2024-2025学年人教版八年级数学上册特训：全等三角形高频考点-倍长中线（原卷版）

特训07全等三角形高频考点一一倍长中线

【基本模型】

（1）条件：如图，在ANBC中，为AN5c的中线，

作法：延长2。至点£,使得£>£=Z。，连接

结论：①AADC'EDB；②AC=EB；©AC//EB.

E

（2）条件：如图，在AZBC中，Z尸为△幺5c的中线，

作法：过点C作CEL4F于点E,过点8作5D_L4F交4F的延长线于点D,

结论：①ACEF咨&BDF；②BD=CE；③BD〃CE.

（3）条件：如图，在A4BC中，。为8c的中点，M为48边上任意一点,

作法：延长至点N,使得MD=DN,连接CN,

结论：①ABMD沿ACND；②BM=CN；③BM〃CN.

N

【特训过关】

1.如图，已知是AABC中8c边上的中线，AB=5,AC=3,则2。的取值范围是（）

B.1<AD<4C.2<AD<5D.4<yiZ)<8

2.如图，在AZBC中，AB=6,AC=8Z。是边5c上的中线，则ZD长的取值范围是（)

A.6<AD<8B.6<AD<8C.1<AD<1D.1<AD<1

3.如图，AN5C中，Z。是中线，ZBAD=70°,ND4c=40°,ND长为2,则线段NC长为.

4.如图,在“3C中,ZABC=45°,2W，8。于点〃，点。在411上，且。河=CM,尸是8c的

中点，连接7^一。并延长,在尸。的延长线上有一点£,连接CE,且CE=C4,ZBDF=36°,则

5.如图所示，4D为△48C中线，。为8c中点，AE=AB,AF=AC,连接£/，EF=2AD.若

△AEF

的面积为3,则△ZQC的面积为

A

6.如图，五边形Z8CDE中，AB=BC=7,AE=ED=8,ZABC+ZAED=\SQ°,M为边CD的

中点，BM=9,EM=10,则五边形Z8CDE的面积为=.

7.如图，C是ZE的中点，BC=DC,求证：AABCaEDC.

8.如图，2。是AZBC的中线，尸为4D上一点,E为延长线上一点，且DF=DE.

求证：BE//CF.

9.(1)在AZBC中，若幺5=10,AC=6,求8C边上的中线的取值范围.

(2)在AZ5c中，。是5c的中点，DELDF于点、D,DE交4B于点,E,DF交AC于点、F,连接

EF,求证：EB+CF>EF.

10.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①，△NBC中，若48=12,AC=6,求边上的中线幺。的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长幺。至点£,使DE=AD,连接BE.由此可证

△ADC/EDB,从而得到BE=AC=6,再根据AABE三边关系得出AD取值范围.

E

图①图②

(1)小明解题过程中证出△ZQCmAEDB的依据是；

A.SASB.SSSC.AASD.HL

请参考小明的解题思路回答以下问题：

(2)如图②，4D是AABC的中线，BE交4c于E,交4D于R且4E=EF.若EF=4,EC=3,

求线段跖的长.

11.如图，AB1AD,AB=AD,ACLAE,AC=AE.

(1)如图1,ABAC.ZADE、NZEQ之间的数量关系为；

(2)如图2,点尸为DE的中点，连接4F.

①求证：BC=2AF.

②判断8c与2尸的位置关系，并说明理由.

图1图2

12.如图1,AN5c和AZQE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,连接。C,BE.

(1)若NZE5=90。，求NZOC的度数.

(2)如图2,连接5。、CE,若点尸是5。的中点，连接Z尸，求证：CE=2AF.

13.(1)方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1,在△ZBC中，48=8,

AC=6,

求5c边上的中线ZD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图2),

①延长40到“，使得。河=40；

②连接AW,通过三角形全等把45、AC,240转化在△4W中；

③利用三角形的三边关系可得的取值范围为48-+W,从而得到2。的取值范围

是；

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.

(2)请你写出图2中NC与5/的数量关系和位置关系，并加以证明.

(3)深入思考：如图3,40是△48C的中线，AB=AE,AC=AF,NBAE=NCAF=90°,请直

接利用(2)的结论，试判断线段2。与EE的数量关系，并加以证明.

E

图1图2图3

14.【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容:

例4理13213,在△ABC中，D是边BC的中

点，过点C画直线CE,使CE"AB,交AD的延长线

于点E,求证：AD=ED

证明：CE#AB（已知）

.,.NABD=/ECD,/BAD=NCED（两直线平

行，内错角相等）.

在AABD与AECD中，

Z.ABD=ZECD:ZBAD=ZCED（已证），

BD=CD（已知：）,图13213

「.△ABD逐AECD（A.A.S）,

...AD=ED（全等三角形的对应边相等）.

\7

（1）【方法应用】如图①，在△48C中，AB=6,AC=4,则8c边上的中线长度的取值范围

是.

（2）【猜想证明】如图②，在四边形48CD中，48〃C。，点E是5c的中点，若ZE是N8Z。的平分

线，试猜想线段46、AD、。。之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）【拓展延伸】如图③，已知48〃CF,点E是BC的中点，点。在线段ZE上，NEDF=NBAE,

若AB=5,CF=2,直接写出线段。尸的长.

图①图②图③

15.为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1,在

【探究发现I（1）图1中ZC与8N的数量关系是，位置关系是；

【初步应用】：（2）如图2,在ANBC中，若N5=12,AC=8,求3C边上的中线的取值范围.（提

示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变.例如：若3x<6,则x<2.）

【探究提升】：（3）如图3,是A4BC的中线，过点/分别向外作ZEL4B、AFLAC,使得

AE=AB,AF=AC,延长D4交EE于点P,判断线段£尸与/。的数量关系和位置关系，请说明理由.

16.综合与实践

小明遇到这样一个问题，如图1,△4BC中，4B=7,ZC=5,点。为5c的中点，求/。的取值范

围.小明的做法是：如图2,延长2。到E,使DE=4D,连接8£,构造等△包£）,经过推理和

计算使问题得到解决.

请回答：（1）小明证明△5EDm用到的判定定理是：

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

（2）40的取值范围是.

小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.

参考小明思考问题的方法，解决问题：

（3）如图3,在正方形4BC。（各角都为直角）中，£为48边的中点，G、尸分别为8c边上的点，若

AG=2,BF=3,NGEF=90°,求G尸的长.

17.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.

己知：如图，点£是5c的中点，点/在上，且NBAE=NCDE.

求证：AB=CD.

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明

的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证48=CD,

必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.

（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明.

①如图1,延长到点尸，使EF=DE,连接AF；

②如图2,分别过点5、C作BF工DE,CGLDE,垂足分别为点F,G.

（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明.

图1图2图3

18.《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力.目前

我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力.

【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明.

命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

如图1,△NBC中，ZABC=90°,8。是斜边ZC上的中线.求证：BD=-AC.

2

分析：如图2,要证明AD等于ZC的一半，可以用“中线倍长法”延长AD到£,使得=连接

AE,可证AaOE咨ACDB,再证明咨△8ZC,最后得到：BD=-AC.

2

请你按材料中的分析写出完整的证明过程；

【模型应用】如图3,在△48C中，ZACB=90°,延长8C到E,使得CE=，4g,。是48边的中点,

2

连接£0,求证：ZB=2ZE；

【模型构造】如图4,在AZBC中，ZB=30°,ZBAC=-ZB,延长8C到。，使得CD=8C,连接

2

AD,求/。的度数.

19.(1)【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,在中，若48=13,

AC=9,

求5c边上的中线的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点£,使DE=4D,连接5E,容易证得

△ADC均EDB,再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是.

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和

所求证的结论集中到同一个三角形之中.

(2)【初步运用】如图2,ZD是AZBC的中线，BE交AC于E,交4D于F,且