2024-2025学年人教版九年级上册数学试卷（10月份）【含答案】

九年级（上）数学试卷（10月份）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.方程/=2x的根是（)

A.x=2B.x——2C.=0,X?=-2D.玉=。，x?=2

2.用配方法解下列方程,其中应在左右两边同时加上4的是（）

A.B.2X2-4X=5

C.x2+4x=5D.x2+2x=5

3.一元二次方程5/_7x+5=O的根的情况（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.不能确定

4.已知N+3%+5的值为9,则代数式3N+9X-2的值为（)

A.4B.6C.8D.10

5.抛物线〉=-20-1）2+3的顶点坐标是（)

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(-1,-3)

6.把抛物线y=（x+球向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的抛物线是

A.y=(x+2)~+2B.y=(x+2)2-2C.y=x2+2D.y=x2-2

7.在二次函数＞=-/+2x+l的图像中，若y随x的增大而增大,则x的取值范围是

A.x<1B.x>1C.x<-1D.x>-1

8.点（T%）,（3,%）在抛物线y=-（x-l）2+2上，贝I（)

A.必＜为B.必＞办c.%=%D.>y2

9.已知二次函数y=3（x-l）2+2.下列结论正确的是（

A.其图像的开口向下B.图像的对称轴为直线l=-1

C.函数有最小值为2D.当x＞i时，＞随x的增大而减小

10.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ox+6和二次函数y=a%2+6x+c的图象可能为

)

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.

11.若方程@1)*2汩+5*=4是一元二次方程，则a=.

12.已知方程3/—9X+加=0的一个根为1,则加的值为.

13.二次函数〉=-2—+5与丁轴的交点坐标.

14.如果抛物线歹=/+(加—2)x+7的对称轴是直线则加=.

abab

15.将4个数排成2行、2歹U,两边各加一条竖线，记成一定义/=ad-bc

cacaf

x+1x+2

上述记号叫做二阶行列式.那么、c=1表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的

x-22x

一般形式为—.

三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

16.解方程：

(1)X2-4^-3=0；

(2)x(x+2)=4(x+2).

17.二次函数y=2/+6x+c的顶点坐标是(1,-2),求6与c的值.

18.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可

变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的

百分率为X.

(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为一万元；

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(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率

X.

19.关于x的一元二次方程x2+3x+m-l=0的两个实数根分别为xi,X2.

(1)求m的取值范围.

(2)若2(xi+x2)+xix2+10=0.求m的值.

20.某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12

米.计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米,

(1)为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的

长和宽分别应为多少米？

(2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自

行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？

21.如图，己知二次函数y=x2+bx+c的图象分别经过点A(l,0),B(0,3),

⑴求该函数的解析式；

(2)在抛物线上是否存在一点P,使aAPO的面积等于4?若存在，求出点P的坐标若不存在,

说明理由.

22.为解方程(一一日一512-1)+4=0,我们可以将/一1看成一个整体，然后设工2-1=了,

贝I原方程可化为/_5y+4=0①，

解得必=1，%=4.当＞=1时，x2-1=1.x2=2,x=±V2»

当V=4时，x2—1=4»x2=5,x=土M，

1—

■■原方程的根为无］=V2,x2——V2,W=#，匕=^5

(1)在由原方程得到方程①的解题过程中，利用法达到了解方程的目的，体现了转化

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的数学思想.

(2)请利用以上方法解方程：

①x-2-6=0；

②(―+3丫-9①+3)+20=0.

23.如图，已知抛物线y=+左与x轴的一个交点为/(3,0),与y轴的交点为

5(0,3),其顶点为C,对称轴为直线尤=1.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)已知点M为y轴上的一个动点，当为等腰三角形时，求点M的坐标.

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1.D

【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得.

【详解】解：-=2x,

—2x=0,

x(x-2)=0,

x=0或1-2=0,

X]—0,%2=2,

故选：D.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键.

2.C

【分析】利用配方法解方程的方法对各选项进行判断.

【详解】解：A.X2-2X+1=5+1,(X-1)2=6,故选项A不符合题意；

5S77

B.由2/-4尤=5得，X2-2X=-,》2-2》+1=5+1。-1)一=],故选项8不符合题意；

C.Y+4X+4=5+4,(X+2)2=9,故选项C符合题意；

D.x2+2x+l=5+l,(x+l)2=6,故选项D不符合题意；

故选：C

【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成(X+加)2=〃的形式，再

利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法;用配方法解一元二次方程时,

先把原方程化为。尤2+法+。=0(。/0)的形式；再方程两边同除以二次项系数，使二次项系

数为1,并把常数项移到方程右边，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方.

3.C

【分析】本题考查了一元二次方程以2+6X+C=0(。#0,见6，。为常数)根的判别式：

A=/72-4«C.当A>0,方程有两个不相等的实数根；当A=0方程有两个相等的实数根；当

A<0,方程没有实数根.由a=5,b=-7,c=5直接计算A=/-4ac得到A<0,利用方

程的判别式来求解.

【详解】解：“=5,b=-7,c=5,

.­•A=/)2-4ac=(-7)2-4x5x5=-51<0,

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二一兀二次方程办2+6x+c=0没有实数根.

故选：C.

4.D

【分析】先求出N+3x的值，然后整体代入计算即可得解.

【详解】根据题意得：N+3X+5=9,所以，x2+3x=4,3x2+9x-2=3(x2+3x)

-2=3x4-2=10.

故选D.

【点睛】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解答本题的关键.

5.A

【分析】抛物线了=-2(》-1)2+3为顶点式，直接根据二次函数的性质得到顶点坐标.

【详解】解：•••抛物线的解析式为y=-2(x-iy+3,

抛物线的顶点坐标为(1,3).

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的性质：若二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k,则抛物线的

对称轴为直线x=h,顶点坐标为(h,k).

6.D

【详解】根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线

顶点移动，根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”，顶点

(-1,0)-(0,-2).因此，所得到的抛物线是y=x?-2.故选D.

7.A

【详解】•.,二次函数丁=一一+2%+1的开口向下，

.•.在对称轴的左侧y随x的增大而增大.

b2,

•.•二次函数y=+2x+1的对称轴是x==一。/=1,

/X(1I

-X<1.

故选：A.

8.C

【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.根据题

意可得：抛物线的对称轴为直线X=l,由1-(-1)=3-1=2,可得点(-1,%),(3,%)关于对

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称轴X=1对称，即可求解.

【详解】解：.•・抛物线为k-（尸1）2+2,

,抛物线的对称轴为直线x=l,

•■-1-（-1）=3-1=2,点（3，%）在抛物线尸-@-1）2+2上,

点（-1，%），（3,%）关于对称轴x=1对称，

故选：C.

9.C

【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关

键.利用二次函数的性质对用顶点式表示的二次函数进行分析后即可得到答案.

【详解】解：y=3（x-iy+2中，

,**a=3〉0,

・•.图像开口向上，故A错误；

对称轴为直线x=l,故B错误；

函数有最小值为2,故C正确；

当x>l时，>随x的增大而增大，故D错误；

故选C.

10.A

【分析】本题可先由二次函数y=ax2+6x+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数尸ax+6

的图象相比较看是否一致.

【详解】A、由抛物线可知，a<0,x=-—<0,得b<0,由直线可知，a<0,b<0,故本

2a

选项正确；

B、由抛物线可知，a>0,由直线可知，a<0,故本选项错误；

C、由抛物线可知，。>0,x=-—>0,得6<0,由直线可知，a>0,b>0,故本选项错误;

2a

D、由抛物线可知，。>0,由直线可知，6/<0,故本选项错误.

故选A.

11.-1

答案第3页，共11页

【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为零，最高次项指数为2,列出方程关系

式求解即可.

【详解】由题意知,（a-l）x『+i+5x=4是一元二次方程,则

Q—1W0

a2+1=2

解得:

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解法，熟记一元二次方程的定义

是解题的关键，注意一元二次方程二次项系数不为零.

12.6

【分析】欲求m,可将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解

方程组即可求出m值.

【详解】设方程的另一根为xi，又「x=l,

Xj+1=3

解得m=6.

故答案为6.

【点睛】本题的考点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，主要考查利用韦达定理解

题.此题也可将x=l直接代入方程3x2-9x+m=0中求出m的值.

13.（0,5）

【分析】本题考查二次函数的图像与v轴的交点坐标，令无=o,求出对应v值即可.

【详解】解：在＞=一2/+5中，令x=0,则＞=0+5=5,

，二次函数＞=-2x2+5与y轴的交点坐标为（0,5）,

故答案为：（0,5）.

14.1

【分析】本题考查了二次函数的性质，根据对称轴公式苫=-二，即可求解.

答案第4页，共11页

【详解】解：,••抛物线y=/+（加-2）x+7的对称轴是直线x=；,

m-21

-2x1~2f

解得：m=l,

故答案为：1.

15.x2+2x+3=0

【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，正确理解定义是解题的关键.根据题意直接可

列出方程，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可.

x+2

【详解】解:1

2x

2x(x+l)-(x-2)(x+2)=1,

2X2+2X-(X2-4)=1,

2x?+2x——+4=1,

+2x+3=0,

x+1x+2,,

・•.cc=1表示的方程是一元二次方程，它的一般形式为/+2X+3=0,

x-22x

故答案为：x2+2x+3=0.

16.(l)Xj=2+Vv,x2=2—V7

(2)3=-2,X2=4

【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法.

(1)利用配方法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可.

【详解】(1)解：J—4x—3=0,

x2-4x=3,

x2-4x+4=3+4，

(x-2)2=7,

x—2=±V?，

=

X]=2+yfl,x22—5/7;

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(2)解：x(x+2)=4(x+2),

x(x+2)-4(x+2)=0,

(x+2)(x-4)=0,

x+2=0或x-4=0,

尤1=-2,x2=4.

17.b=-4,c=0

【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的性质.解题的关键是

正确求出二次函数解析式.根据题意可得二次函数的解析式为y=2(x-l7-2,再将式子展

开即可求解.

【详解】解：••・二次函数y=2/+6x+c的顶点坐标是(1,-2),

可设二次函数的解析式为:—仔-2,

将式子展开可得：y=2x2-4x,

，6=-4,c=0.

18.(1)2.6(1+x)2；(2)10%.

【分析】(1)将基本等量关系“本年的可变成本=前一年的可变成本+本年可变成本的增长量”

以及“本年可变成本的增长量=前一年的可变成本x可变成本平均每年增长的百分率”综合整

理可得：本年的可变成本=前一年的可变成本x(l+可变成本平均每年增长的百分率).根据

这一新的等量关系可以由第1年的可变成本依次递推求出第2年以及第3年的可变成本.

(2)由题意知，第3年的养殖成本=第3年的固定成本+第3年的可变成本.现已知固定成

本每年均为4万元，在第(1)小题中已求得第3年的可变成本与x的关系式，故根据上述养

殖成本的等量关系，容易列出关于x的方程，解方程即可得到x的值.

【详解】解：(I)、■该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，

又•.•该养殖户的可变成本平均每年增长的百分率为X,

•••该养殖户第2年的可变成本为：2.6(l+x)(万元)，

•••该养殖户第3年的可变成本为：[2.6(l+x)](l+x尸2.6(l+x)2(万元).

故本小题应填：2.6(l+x)2.

(2)根据题意以及第(1)小题的结论，可列关于x的方程：

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4+2.6(l+x)2=7.146

解此方程，得

x/=0.1,X2=-2.1,

由于X为可变成本平均每年增长的百分率，X2=—2.1不合题意，故X的值应为0」，即

10%.

答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.

【点睛】本题考查了一元二次方程相关应用题中的“平均增长率”型问题.对“平均增长率”

意义的理解是这类应用题的难点.这类实际问题中某量的增长一般分为两个阶段且每个阶

段的实际增长率不同.假设该量的值在保持某一增长率不变的前提下由原值增长两次，若

所得的最终值与实际的最终值相同，则这一不变的增长率就是该量的“平均增长率”.

13

19.(1)m<—.

4

(2)m=-3.

【分析】(1)方程有两个实数根，必须满足-4acN0,从而求出实数m的取值范围；

(2)先由一元二次方程根与系数的关系，得Xi+X2=3,xix2=m-l.再代入等式2(xi+x2)+

xix2+10=0,即可求得m的值.

【详解】(1),•・关于x的一元二次方程x2+3x+m-l=0的两个实数根分别为Xi'.二

J>0.

13

即32-4(m-1)>0,解得,mg—.

4

(2)由已知可得xi+x2=3xix2=m-l

又2(xi+x2)+X1X2+IOO；.2x(-3)+m-1+10=0■-va=-'i

20.(1)长为10米，宽为8米；(2)小路的宽为1米.

【分析】(1)设与墙垂直的一面为x米，然后可得另两面则为(26-2x+2)米，然后利用其

面积为80,列出方程求解即可；

(2)设小路的宽为a米，利用去掉小路的面积为54平米列出方程求解即可得到答案.

【详解】解：(1)设与墙垂直的一面为x米，另一面则为(26-2x+2)米

根据题意得：x(28-2x)=80

2

整理得：X-14X+40=0

解得x=4或x=10,

答案第7页，共11页

当x=4时，28-2x=20>12,不符合题意，舍去

当尤=10时，28-5x=8<12,符合题意

二长为10米，宽为8米.

(2)设宽为。米，根据题意得：(8-2°)(10-a)=54,

a2-14a+13=0,

解得：a=13>10(舍去)，a—\,

答：小路的宽为1米.

【点睛】此题考查了一元二次方程与几何图形面积的应用，理解题意找到题中的等量关系是

解题的关键.

21.(1)y=x2-4x+3；(2)P(5,8)或P(-1,8).

【分析】(1)分别将A、B的坐标代入二次函数解析式，构成二元一次方程组，解出b、c

的值，进而得出二次函数的解析式；

(2)设P(a,b),根据△APO的面积等于4可以计算出b的值，然后再利用二次函数解析

式计算出a的值即可得到P点坐标.

【详解】解：(1)分别将A、B点的坐标代入函数解析式，

[l+Z)+c=O仿=-4

得出二元一次方程组°,解得°

c=3c=3

所以，该二次函数的解析式为y=xJ4x+3；

(2)设P(a,b),

•■•AAPO的面积等于4,

.-.|oA«|b|=4,

vOA=l,

解得：b=±8,

当b=8时,a2-4a+3=8,

解得：a=5或-1,

.•.P(5,8)或(-1,8)；

当b=-8时,a2-4a+3=-8,

•■•△=16-4xlxll<0,

不存在这样的P点；

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故P(5,8)或(-1,8).

【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是

函数图象经过的点必能满足解析式.

22.⑴换元

(2)①X]=G,x2=-V3；②尤i=l,x2=-1,x}=V2,x4=-V2

【分析】本题考查了解高次方程，解题关键在于利用换元法解题.

(1)根据题意可知利用了换元的方法解题；

(2)①设无2=/,则原方程可化为r一"6=0,求出，的值，即可求解；②设尤2+3=了，

则原方程可化为：y2-9y+20=0,求出V的值，即可求解.

【详解】(1)解：在由原方程得到方程①的解题过程中，利用换元法达到了解方程的目的,

体现了转化的数学思想，

故答案为：换元；

(2)①/-/-6=0,

设则原方程可化为——-6=0,

解得：4=3,匀=-2,

当f=3时，x2=3,

x=±V3,

2

当y-2时，x=-2(无意义，舍去