZXA。。,继而求得NAOE的度数,则可求得答案.

【解答】解:设半圆的圆心为O,连接。4,

:.OC=BC,

VZACB=90°,BPAC.LOB.

:.OA=BAf

ZAOC=ZABC9

VZBAC=30°,

ZAOC=ZABC=60°,

TAE是切线,

ZAEO=90°,

AZAEO=ZACO=90°,

在RtAAOE和RtAAOC中,

fOA=OA?

lOE=OC,

ARtAAOE^RtAAOC(HL),

:.ZAOE=ZAOC=60°,

:.ZCAE=360°-90°-90°-ZAOE-ZAOC=60°.

故选:A.

3.(2023秋•凯里市校级月考)如图,BC是。0的切线,点3是切点,连接。。交。。于点。,延长CO

交。。于点A,连接AB,若NC=30°,OD=2,则A3的长为()

372C.273D.373

【分析】连接。&DB,由A。是。。的直径,得NA8Z)=90°,AD=2OD=4,由切线的性质得NOBC

=90°,而NC=30°,则NBOC=60°,所以△20。是等边三角形,贝1|BD=OD=2,所以AB

VAD2-BD2=2V3.于是得到问题的答案.

【解答】解:连接。3、DB,则08=00=2,

是O。的直径,

AZABD=90°,AD=2OD=4,

与。。相切于点2,

:.BCLOB,

.../08C=90°,

VZC=30°,

:.ZBOC=60°,

...△80。是等边三角形,

:.BD=OD=2,

AB=22

-VAD-BD=>/42-22=2a,

故选:c.

4.(2023秋•黔南州期末)如图,PA,PB与O。分别相切于点A,B,E4=2,/尸=60°则A8=(

A.V3B.2C.2^3D.3

【分析】先判断出以=尸8,进而判断出是等边三角形,即可得出结论.

【解答】解::以,P8与。。分别相切于点A,B,

J.PA^PB,VZAPB=60°,

**•/\PAB是等边三角形,

:.AB=AP=2.

故选:B.

A

!题型06|正多边形与圆

1.(2024•黔南州一模)如图,正六边形A8COEE内接于OO,P为金上的一点(点P不与点A,8重合),

【分析】根据正六边形和圆的性质求出其中心角的度数,再根据圆周角定理进行计算即可.

【解答】解:如图,连接OE,OD,OC,

:正六边形ABCDE厂内接于O。,

AZCOD=ZDOE=^.—=60°,

6

:.ZCOE=6Q°X2=120°,

ZCPE=1ZCOE=60Q,

2

2.(2024•榕江县校级二模)如图,正五边形A8CDE内接于。。,连接AC,则NBAC的度数是()

A.45°B.38°C.36°D.30°

【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形,求出的度数即可解决问题.

【解答】解:在正五边形中,ZB=AX(5-2)X180=108°,AB=BC,

5

:.ZBAC=ZBCA=1.(180°-108°)=36°.

2

故选:C.

3.(2024•榕江县校级二模)如图,正六边形ABCDEE的边CD,与OO相切于点C,F,连接。凡CO,

则/C。尸的度数是()

A.120°B.144°C.150°D.160°

【分析】根据正六边形的性质可求出各个内角的度数,由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可

求出答案.

【解答】解:•.,正六边形ABC。跖的边CD,即与OO相切于点C,F,

:.ZOFE^9Q°=NOCD,

,:六边形ABCDEF是正六边形,

.,./£>=/£=(6-2)><[80。=120。,

6

在五边形OCDEF中,

NCOF=(5-2)X180°-90°X2-120°X2=120°,

故选:A.

4.(2024•仁怀市模拟)如图,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这

一圆环还需正五边形的个数为()

o.

A.10B.9C.8D.7

【分析】先根据多边形的内角和公式"-2)780。求出正五边形的每一个内角的度数,再延长五边形的

两边相交于一点,并根据四边形的内角和求出这个角的度数,然后根据周角等于3600求出完成这一圆

环需要的正五边形的个数,然后减去3即可得解.

【解答】解:;五边形的内角和为(5-2)-180°=540°,

正五边形的每一个内角为540°+5=108°,

如图,延长正五边形的两边相交于点。,

则Nl=360°-108°X3=360°-324°=36°,

360°+36°=10,

已经有3个五边形,

;.10-3=7,

即完成这一圆环还需7个五边形.

故选:D.

!产型07|弧长与扇形的面积计算

1.(2022•云岩区一模)制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算如图所示的管

道的展直长度,即意的长为()

A.300nmmB.60nmmC.40irmmD.20irmm

【分析】根据弧长公式进行计算即可.弧长公式:/=亚耳(弧长为/,圆心角度数为“,圆的半径为R).

180

【解答】解:篇的长为12°.冬Q.=20Tt(mm).

180

故选:D.

2.(2024•从江县校级二模)将一个半径为1的圆形纸片,按如图所示的方式连续对折三次之后,用剪刀沿

虚线①剪开,则虚线①所对的圆弧长为()

432

【分析】利用折叠的性质求出虚线①所对的圆弧对的圆心角的度数,然后根据弧长公式计算.

【解答】解:根据题意,虚线①所对的圆弧对的圆心角为360°xlxlxl=45°,

222

所以虚线①所对的圆弧长=454冗x1=2L.

1804

故选:A.

3.(2024•贵州)如图,在扇形纸扇中,若乙4。8=150°,。4=24,则窟的长为()

A.30-rtB.25nC.20nD.10TT

【分析】根据弧长的计算公式即可解决问题.

【解答】解:因为NAOB=150°,04=24,

所以窟的长为:150•兀・24

1804

故选:C.

4.(2023秋•红花岗区校级期中)若扇形的半径是12c机弧长是20何加,则扇形的面积为()

A.1207tan2B.240itcm2C.360TTC/M2D.60ircm2

【分析】根据扇形的面积公式S,lr,计算即可.

【解答】解:该扇形的面积为:s』x20兀X12=120兀

故选:A.

5.(2023秋•关岭县期末)中国美食讲究色香味美,优雅的摆盘也会让美食锦上添花,如图①中的摆盘,其

形状是扇形的一部分,图②是其几何示意图(阴影部分为摆盘),通过测量得到AC=3O=10c/n,OC=

OD=3cm,圆心角为60°,则图②中摆盘的面积是()

336

【分析】根据5阴=5扇形OAB-S扇形。CD,求解即可.

【解答】解:':AC=BD=10cm,OC=OD=3cm,

OA=OB=13cm,

S阴=S扇形OAB-S扇形ocz>=6°兀X13_6°兀X3=竺_(。加2),

3603603

故选:C.

6.(2023秋•七星关区期末)一个扇形的面积是3710n2,圆心角是120°,则此扇形的半径是3cm.

【分析】设此扇形的半径为rC%,利用扇形的面积公式得到12°X.X产=3m然后解关于厂的方程

360

即可.

【解答】解:设此扇形的半径为rem

根据题意得120X兀X/=3n,

360

解得r=3.

即此扇形的半径为3cm.

故答案为3.

7.(2023秋•毕节市校级期末)如图,以。为圆心的扇形AOB与扇形CO。的圆心角为30°,若AC=2,

OC=6,则阴影部分的面积为—卫L_.

【分析】由扇形面积公式求出扇形AOB与扇形C。。的面积,即可得到阴影的面积.

【解答】解::OA=OC+CA=6+2=8,ZO=30°,

扇形A08的面积=3。X.X讲=当匕,扇形的面积=叱E

CQD

3603360

阴影的面积=扇形A02的面积-扇形COD的面积=_1旺-3K=Z2L,

33

故答案为:Z2L.

3

优选提升题

垂径定理的应用

1.(2023秋•红花岗区期中)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋

在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问:径几何?”转化为现在的数学语言表达就是:

如图,CD为OO的直径,弦ABLCD,垂足为E,CE=1寸,AB=1O寸,则直径CD的长度为26寸.

寸,由垂径定理得到AE=LB=5寸,由勾股定理得到a=(r-

2

1)2+52,求出厂,即可得到圆的直径长.

【解答】解:连接

设O。的半径是r寸,

:直径CDLAB,

.\A£=AAB=AX1O=5寸,

22

,?CE=1寸,

;.OE=(r-1)寸,

VOA2=(?E2+AE2,

:.I2=(r-1)2+52,

,.r=13,

直径CD的长度为2r=26寸.

2.(2023•遵义模拟)为测量一铁球的直径,将该铁球放入工件槽内,测得有关数据如图所示(单位:cm),

则该铁球的直径为10。"

【分析】设圆心为。,连接A3,作于R连接。4,用勾股定理求出04的长,进而得出其直

径的长.

【解答】解:如图,连接AB,作。E_LAB于/,连接。4,贝U042=。尸2十人尸,

.*.OA2=(04-2)2+42,

解之得04=5,

直径=5X2=10(cm).

故答案为:10aw.

3.(2023秋•绥阳县期中)石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1),隋代建造的赵州桥距今约

有1400年历史,是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形,桥的主桥

拱是圆弧形,表示为窟.桥的跨度(弧所对的弦长)A2=24〃z,设窟所在圆的圆心为0,半径。CL48,

垂足为D拱高(弧的中点到弦的距离)C£)=5"z.连接求这座石拱桥主桥拱的半径.(精确到1加).

c

【分析】设主桥拱半径为凡在Rtz\02D中,根据勾股定理列出R的方程便可求得结果.

【解答】解:':OC±AB,

:.AD=BD,

设主桥拱半径为R,由题意可知AB=24,CD=5,

:.BD=^AB=12,

2

OD=OC-CD=R-5,

•:NODB=90°,

:.ON+BD2=OB2,

:.(R-5)2+122=7?2,

解得R=16.9-17,

答:这座石拱桥主桥拱的半径约为17m.

涉及圆周角定理的证明与计算

1.(2023秋•红花岗区期中)如图,在△ABC中,C8与。。相交于。,C4与。。相交于E.

(1)从下面①②③中选取两个作为已知条件,另一个作为结论,并证明;

①AB是直径;

®AC=AB;

®DC=DB.

(2)在(1)的条件下,若8c=6,AB=5,连接BE,求BE的长.

C

DB

【分析】(1)①②为条件,③为结论,连接AD,由AC=AB可得aABC是等腰三角形,由是直径可

得AOLBC,根据三线合一即可解答.

(2)先根据勾股定理求出AD再利用等面积即可求出BE.

【解答】解:(1)①②为条件,③为结论,连接AD,如图:

.「△ABC是等腰三角形,

VAB是直径,

J.ADLBC,

:.DC=BD;

(2)连接BE,

.*.80=3,

:.AD=4,

:.SMBC=~XBCXAD=^XACXBE,

22

即_1X6X4=」X5XBE,

22

解得

5

2.(2023秋•关岭县期末)如图,A3为。。的直径,点C,。为直径AB同侧圆上的点,且点。为血的中

点,过点。作DEJ_A8于点E,延长。E,交。。于点尸,AC与。产交于点G.

(I)如图①,若点C为笳的中点,求/AG尸的度数;

(II)如图②,若AC=12,AE=3,求O。的半径.

【分析】(/)根据A8为O。的直径,。为宝的中点,C为赢的中点,可得出/A4C=30°,再由。£

_L48可知NAEG=90°,进而可得出结论;

(〃)连接OR首先证明AC=。歹=12,设。4=OB=x,在Rt/XO所中,利用勾股定理构建方程即可

解决问题.

【解答】解:(/)为。。的直径,。为血的中点,C为笳的中点,

•*.AD=CD=BC«

:.ZBAC=30°,

•:DELAB,

.../A£G=90°,

:.ZAGF=90°-30°=60°;

:.DE=EF,AD=AF,

:点。是弧AC的中点,

•1-AD=CD-

AAC=DF)

:.AC=DF=n,

:.EF^^DF=6,设OA=OF=X,

2

在RtZXOEE中,则有/=62+(尤-3)2

解得x=7.5,

・・・OO的半径是7.5.

1.(2023秋•红花岗区期中)在矩形ABC。中,AB=2,BC=2愿,点、E,尸分别是边A。和8C上的动点,

且AE=CR连接ER过点2作8GL所,垂足为点G,连接CG,则CG的最小值为fj-1.

【分析】连接8。,取OC中点连接MC,MG,过点M作于X,则MC,MG为定长,利

用两点之间线段最短解决问题即可.

【解答】解:连接交EF于O,

"."AD//BC,AD=BC,

:.NED0=ZFBO,NDE0=ZBFO,

,JAE^CF,

:.ED=BF,

:ADEO出ABFO(ASA),

:.0D=0B,

;.。是矩形形的中心,

':AB=2,AZ)=BC=2V3>

,BD=VAB2+AD2=4,

:.OB=2,

取08中点M,连接MC,MG,过点M作MHLBC于H,则MH//CD,

;MB=LBD,

4

•1

,•而■%C=BD7

:.BH=^BC=^~,MH=^CD=1,

4242

:.CH=2M-近=3依,,

22

由勾股定理可得MC=+CH^~,

在Rt/XGOB中,M是08的中点,则MG=/OB=L

\UCG^CM-MG=yfl-1,

当C,M,G三点共线时,CG最小值为救-1,

故答案为:V7-1-

A----------Er--------------3D

BHFC

2.(2023秋•关岭县期末)如图,在RtZXABC中,ZC=90°,AC=20,BC=24,点O为线段8c上一动

点.以CO为OO直径,作A。交。。于点E,连BE,则BE的最小值为16.

A

0TD

【分析】连接CE,可得/CEO=/CEA=90°,从而知点E在以AC为直径的。。上,继而知点。、E、

8共线时BE最小,根据勾股定理求得的长,即可得答案.

【解答】解:如图,连接CE,

v\0/D

:.ZCED=ZCEA=90°,

...点E在以AC为直径的O。上,

:AC=20,

:.QC=QE=IO,

当点。、E、3共线时BE最小,

:8C=24,

QB=VBC2-H3C2=26,

:.BE=QB-QE=16,

...BE的最小值为16,

故答案为:16.

3.(2023秋•黔东南州期末)在矩形ABC。中,A2=3,BC=4,点M是平面内一动点,且满足BM=2,N

为的中点,点M运动过程中线段CN长度的取值范围是—狂CN<^_-

【分析】连接BO,取8。的中点O,连接。M可知ON为的中位线,贝1J可得0N="BM=1,进而

可知点N在以。为圆心,以1为半径的圆上运动,在矩形ABCQ中,根据oc,AC进而得出答案•

【解答】解:连接8D,取8。的中点O,连接ON,OC,

为Affl的中点,

ON为ADMB的中位线,

ON=yBM=l>

...点N在以。为圆心,以1为半径的圆上运动,

在矩形ABCD中,OC^-AC=^-VAB2+BC2=y7s2+42年

;.CN的取值范围为导KCNU+I,

切线的判定与性质

1.(2023秋•灵宝市期中)如图,以四边形ABCD的对角线8。为直径作圆,圆心为O,过点A作AELCD

的延长线于点E,已知平分N3DE.

(1)求证:AE是OO切线;

(2)若4E=4,CD=6,求。。的半径和AO的长.

ED

【分析】(1)连接OA,根据已知条件证明OALAE即可解决问题;

(2)取CO中点孔连接OR根据垂径定理可得OR!CD,所以四边形AEF。是矩形,利用勾股定理

即可求出结果.

【解答】(1)证明:如图,连接。A,

\'AE±CD,

:.ZDAE+ZADE=90°.

,:DA平分/BDE,

:.ZADE=ZADO,

又:OA=O。,

:.ZOAD=ZADO,

:.ZDAE+ZOAD=90°,

:.OALAE,

;.AE是O。切线;

(2)解:如图,取CO中点凡连接OF

.,.OP_LCD于点F.

四边形AEFO是矩形,

,:CD=6,

:.DF=FC=3.

在RtaOFZ)中,OF=AE=4,

OD=VOF2+DF2=V42+32=5>

在RtAAED中,AE=4,ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2,

2

:.AD=^+2=V20=245,

的长是小.

2.(2023秋•红花岗区校级期中)如图,在Rt^ABC中,/C=90°,点。,E,尸分别是边AB,BC,AC

上的点,以为直径的半圆O经过点E,F,且施=标.

(1)求证:BC是半圆。的切线;

(2)若/8=30°,AB=12,求CP的长.

【分析】(1)连接AE,OE,

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