2024-2025学年人教版八年级数学上册专项复习：全等三角形的判定与性质（30题）（解析版）

专题第01讲全等三角形的判定与性质

1.(2023•长沙)如图，AB=AC,CDLAB,BELAC,垂足分别为。，E.

A

(1)求证：△ABEgAACD；A

(2)若AE=6,CZ)=8,求8D的长./\

【分析】(1)利用“AAS”可证明

BC

(2)先利用全等三角形的性质得到AD=4E=6,再利用勾股定理计算出AC,从而得到AB的长，然后

计算AB-A。即可.

【解答】(1)证明：BE±AC,

：.ZAEB=ZADC^9Q°,

在△ABE和△AC£)中,

,ZAEB=ZADC

<ZBAE=ZCAD,

AB=AC

AAB£^AAC£>(A4S)；

⑵解：VAABE^AACO,

,'.AD=AE=6,

在RtAACO中，AC=I/AD2-^D2=A/62+82=10，

'：AB=AC=IO,

：.BD=AB-AD=10-6=4.

2.(2022秋•黔江区期末)如图，已知/C=/F=90°,AC=DF,AE=DB,BC与EF交于点、O.

(1)求证：RtAABC^RtADEF；

(2)若NA=51°,求/2。尸的度数.

【分析】（1）根据乩证明两个三角形全等；

（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论.

【解答】（1）证明：

：.AE+EB=DB+EB,即AB=DE,

在RtAACB和RtADFE中，

[AC=DF,

IAB=DE'

/.RtAABC^RtADEF(HL)；

(2)解:VZC=90°,ZA=51°,

：.ZABC=ZC-ZA=90°-51°=39°,

由(1)知RtZXABC丝RtZkOE凡

ZABC=ZDEF.

：.NDEF=39°,

ZB0F=ZABC+ZBEF=390+39°=78°.

3.(2022秋•鼓楼区期末)如图，点A、C、。在同一直线上，BC±AD,垂足为C,8C=C。，点E在BC

上，AC^EC,连接43,DE.

(1)求证：AABC出AEDC；

(2)写出A8与。E的位置关系，并说明理由.

【分析】(1)在RtZWCB和Rt/XECD中，由ASA证明三角形全等;

(2)根据(1)得出NAFD=90°即可.

【解答】(1)证明：

ZACB=ZECD=90°,

在RtAACB和RtAECD中，

rBC=DC

<ZACD=ZECD-

AC=EC

AABC^A££)C(SAS)；

(2)解：ABLDE.理由：

如图延长。E交AB于点R

AABC经AEDC,

：.ZB=ZD,

VZACB=90°,

：.ZA+ZB=90°,

：.ZD+ZA=90°,

：.ZAFD=90°,

：.AB±DE.

4.（2023•黄石模拟）如图所示，在△ABC中，A£）_LBC于。，CE±ABE,AO与CE交于点R且A。

=CD.

(1)求证：4ABD出ACFD；

(2)已知BC=7,AD=5,求AF的长.

【分析】(1)由ASA证明△AB。丝/XC。。即可;

(2)理由全等三角形的性质即可解决问题；

【解答】(1)证明：\'AD±BC,CE±AB,

：.ZADB=ZCDF=ZCEB=90°,

/BAD+NB=ZFCD+ZB^90°,

：.ZBAD=ZFCD,

在△A8£)和CFD中，

，ZADB=ZCDF

-AD=DC，

ZBAD=ZDCF

.♦.△ABD沿ACFD(ASA),

(2)解：:4ABD/LCFD,

：.BD=DF,

,:BC=1,AD=DC=5,

：.BD=BC-CD=2,

：.AF=AD-DF=5-2=3.

A

5.（2023春•嘉定区期末）如图，在四边形A8CD中，AD〃8C,点E为对角线8。上一点，ZA=ZBEC,

且

（1）求证：△ABDHECB；

【分析】（1）由“ASA”可证附△EC&

（2）由全等三角形的性质可得BD=BC,由等腰三角形的性质可求解.

【解答】（1）证明

NADB=NCBE,

在△A8£>和△ECB中，

'/A=NBEC

<AD=BE，

ZADB=ZCBE

:.AABD咨AECB（ASA）；

⑵解：；AABD"4ECB,

：.BD=BC,

：.ZBDC=ZBCD=75°,

：.ZDBC=30°,

；.NADB=NCBD=30°.

6.（2023•营口）如图，点A,B,C,。在同一条直线上，点E,尸分别在直线AB的两侧，且Z

A=ZB,ZACE=ZBDF.

(1)求证：LACE沿ABDF；

(2)若A8=8,AC=2,求CD的长.

E

【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明月即可；

（2）根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解答】（1）证明：在△ACE和△BD/中，

，ZA=ZB

，ZACE=ZBDF-

AE=BF

:.AACE乌ABDFCAAS）；

（2）由（1）知△ACE四△BD凡

：.BD=AC=2,

'：AB=8,

：.CD=AB-AC-BD=4,

故CD的长为4.

7.（2023•朔城区一模）如图，在四边形ABC£＞中，AB//CD,在2。上取两点E,F,使DF=BE,连接AE,

CF.

（1）若AE〃CR试说明△ABEgZkCDR

（2）在（1）的条件下，连接AF,CE,试判断与CE有怎样的数量关系，并说明理由.

【分析】（1）由“ASA”可证△ABEgZkC。尸；

（2）由全等三角形的性质可得AB=C£»,由“S4S”可证AABE名△8凡可得结论.

【解答】（1）证明：：A8〃C。，

/ABD=NCDF,

'：AE//CF,

：.ZAEB=ZCFD,

'：BF=DE,

:.BF+EF=DE+EF,

:.BE=DF,

在△ABE和△CD/中，

，ZABD=ZCDF

<BE=DF，

ZAEB=ZCFD

.,.△ABEZACDF(ASA)；

(2)解：AF=CE,理由如下:

,/LABE竺LCDF,

：.AB=CD,AE=CF,

在△AB尸和△CUE中，

'AB=CD

，ZABD=ZCDB-

BF=DE

.,.△ABEZACDF(SAS),

：.AF=CE.

8.(2023春•岑溪市期末)如图，在四边形ABC。中，AB=CD,BE=DF；AE±BD,CF±BD,垂足分别

为E,F.

(1)求证：△ABEgACDF；

(2)若AC与2。交于点。，求证：AO^CO.

__________________>D

w【分析】(1)由“ASA”可证△ABE0ACDP；

(2)由全等三角形的性质可得4E=CF,可证四边形AECF是平行四边形，可得AO=CO.

【解答】证明：(1)-：AB//CD,

：.NABE=NCDF,

在△ABE和△CDF中，

，ZABE=ZCDF

'BE=DF，

ZAEB=ZCFD=90°

.,.△ABE/ACDF(ASA)；

(2)如图，

,/AABE咨ACDF,

：.AE=CF,

\'AE±BD,CFLBD,

：.AE//BD,

四边形AECF是平行四边形,

C.AO^CO.

9.(2023春•梅州期末)如图，在△ABC中，A3=AC=3,NB=42°,点。在线段2C上运动(点。不与

点、B、C重合)，连接A。，作乙4。£=42°,交线段AC于点E.

(1)当/8OA=118°时，ZEDC=°,ZAED=°；

(2)若OC=3,试说明名△QCE；

(3)在点。的运动过程中，△AOE的形状可以是以AE为腰的等腰三角形吗？若可以，求N3D4的度

数；若不可以，请说明理由.

【分析】(1)根据三角形内角和定理得到N8AD=25°,根据等腰三角形的性质得到/C=/8=42°,

根据三角形内角和定理计算，得到答案；

(2)当。C=3时，利用,ZADB+ZEDC^14Q°,得到NAr>B=N£)£C,根据

AB=DC=3,证明△A8D咨△£)(?£；

(3)分Dk=DE、AE=A。、EA=E£>三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算.

【解答】解：(1),：AB=AC,

.,.NC=N2=42°,

"：ZADE=42°,ZBDA=118°,

VZEr>C=180°-ZADB-ZA£)E=20°,

:./AED=NEDC+NC=20°+42°=62°,

故答案为：20；62；

(2)当£)C=3时，XABD经XDCE,

理由：VAB=3,DC=3,

：.AB^DC,

VZC=42°,

.,.ZZ)EC+Z££>C=138O,

ZADE=42°,

AZADB+Z£DC=138°,

ZADB=ZDEC,

在△A3。和△DCE中，

,ZADB=ZDEC

-ZB=ZC，

AB=DC

.♦.△ABDmADCE(A4S)；

(3)当/2ZM的度数为110°或80°时，△?1£>£的形状是等腰三角形，

①当ZM=Z)E时，ZDAE=ZDEA=10°,

：.ZBDA=ZDAE+ZC^10°+42°=112°；

②当A£>=AE时，ZAED=ZADE=42°=ZC,

此时，点。与点8重合，不合题意；

③当EA=E。时，ZEAD=ZADE=42°,

ZBDA=ZEAD+ZC=42°+42°=84°；

综上所述，当/BD4的度数为112。或84°时，△>!£>£的形状是等腰三角形.

10.(2023春•甘州区校级期末)已知△ABC,点。、/分别为线段AC、AB上两点，连接班)、CB交于点E.

(1)若B£>_LAC,CF±AB,如图1所示，NA+/BEC=度；

(2)若BD平分NA2C,CF平分NACB,如图2所示，试说明此时NBAC与/BEC的数量关系；

(3)在(2)的条件下，若N8AC=60°,试说明：EF=ED.

【分析】(1)根据余角的性质得到Nr>EC=/A4C,由于NOEC+ZBECulSO。，即可得到结论；

(2)根据角平分线的性质得到NEBC=』ABC,NECB=L/ACB,于是得到结论；

22

(3)作/BEC的平分线交BC于由/BAC=60°,得到/BEC=90°+L/BAC=120°,求得

2

NFEB=NDEC=60°,根据角平分线的性质得到N2EM=60°,推出△EBE四根据全等三角

形的性质得到£尸=£加，同理DE=EM,即可得到结论.

【解答】解：(1)'：BD±AC,CF±AB,

：.ZDCE+ZDEC=ZDCE+ZFAC=9Q°,

：.ZDEC=ABAC,NDEC+NBEC=18。°,

：.ZBAC+ZBEC=180°；

故答案为：180.

(2)平分/ABC,CP平分乙4C2,

：.ZEBC^—7ABC,NECB=I/ACB,NBEC=180°-(NEBC+NECB)=180。-工(ZABC+

222

ZACB)=180°(180°-ZBAC)=90°+^ZBAC；

22

(3)作NBEC的平分线EM交2C于M,

VZBAC=60°,

：.ZBEC=90°+//B4C=120。，

；.NFEB=NDEC=60°,

：EM平分/BEC,

AZBEM=60°,

在△FBE与△EBM中，

，ZFBE=ZEBM

(BE=BE，

ZFEB=ZMEB

.♦.△EBEg△EBM,

：.EF=EM,同理。E=EM,

：.EF=DE.

图2

11.(2023春•佛山月考)已知，如图1,在△ABC中，4。为△ABC的中线，E为A。上一个动点(不与点

A,。重合).分别过点E和点C作A8与A。的平行线交于点R连A?

(1)求证：AF=BE；

(2)如图2,延长BE交AC于点G,若8GLAC,S.AD=BG,请判断EG与AE的数量关系，并说明

理由.

FF

【分析】（1）过点。作交尸C于点M,连接AM,证明△AB。丝△儿。C（ASA）,推出

再证明四边形EDMF和四边形ABEF是平行四边形，可得结论；

（2）过点D作DN〃BG交AC于点N,根据平行线分线段的性质得CN=GN,根据三角形中位线定理得

DN=LBG,再根据直角三角形边角的关系得/D4N=30°,可得结论.

2

【解答】（1）证明：如图1中，

图I

过点D作DM//AB交FC于点M,连接AM,

9：DM//AB,

：./MDC=NABD,

VCF//AD.

：.ZMCD=ZADB,

•・•A。是△ABC的中线，

：.BD=DC,

：.AABD^AMDC(ASA),

：.AB=MD,

'：AB//EFf

J.EF//DM,

'JDE//FM,

・•・四边形成加^是平行四边形,

:・DM=EF,

：.AB=EF,

，四边形ABEF是平行四边形，

：.AF=BE；

(2)解：EG=^AE,

2

理由：如图2中，过点。作。N〃3G交AC于点N,

图2

,:BD=CD,DN//BG,

：.CN=GN,

:.DN=LBG,

2

'：AD=BG,

：.DN^—AD,

2

VBGXAC,DN//BG,

：.DN±AC,

:.NAND=90°,

:.NDAN=3Q°,

：.EG=^-AE.

2

12.(2023春•子洲县期末)【问题背景】

如图，AB//CD.连接BC,点E,尸在8C上，且BP=CE,连接AE,DF,且NA=/Z).

【问题探究】

(1)试说明：AE=DF：

(2)若A2=CR

①试判断△CDF的形状，并说明理由：

②若/8=30°,求/。/由的度数.

AB

【分析】(1)根据A8〃C£＞可证明NB=NC,根据2尸=CE可证明BE=CR再依据A4s证明△ABEg

△DCF即可得到结论；

(2)①证明CO=CF即可得出结论；

②由平行线的性质得出/C=30°,再根据尸是等腰三角形求底角的度数即可解答.

【解答】解：(1),：AB//CD,

；.NB=NC,

■;BF=CE,

：.BF+EF=CE+EF.BPBE=CF,

在△ABE和△OCF中，

VZA=ZD,ZB=ZC,BE=CF,

.,.△ABE咨ADCF(AAS),

：.AE=DF；

(2)①△CD尸是等腰三角形；

理由：,/AABE^ADCF,

：.AB=CD,

'：AB^CF,

：.CD=CF,

...△CD尸是等腰三角形；

@'：AB//CD,ZB=30",

.,.ZC=ZB=30°,

：△CD尸是等腰三角形，

-'•ZD=ZCFD=yX(180°-30°)=75°，

：.ZDFB=180°-ZCFD=105°.

13.(2023春•漳州期末)如图，在△ABC中，A8=AC,点。，E分别在边AC,BC上，连接AE,BD交于

点R/BAC=/BFE=2/AEB.

(1)说明：NEAC=NABD；

(2)若BD平分NABC,BE^15,A尸=6,求48所的面积；

(3)判断历，BF,A尸之间的数量关系，并加以说明.

A

D

BEC

【分析】(1)根据NBAE+NEAC=NBAC,ZBAE+ZABD=ZBDC,ZBAC=ZBFE,即可证明结论;

(2)过点/作BG_LBC于点G,求出/A2E+NA£B=90°,得出/BAE=180°-90°=90°,证明E4

±AB,根据角平分线的性质得出FG=AF=6,根据三角形面积公式求出

SABEF-j-BEXFG=yX15X6=45=

(3)在8。上截取BH=AE,连接AH,证明△ABH之△C4E(SAS),得出NAEC,NC=/BAH,

证明NH4b=NA"R得出AF=FH=BF-BH=BF-AE=BF-AF-EF,即可证明结论.

【解答】(1)证明：VZBAE+ZEAC=ABAC,NBAE+/ABD=/BDC,

又•；NBAC=NBFE,

：.NBAE+/EAC=/BAE+NABD,

：.ZEAC=ZABD；

(2)解：过点尸作/G_L3C于点G,如图所示：

*：AB=ACf

：.NABE=/C,

：.ZBAC=1SO°-2AABE,

•'-ZAEB=yZBAC=90°-/ABE，

AZABE+ZAEB=90°,

：.ZBAE=180°-90°=90°,

：.FA.LAB,

,.・5。平分NA5C,FGLBC,

：.FG=AF=6f

SABEF=yBEXFG=yX15X6=45；

(3)解：2AF=BF-EF；理由如下：

在8。上截取B4=AE,连接A”,如图所示:

在△ABH和△CAE中，

，AB=AC

-ZABH=ZCAE>

BH=AE

AABH^ACAE(SAS),

?.ZAHB=ZAEC,NC=NBAH,

ZAHF=ZAEB-|ZBAC=y(180°-2ZC)=90°-NG

根据解析(2)可知，ZBAE=90°,

：.ZHAF=90°-ZBAH=90°-ZC,

：.ZHAF=ZAHF,

：.AF=FH=BF-BH=BF-AE=BF-AF-EF,

：.2AF=BF-EF.

14.(2023春•宣汉县校级期末)已知：ZACB=9Q°,AC=BC,ADICM,BELCM,垂足分别为。，E,

（1）如图1,把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由.

①线段和3E的数量关系是：CD=BE；

②请写出线段A。，BE,OE之间的数量关系并证明.

解：①结论：CD=BE.

理由：'：AD±CM,BELCM,

：.ZACB=NBEC=ZADC=90°,

/.ZACD+ZBCE=90°,ZBCE+ZCBE=9Q°,

/.ZACD=_____________

在△ACD和△C2E中，（）

AAACD^ACBE,（）

：.CD=BE.

②结论：AD=BE+DE.

理由：VAACD^ACBE,

CE=CD+DE=BE+DE,

：.AD=BE+DE.

(2)如图2,上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段ADBE,DE之间的数量关系.并说明理

由.

【分析】(1)根据同角的余角相等，全等三角形的判定和性质即可解决问题；

(2)结论：DE-BE=AD,只要证明△ACO也△C2E即可解决问题；

【解答】解：(1)'：AD±CM,BELCM,

：.ZACB=NBEC=ZADC=90°,

：.ZACD+ZBCE=90°,ZBCE+ZCBE=90°,

NACD=NCBE

fZADC=ZBEC

在△AC。和△CBE中，(，ZACD=ZCBE)

AC=BC

.,.△AC。也△CBE,(AAS)

:.CD=BE.

②结论：AD=BE+DE.

理由：V/\ACD^/\CBE,

：.AD=CE

,/CE=CD+DE=BE+DE,

：.AD=BE+DE.

，ZADC=ZBEC

故答案为：ZCBE,，ZACD=ZCBE-A4S,AD=CE.

AC=BC

(2)不成立，结论：DE-BE=AD.

理由：'：AD±CM,BE1.CM,

：.ZACB=ZBEC=ZADC=90°,

AZACD+ZBCE^90°,NBCE+NCBE=9Q°,

ZACD=ZCBE

在△AC。和中，

，ZADC=ZBEC

<ZACD=ZCBE>

AC=BC

:.△ACDQXCBE,(AAS)

：.AD=CE,CD=BE,

：.DE-BE=DE-DC=CE=AD.

图2

15.(2022秋•邹城市校级期末)(1)如图①，在四边形ABCZ)中，AB=AD,ZB=Z£)=90°,E,尸分别

是边BC,CD上的点，且/胡尸=工/胡。.请直接写出线段EFBE,FD之间的数量关系：；

2----

(2)如图②，在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+Z£>=180°,E,尸分别是边BC,CD上的点，且/

EAF=L/BAD,(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；

2

(3)在四边形A2CD中，AB=AD,ZB+ZZ)=180°,E,歹分别是边BC,C。所在直线上的点，且/

请直接写出线段ERBE,如之间的数量关系：

【分析】(1)如图1,延长班到G,使BG=D尸,连接AG,即可证明△ABGg/XADR可得AF=AG,

再证明△AM0ZvlEG,可得EF=EG,即可解题；

(2)如图2,同理可得：EF=BE+DF；

(3)如图3,作辅助线，构建△ABG,同理证明咨和AAEG

^AAEF.可得新的结论：EF=BE-DF.

【解答】解：(1)如图1,延长班到G,BG=DF,连接AG.

:在△ABG与△AO尸中，

'AB=AD图1

"NABG=NADF=90°，

BG=DF

/.AABG^AADF(SAS).

：.AG=AF,Z1=Z2,

.•.Z1+Z3=Z2+Z3=AZBAD=Z£AF.

2

：.ZGAE=ZEAF.

又AE=AE,

易证△AEG丝△AEF.

：.EG=EF.

;EG=BE+BG.

；.EF=BE+FD

(2)(1)中的结论仍然成立.

理由是：如图2,延长即到G,使BG=。尸，连接AG.

VZABC+Z£>=180°,ZABG+ZABC=180°,

ZABG=ZD,

:在△ABG与△AO尸中，

图2

'AB=AD

</ABG=ND，

BG=DF

AABG^AADF(.SAS).

：.AG=AF,Z1=Z2,

：.Z\+Z3=Z2+Z3=^-ZBAD=ZEAF.

2

：.ZGAE=ZEAF.

又AE=AE,

：.AAEG出AAEF.

：.EG=EF.

'：EG=BE+BG.

:.EF=BE+FD

(3)当(1)结论EF=BE+FD成立,

当图三中，EF=BE-FD或EF=FD-BE.

证明：在BE上截取BG,使连接AG.

VZB+ZA£)C=180°,ZADF+ZADC=ISO°,

ZB=ZADF.

:在与△&£(尸中，

'AB=AD

<NABG=/ADF，

BG=DF

AAABG^AADF(SAS).

：.ZBAG=ZDAF,AG^AF.

：.ZBAG+ZEAD=ZDAF+ZEAD=/EAF=L/BAD.

2

：.ZGAE=ZEAF.

'：AE=AE,

:.△AEG<AAEF(SAS).

：.EG=EF

；EG=BE-BG

:.EF=BE-FD.

同理可得：：.EG=EF

；EG=BG-BE

：.EF=FD-BE.

故答案为：⑴EF=BE+FD；(2)成立；(3)EF=BE+FD或EF=BE-FD或EF=FD-BE.

16.(2023春•荣成市期末)已知在△ABC中，AC=BC,分别过A,8两点作互相平行的直线AM,BN,过

点C的直线分别交直线AM,BN于点、D,E.

(1)如图1,若求证：CD=CE；

(2)如图2,ZABC=ZDEB=60°,判断线段AD,OC与BE之间的关系，并说明理由.

图1图2

【分析】(1)延长AC交8N于点R证明△AOC四△f'EC(ASA),即可得出结论;

(2)在EB上截取E"=EC,连接CH,证明4cg△8CBADiy

一.

(AA5),得出AO=C”，DC=BH,即可得出结论.

【解答】(1)证明：如图1,延长AC交于点R

'：AC^BC,BEF

：.ZCAB=ZCBA,图1

：.ZBAM=9Q°,

又,：AM〃BN,

：.ZBAM+ZABN=180°,

/.ZABN=90°,

/.ZBAF+ZAFB=90°,ZABC+ZCBF=90°,

：.ZCBF=ZAFB,

：.BC=CF,

：.AC=FC,

又'CAM//BN,：.ZDAF=ZAFB,

，ZDAC=ZEFC

在△&£>(?和△BEC中，，AC=FC，

ZACD=ZFCE

:.△ADCZAFEC(ASA),

：.DC=EC；

(2)解：AD+DC=BE；理由如下：

如图2,在EB上截取EH=EC,连接C”，

,：AC^BC,ZABC=60°,

.•.△ABC为等边三角形，

■:/DEB=60°,

...△C”E是等边三角形，

图2

：.ZCHE=60°,ZHCE=60°,

；./BHC=120°,

'JAM//BN,

：.ZA£)C+ZBEC=180°,

：.ZA£)C=120°,

/.ZDAC+ZDCA=60°,

又：/OCA+/AC8+/BCH+/"CE=180°,

：.ZDCA+ZBCH=60°,

ZDAC=ZBCH,

fZDAC=ZHCB

在△ZMC与△HCB中，，ZADC=ZCHB>

AC=CB

:.△DA8AHCB(AAS),

:.AD=CH,DC=BH,

又•：CH=CE=HE,

：.BE=BH+HE^DC+AD,

即AD+DC=BE.

17.（2023春•吉安县期末）如图，△ABC中，。为A3的中点，AO=5厘米，/B=NC,BC=8厘米.

（1）若点尸在线段BC上以3厘米/秒的速度从点8向终点C运动，同时点。在线段C4上从点C向终

点A运动，若点。的速度与点尸的速度相等，经1秒钟后，请说明△8P。gZkCOP；

（2）若点尸以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点。以5厘米/秒的速度从点C向点A运动,

它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点。第一次在△ABC的哪条边上追上点尸？

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到NB=NC,再加上BP=CQ=3,PC=BD=5,则可判断△BPD

与△CQP全等；

（2）设经过x秒后，点。第一次追上点P,由题意得5x-3x=2X10,解方程得到点P运动的路程为3

X10=30,得到此时点P在BC边上，于是得到结果.

【解答】解：（1）：BP=3X1=3,C2=3X1=3,

：.BP=CQ,

:。为A2的中点，

：.BD=AD^5,

,:CP=BC-BP=5,

：.BD=CP,

在△BP。与△C。尸中，

'BD=CP

-ZB=ZC-

BP=CQ

:.ABPD咨ACQP（SAS）；

（2）设经过x秒后，点。第一次追上点P,由题意得5x-3x=2X10,

解得：尤=10,

.1•点P运动的路程为3X10=30,

V30=28+2,

此时点P在BC边上，

,经过10秒，点。第一次在2C边上追上点P.

18.（2022秋•葫芦岛期末）在等腰△ABC中，AB^AC,。为AB上一点，£为C。的中点.

（1）如图1,连接AE,作E8_LAC,若AD=28。，S^BDC=6,EH=2,求A8的长.

（2）如图2,尸为AC上一点，连接8尸，BE.若NBAC=NABE=/CBF,求证：BD+CF=AB.

A

【分析】(1)利用三角形面积之间的关系进行转化，可得：S“EC=6,再利用三角形面积公式可求得A2

=6；

(2)通过倍延中线构造全等三角形的方法，延长2E至G,使EG=BE,连接CG,则

(SAS),再证明：AABF^AGBC(AAS)即可.

【解答】⑴解：•.ND=2B£),SABDC=6,

SAACD=2SMCD=2X6=12,

:E为CD中点，

S^ACE——S/^ACD—6r

2

'JEHLAC,

；.^AC-EH=6,

2

,:EH=2

；.AC=6

'：AB=AC

；.AB=6

(2)证明：如图2,延长BE至G,使EG=BE,连接CG,

在△BE。和△GEC中,

'BE=EG

<ZBED=ZGEC-

DE=CE

:ABED咨4GEC(SAS),

：.BD=CG,/ABE=/G,

\'AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

即：ZABF+ZCBF=ZACB,

•：/BAC=/CBF,

：.ZABF+ZBAC=ZACB.

:ZBFC=AABF+ABAC,

：.ZBFC=/ACB,

；・BF=BC,

'：ZBAC=NABE=/CBF,

：.ZBAC=ZG,ZABF+ZEBF=NCBG+NEBF,

：.ZABF=/GBC,

在△AB尸和△G8C中，

2BAC=NG

,NABF=NGBC，

BF=BC

AAABF^AGBC(A4S),

：.AF=CG,

又・；BD=CG,

:・AF=BD,

VAF+CF=AC,AB=AC,

：.BD+CF=AB.

19.(2022秋•莱州市期末)在△ABC中，AB=AC,。是边3C上一点，点石在AO的右侧，线段AE=AO,

且N0AE=N3AC=a.

(1)如图1,若a=60°,连接CE,DE.则NAOE的度数为；8D与CE的数量关系是.

(2)如图2,若a=90°,连接EC、BE试判断的形状，并说明理由.

图1图2

【分析】(1)根据已知条件证明△△£>£是等边三角形，然后证明△A3。丝△%(?£(SAS),即可解决问题;

(2)根据已知条件证明△48C,△相>£是等腰直角三角形，然后证明△A8O0Z\ACE(SAS),可得

=ZACE=45°,进而可以解决问题.

【解答】解：(1)当NZME=/BAC=a=60°时，

'：AE^AD,ZDAE^6Q°,

.♦.△ADE是等边三角形，

ZADE=60°,

'：AB=AC,ZBAC=60°,

...△ABC是等边三角形，

AZBAC=60°,

NDAE-ZDAC=ZBAC-ZDAC,即ZCAE=ABAD,

在△ABO和AACE中，

，AB=AC

<NBAD=NCAE，

AD=AE

AABD^AACE(SAS),

:.BD=CE,

故答案为：60°,BD=CE；

(2)ABCE是直角三角形，理由如下：

当NZMEnNBACnangO。时，

.,.△ABC,ZVIDE是等腰直角三角形，

ZDAE-ZCAD=ZBAC-ZCAD,即ZBAD=ACAE,

在△A3。和△人(7£■中，

，AB=AC

，ZBAD=ZCAE-

AD=AE

.,.△ABD^AACE(SAS),

AZABD=ZAC£=45°,

ZBCE=ZACB+ZACE=9Q°,

.二△BCE是直角三角形.

20.(2023春•本溪期末)在△ABC中，A8=AC,点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD=CE.连

接DE,与BC边所在的直线交于点?

(1)当点。在线段R4上时，如图所示，求证：DF=EF.

(2)过点。作DHLBC交直线BC于点"若BC=4,CF=1,求应/的长是多少？

AA

D

B------------------------------------------------------------------

备用图

【分析】（1）过点。作0G〃AC交BC于点G,利用平行线的性质和等边对等角证明NDG8=NB,得

到5D=G。，进而推出GO=CE,再证明△OG/gZXEC—即可证明。尸=EF；

（2）分当点。在线段A5上时，过点E作EOLBC,交5c延长线于O,当点。在R4的延长线上时，

过点E作EOLBC交BC的延长线于点0,先证明得到5"=C0,进而求出“0=4,

再证明△。〃尸之△石OR得至"HF=0F=2,再根据线段之间的关系求出的长即可.

【解答】（1）证明：过点。作。G〃AC,交BC于点G.

ZDGB=ZACB,

VAB=AC,

・•・NB=NACB,

：.ZDGB=ZB,

:・BD=GD,

■:BD=CE,

：.GD=CE,

\*DG//AC,

：.ZGDF=ZCEFfZDGF=AECF,

在△DG尸和尸中

'/GDF=NCEF

<GD=CE，

ZDGF=ZECF

:•△DGF/AECF(ASA),

:・DF=EF；

(2)解：如图所示，当点。在线段A3上时，过点E作£0,3。，交3c延长线于0,

VAB=AC,

/./B=ZACB=/OCE,

XVZDHB=ZEOC=90°,BD=CE,

・•・△DHB咨LEOC(A4S),

:,BH=CO,

：.HO=HC+CO=HC+HB=BC=4,

VZDHF=ZEOF=90°,ZDFH=ZEFO,=EF(由第一小问已经证明),

:•△DHFm/\EOF(AAS),

•■•HF=0F=yH0=2-

VCF=1,

当点。在BA的延长线上时，过点E作EOLBC交BC的延长线于点O,

同理可证△D/ffigzXEOC,△DHF妾AEOF,

：.HO=HC+CO=HC+HB=BC=4,

•*-HF=OF=yHO=2>

,:CF=1,

BH=CO=0F+C尸=2+1=3；

综上所述，①/的长为1或3.

D

21.(2023春•东源县期末)如图，AE与8。相交于点C,AC=EC,BC=DC,4B=8c7w,点P从点出发,

沿A-B-A方向以2c机/s的速度运动，点。从点。出发，沿。一E方向以心机/s的速度运动，P、。两点

同时出发，当点尸到达点A时，P、。两点同时停止运动，设点尸的运动时间为f(s).

(1)求证：AB//DE.

(2)写出线段AP的长(用含f的式子表示).

【分析】(1)证明△ABC四△EOC(SAS),可得NA=/E,然后根据内错角相等两直线平行即可得出结

论；

(2)分两种情况讨论：当时，AP=2tcm,当4<fW8时，BP=(2f-8)cm,可得AP=8-(2?

-8)=(16-2f)cm,进而可以解决问题；

(3)先证△ACP四△EC。(ASA),得AP=EQ,再分两种情况列方程求解即可.

【解答】(1)证明：在△ABC和△EDC中，

fAC=EC

<ZACB=ZECD,

BC=DC

AAABC^AEDC(SAS),

ZA=Z£,

(2)解：当0WfW4时，AP=2tcm,

当4<fW8时，BP=(2L8)cm,

：.AP=8-⑵-8)=(16-2。cm,

线段AP的长为2tcm或(16-2t)cm-,

(3)解：根据题意得

则EQ—(8-f)cm,

由(1)得：AA—ZE,ED—AB—Scm,

在△ACP和△EC。中，

fZA=ZE

<AC=EC，

ZACP=ZECQ

.♦.△ACP峪△EC。(ASA),

：.AP=EQ,

当0W/W4时，2r=8-t,

解得:t=—；

3

当4V/W8时,16-2Z=8-t,

解得：f=8；

综上所述，当线段尸。经过点C时，f的值为6或8.

3

22.(2023春•梅江区期末)如图，在△ABC中，AB=AC=S,8C=12,点。从8出发以每秒2个单位的

速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运

动，连接A。、DE,设。、E两点运动时间为/秒(0<f<4)

(1)运动秒时，AE=ADC；

3

(2)运动多少秒时，能成立，并说明理由；

(3)若乙ABD咨ADCE,ZBAC^a,则(用含a的式子表示).

【分析】(1)依据2D=CE=2t,可得CD=12-2f,AE=8-It,再根据当AE=2OC,时，8-2t=—(12

33

-It'),可得t的值；

(2)当△ABDgADCE成立时，A2=CO=8,根据12-2f=8,可得f的值；

(3)依据/C£)E=NBA£),ZAZ)E=180°-ZCDE-ZADB,ZB=Z180°-ZBAD-ZADB,即可

得到再根据NR4C=a,AB^AC,即可得出/ADE.

【解答】解：(1)由题可得，BD=CE=2t,

：.CD=U-26AE=8-2t,

.,.当时，8-2f=』(12-2r),

33

解得t=3,

故答案为：3；

(2)当△A3。也△£>€：£；成立时，AB=CD=S,

A12-2r=8,

解得t=2,

・・・运动2秒时，△A5O之△OCE能成立；

(3)当△ABDgADCE时,ZCDE=ZBADf

又・・・NAOE=180°-/CDE-/ADB,ZB=Z180°-ZBAD-ZADB,

：./ADE=NB,

又・・・N3AC=a,AB=AC,

：.ZADE=ZB=^(180°-a)=90°-2a.

22

故答案为：90°-Aa.

2

23.（2022秋•通川区期末）已知：△A8C是等腰三角形，CA=CB,0°<NACB<90°.点M在边AC上，

点N在边8C上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN=AM,连接AMBM,射线AG〃8C,延长

交射线AG于点。，点E在直线AN上，5.AE^DE.

（1）如图，当/AC8=90°时；