2024-2025学年人教版八年级数学上册 第13章 轴对称单元测试基础卷

第13章轴对称（单元测试-基础卷）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列常见的手机软件图标中，是轴对称图形的是（）

A.口

2.如图，VN2C与关于直线对称，尸为上任一点（A,P,H不共线），下列结论中不

B.垂直平分线段44'

C.V/BC与面积相等D.直线A8,N®的交点不一定在直线上

3.如图，V/2C中，点。在8c边上，做点。关于直线48的对称点£,连接/E,做点。关于直线/C的

对称点R连接/月.N2=61。，ZC=54°,则NE/尸的度数为（）

A.130°B.122°C.115°D.108°

4.如图，在平面直角坐标系中，点/（5,-6）关于点尸（0,加）对称的点H在x轴上，则加的值为（）

4章

'、、、、、O

P

5

B.C.一D.3

22

5.如图，两条平行直线a,b,从点光源〃射出的光线射到直线。上的/点，入射角为15。，然后反射光

线射到直线6上的3点，当这束光线继续从8点反射出去后，反射光线与直线6所夹锐角的度数为（）

A.30°B.25°C.20°D.15°

A.50°B.55°C.60°D.70°

7.如图’分别以点43为圆心，大于的长为半径作弧'连接两弧交点的直线交于点。’连接力。若

ZC=3,BC=5,贝UA/OC的周长是（）

C.11D.13

8.如图，在V/8C中，AB=AC,/8=30。，点尸为直线5c上一点，且/C=CP,连接NP,贝尸

的度数是（）

C.45°或135°D.30°或135。

9.如图，在V48C中，ZABC,N/C2的平分线交于点O,过点。作斯〃BC分别交45,/C于点E,

F,若/B=5,AC=4,则△/£尸的周长是（）

*

8

A.8B.9C.10D.11

10.如图，在V4BC中，ZC=90°,NB=30°,以/为圆心，任意长为半径画弧分别交N8,/C于点M

和N,再分别以M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点尸，连接ZP并延长交3c于点£）,

若2。=4,则CD的长为（）

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.如果点4-3，°）和点3修,2）关于>轴对称，那么a+6的值是.

12.如图，在V/8C中，4=32。,48=36。，点。是边上一点，点3关于直线CO的对称点为夕，当

8'。〃ZC时，则ZBCD的度数为.

13.如图，在V/2C中，AB、/C的垂直平分线分别交8c于点£、RBE=CF=5cm,EF=3cm,则

的周长为cm.

14.如图，ZAOB=45°",点、E、歹分别在射线0408上，EF=5,AOE尸的面积为10,点P是直线所

上的动点，点尸关于对称的点为6,点尸关于08对称的点为6，则/平第=人。45的面积最

小值为.

15.如图，点E在48上，/C与。E相交于点尸，△/38ADEC,//=30。，=70°,则NDK4的度数

为.

16.如图，在等边A/BC中，NB=8,E是以延长线上一点，且£/=3,。是BC上一点，且DE=EC,

则BD的长为.

17.如图，/AOB=25°,点、M,N分别是边。4,。3上的定点，点P,0分别是边。2,CM上的动点,

记NMP0=a,ZPQN=P,当MP+PQ+QN的值最小时，夕-c的大小=(度).

18.如图，在V/3C中，/C=8C,CE_L48于点E,将V48c沿着NC翻折得到△/OC,延长EC交4D于

点尸，连接50,设/A4c=々(夕＜45。)，以下四个结论:

(1)点E是NB的中点；

(2)直线NC是2D的垂直平分线;

(3)/BCD=4a；

（4）ZDC尸=90。一2c；

其中一定正确的是（填写序号）.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）如图1,在RtZ\/8C中，ZACB=90。，NA>NB,CDLAB,垂足为。.如图2,将A/CZ）沿CD

所在直线翻折，使点A落在边上，记为H.

（1）若/8=36。，求乙4'CB的度数.

（2）若=则4（8的度数为（用含a的代数式表示）.

20.（8分）如图，在四边形48CD中，92=90°,点£为边4g上一点，连接ED.请用尺规作图法，在

切上找一点P,使得NBEP+NBCP=18CP.（保留作图痕迹，不写作法）

21.(10分)如图，在VN8C中，AC=BC,44c8=120°,CD是边NB上的中线，的垂直平分线£7,

交BC于点E,交45于点尸，点G是/C上一点，且NCZ)G=15°.

(1)求证：AG=BD；

(2)若£尸=1,求/C的长.

22.(10分)如图，在四边形/8CA中，AD//BC,E是NB的中点，连接DE并延长交C8的延长线于

点尸，点M在BC边上，S.ZMDF=ZADF.

(1)求证：VADE^VBFE.

(2)求证：FM=DM.

(3)连接W,瓦0垂直平分。尸吗？说明理由.

FB

23.(10分)如图，在VN8C中，AB=AC，以3c为边作等边三角形8DC.点£在VNBC外，ZCBE=150°,

ZACE=60°.

(1)求N4DC的度数；

(2)求证：△/(7£是等边三角形；

(3)连接。E,若DELCD,AD=2,求。E的长.

24.(12分)【问题提出】如图1,在V/BC中，AB=AC,。是3C延长线上的点.连AD,以AD为边

作V/ZJE（£、。在/C同侧），使ON=OE、ZADE=ABAC,连CE.若N8/C=90。，判断CE与4C的位

置关系，并说明理由.

图1

(D【问题探究】先将问题特殊化.如图2,当。在线段8c上,/A4c=60。时，直接写出乙4CE的度

数

⑵再探究具体情形、如图1,判断CE与/C的位置关系，并说明理由;

(3汝口图3,在V48c中，AB^AC.点E为V/2C外1点，AD工BE于D,

NBEC=NBAC,DE=3,EC=2.求BD的长.

参考答案:

1.A

【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键.

根据轴对称图形的定义：在一个平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形;

由此问题可求解.

【详解】解：符合轴对称图形的定义只有A选项；

故选：A.

2.D

【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，轴对称的

三角形全等由此面积相等是解题的关键.

【详解】解：•・•△4BC与AZ'B'C'关于直线对称，P为上任意一点，

.L垂直平分

AAP=A'P,A4BC与A/'B'C'面积相等，故A,B,C选项不符合题意；

直线48,关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项符合题意.

故选：D.

3.A

【分析】此题考查轴对称的性质，由点£和点尸分别是点。关于和NC的对称点，得

NEAB=NBAD,ZFAC=ZCAD,再根据N3=61°,ZC=54°,所以

/A4c=/8/。+/。/。=180。一61。-54。=65。，即可求出答案.

【详解】解：,点£和点尸分别是点。关于45和NC的对称点，

:.NEAB=NBAD,ZFAC=ZCAD,

ZB=61°,ZC=54°,

ABAC=ABAD+ADAC=180°-61°-54°=65°,

:.NEAF=2NBAC=13Q°,

故选：A.

4.A

【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，过工作轴于

贝1J/"=5,=6,由轴对称的性质得到AP=A'P,证明“尸/修A/'O尸(AAS),得到OP=PH=^OH=3,

据此可得答案.

【详解】解：过/作轴于兄

•.•点/（5,-6）,

：.4H=5,OH=6,

:点4与点H关于点尸（0,加）对称,

/.AP=A'P,

在V/PH与△/'尸0中，

ZAHP=ZA'OP=90°

<ZAPH=ZA'PO,

AP=A'P

：.AAPH^AA'OP（AAS）,

OP=PH=-OH=3,

2

/.m=—3,

故选：A.

户'、、、、、

H1----，A

5.D

【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据"入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的

夹角相等"得到Na=15。，由平行线的性质可得N/BC=15。，即可得出结论.熟练掌握平行线的性质是解题

的关键.

【详解】解:如图，

.从点光源M射出的光线射到直线“上的/点，入射角为15。，然后反射光线射到直线6上的8点,

Na=15°,

a//b,

ZABC=Za=15°，

，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线6的夹角度数为15。.

故选：D

6.D

【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，先由平行线的性质得出N3=N1=4O。，Z2=Z5,因

为折叠得N5=/4,再结合平角概念列式计算，即可作答.

B

•••纸带的两边平行

Z3=Z1=40°,/2=/5

•••翻折

/5=/4=（180。-40。）+2=70°

Z2=Z5=70°

故选：D

7.B

【分析】本题考查了垂直平分线的作图及性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据作图可得线段4B

的垂直平分线交3C于点。，可得4D=BD,再根据三角形的周长计算方法即可求解.

【详解】解：根据作图可得，线段48的垂直平分线交8c于点。，

,AD=BD,

的周长为：AD+DC+AC,

：.AD+DC+AC=BD+DC+AC=BC+AC=5+2>^?,,

故选：B.

8.C

【分析】本题考查了三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的

关键.注意点尸为直线8c上一点，分别作图，运用三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质分别

列式计算，即可作答.

【详解】解：如图所示:

以点。为圆心，4。为半径画弧，分别交直线于两点，即耳连接4片，AP2

：.ZBCA=30°,Z^C=180°-30°x2=120°

・.•AC=CPX

.・・APXAC=(180°-/BCA)+2=75°,

AZ^B=120°-75°=45°,

VAB=AC,AB=30°

AZBCA=30°,ABAC=180°-30°x2=120°

・.・AC=CP2

：.ZCAP1=ZAP1C=15°

.・・/£/3=120。+15。=135。，

故选：C

9.B

【分析】本题考查角平分线，等腰三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定.根据角

平分线的定义，则乙=ZACO=ZOCB；根据平行线的性质可证得448。=/EO5,

ZACO=ZFOC,然后根据等角对等边，则=FO=FC,最后根据三角形的周长，即可.

【详解】•：BO,OC分别是/ZBC,//CB的角平分线，

:・ZABO=/CBO,ZACO=ZOCB,

EF//BC,

:・/EOB=/CBO,/FOC=/OCB,

:・AABO=/EOB,ZACO=ZFOC,

；.EO=EB,FO=FC,

,?AB=5,AC=4,

：.AE+EB=AE+EO^5,AF+FCAF+FO=4,

：.CAAFE=AE+AF+EF=AE+AF+EO+FO=5-t4=9,

故选:B.

10.C

【分析】作。E上48于点E，根据角平分线的性质得。£=CD,由28=30。知8D=2D£=4.本题主要考

查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质.

【详解】解:如图，作DE/4B于点E,

<AD为/CAB的平分线，

/.DE=CD,

・・•4=30。,

则5。=2。£=4,

：.DE=CD=2

故选：C.

11.5

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标为互为相反数，纵坐标相

同进行求解即可.

【详解】解：a)和点30,2)关于了轴对称,

/.b=—(—3)=3,a=2,

a+6=2+3=5,

故答案为：5.

12.38°/38度

【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用平行线的性质得到

ZADB'=ZA=32°,则由平角的定义可得N8D3'=180。-/402'=148°,然后根据轴对称的性质得到

ZCDB'=ZCDB,则可得NCD5的度数，进而问题可求解.

【详解】解：

ZADB'=ZA=32°,

ZBDB'=180°-ZADB'=148°,

,/点B关于直线CD的对称点为B',

：.NCDB，=ZCDB=gx（360。一ZBDB'）=106°,

：.ZBCD=180°-ZS-ZCDB=38°.

故答案为：38°.

13.13

【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相

等是解答此题的关键.直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论.

【详解】解：••・48、4C的垂直平分线分别交5C于点E、F,

:.BE=AE,CF=AF,

BE=CF=5cm,EF=3cm,

AAEF的周长为/E+/W+跖=3£+£F+C尸=13cm,

故答案为：13.

14.90°/90度8

【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，连接OP,过点。作尸交所的延长线于“，，

先利用三角形的面积公式求出OH,再根据轴对称的性质可得/4冲=/4B，NSQP=N8（线，

OPt=OP=OP2,从而可得/4。£=90。，然后利用三角形的面积公式可得的面积为:。产，根据垂

线段最短可得当点P与点H重合时，。尸取得最小值，的面积最小，由此即可得.

【详解】解：如图，连接OP,过点。作尸交所的延长线于方，

0/7=4,

•・•点尸关于。4对称的点为々，点尸关于08对称的点为鸟,

AZAOP=ZACF[,ZBOP=ZBOR,OPX=OP=OP2,

・・•ZAOB=45°f

APXOP2=2(ZAOP+ZBOP)=2ZAOB=90°,

：.^OPXP2的面积为；。公•。£=g。尸?,

由垂线段最短可知，当点尸与点”重合时，OP取得最小值，最小值为OH=4,

ag的面积的最小值为:x4?=8,

故答案为：90°；8.

15.700/70度

【分析】本题主要考查全等三角形的性质、等边对等角和三角形内角和定理，根据题意得//C2,结合全

等二角形的性质有NCED=NB和CB=CE,利用等边对等角和二角形内角和定理可求得NECB和ZACE,

即可求得答案.

【详解】解：；乙4=30。，4=70°,

AACB=80°,

△4BC空△DEC,

AZCED=ZB=70°,CB=CE,

：.^CEB=^B=10o,

：.ZECB=180°-Z5-ZCEB=40°,

则ZACE=ZACB-ZECB=40°,

那么，ZDFA=ZCFE=180°-ZCED-ZACE=70°.

故答案为：70。.

16.3

【分析】过点E作跖工8C于尸，先根据含30。的直角三角形的性质求出8尸，再根据等腰三角形的三线合

一性质求出。尸，即可得出50.本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30。的直角三角

形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键.

【详解】解：过点£作成工8c于尸；如图所示：

BDFC

贝ij/毋E=90。，

・・・△/BC是等边三角形，

ZB=60°,BC=AB=8,

ZFEB=90o-60°=30°,

'：BE=AB+AE=^+3=\\,

/.BF=—BE=5.5,

2

:.CF=BC-BF=2.5,

♦：ED=EC,EFIBC,

：.DF=CF=2.5,

:.BD=BF-DF=3；

故答案为：3.

17.50

【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M关于02的对称点AT,N

关于。4的对称点N',连接MN,交。2于点尸，交。/于点。，连接“P,QN,可知此时“P+PQ+QN

最小，止匕时NOm=NOW=0PN,AOQP=AAQN=AAQN',再根据三角形外角的性质和平角的定义

即可得出结论.

【详解】解：作M关于08的对称点AT,N关于CM的对称点N',连接MN',交02于点尸，交。4于点。,

连接MP,QN,如图所示.

根据两点之间，线段最短，可知此时MP+PQ+0N最小，即MP+PQ+QN=MN',

ZOPM=ZOPM'=QPN,ZOQP=ZAQN=ZAQN',

,/ZMPQ=a,ZPQN=/3,

：.ZQPN=1(180°-(z),ZOQP=g(l80P-〃)，

ZQPN=ZAOB+ZOQP,ZAOB=25°,

1(180o-a)=25°+1(180°-/?),

_a=50°,

故答案为：50.

18.①②③

【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据等腰

三角形三线合一的性质以及翻折的性质可判断①②，根据三角形内角和定理和平角的定义可判定③④.

【详解】解：••・NC=BC,CE1AB,

：.AE=EB,ABAC=NCBA

即点E是NB的中点，故①正确.

,将VABC沿着AC翻折得到AADC,

AB=AD,ABACADAC,NABC=NADC,ZACB=ZACD,

AC1BD,且/C平分2D,

即直线/C是8。的垂直平分线；故②正确.

■.-ZBAC=a[a<45°),

ZCBA=NADC=ADAC=ABAC=a,

ZACB=N4CD=180°-2a,

...ZBCD=360°-ZACB-ZACD=360°-2(180°-2a)=4(z,故③正确.

•••ZylCS=180°-2a,

ZECB=-ZACB=90P-«,

2

ZDCF=180°-/BCD-NECB=180°-4a-(90°-a)=90°-3a,故④错误.

综上①②③正确，

故答案为：①②③

19.(1)18°

(2)90°-2«

【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义以及性质，折叠的性质，掌握翻折的性质

是解本题的关键；

(1)先得到乙4=54。，再根据折叠的性质得WC=54。，根据三角形外角性质即可求解；

(2)由已知条件可得出A点落在线段3。上时，同(1)解题过程一样求解即可.

【详解】(1)解：•.•乙4c3=90。，48=36。，

N4=54°,

由翻折的性质可得出ZAA'C==54。，

,/ZAA'C=ZB+ZA'CB,

.,.乙4'。8=54-36。=18。；

(2)；NA>NB,且A点落在线段8〃上时，

,/ZB=a,ZACB=90°

:.ZA=90°-a,

由翻折可知NAA'C=ZA=90°-a

ZA,C3=ZAA,C-Z3=90o-a-a=90°-2a.

20.见解析.

【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.过点C作CP_LOE

于点P即可.

【详解】解：如图，点P即为所求.

(2)4

【分析】(工)根据等腰三角形性质得==ZACD=ZBCD=60°,由此可得

N4DG=N4GD=75。,进而得/G=40,据此可得出结论；

(2)根据线段垂直平分线性质得=则/ED8=/8=30。，进而得/CED=60。，从而得

△CDE为等边三角形，贝=在比ABEF中根据所=1,/8=30。得3£=2,由此得3c=4,进

而可得ZC的长.

【详解】(1)证明：在△45。中，AC=BC,ZACB=120°

ZA=AB=)(180。-ZACB)=30°

・・・CZ)是边48上的中线

:.CD上AB,AD=BD,ZACD=ZBCD=-ZACB=60°

2

.\ZADC=90°

•/ZCDG=15°

/.ZADG=ZADC-ZCDG=75°

/.ZAGD=180°~(ZA+ZADG)=180。—(30。+75。)=75°

/.ZADG=ZAGD=15°

/.AG=AD

AG=BD

(2),.・跖是线段8。的垂直平分线

:.DE=BE,EFLBD

:.ZEDB=ZB=30°

ZCED=ZEDB+/B=60°

•・•/BCD=60°

「.△COE为等边三角形

:.CE=DE

:.CE=BE

在R^BEF中,EF=1,ZB=30°

BE=2EF=2

:.CE=BE=2

BC=CE+BE=4

：.AC=BC=4

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及含30度角的直角三角形,

熟练掌握等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形是解决问题的关键.

22.⑴见解析

⑵见解析

⑶瓦1/垂直平分。/，见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识：

(1)根据可得/ADE=/F,可利用AAS证明V4DE之VAFE,即可；

(2)根据4D〃3C,可得/4DE=NF,再由乙如甲=乙4。9，可得/b=/〃0£,即可;

(3)根据V4QE也VB/£,可得DE=EF,再根据等腰三角形的性质解答，即可.

【详解】(1)证明：・・・/。|5。，

/.ZADE=/F,

•・•£是Z5的中点，

AE=BE,

在丫40£和△8FE中，

'/ADE=/F

<NAED=/BEF,

AE=BE

:JDE知BFE(AAS)；

(2)ffiBl：'：AD\\BCf

：.ZADE=/F,

•••ZMDF=ZADF,

/.ZF=ZMDE,

:.MD=MF.

(3)解：结论：EM垂直平分线段DP.理由如下：

VVADE@BFE,

DE=EF,

•：MD=MF,

:.ME1DF,

/.EM垂直平分线段DF.

23.(1)N4QC=15O。

⑵见解析

⑶。E=4

【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、含30。角的直角三角形的特征:

(1)利用等边三角形的性质及SSS可得ANDBGAZDC,进而可得=则可求解；

(2)利用ASA可证得△NC。之△EC2,进而可得ZC=CE,再根据等边三角形的判定即可证结论；

(3)连接。E,可得N£D8=30。，进而可得即=40=2,再根据DE=2EB即可求解；

熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键.

【详解】(1)解：•.•△3DC是等边三角形，

：.DB=DC,ZBDC=ZDBC=ZDCB=60°.

在和4ADC中，

AB=AC

<AD=AD,

DB=DC

：.AADB卷△/DC(SSS),