2024-2025学年辽宁省普通高中高二年级上册11月期中数学调研检测试题（含解析）

2024-2025学年辽宁省普通高中高二上学期11月期中数学调研检测试题

命题范围：立体几何、解析几何双曲线及之前试卷难度：提升

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后,

再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.已知°,6为两条直线，a,〃为两个平面，且满足aua,bu/3,=l,a//l,则“。与6异面”是“直线

6与/相交”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

22

工+工=1

2.若方程左Tk-3表示双曲线，则实数上的取值范围是（）

A.k<lB.l<k<3C,k>3D.左<1或左>3

3.两平行直线机x-3y-2=°与4x-6y-7=°之间的是巨离为（）

y/13叵3岳55

A.26B.13C.26D.26

22

XJ-1

4.设是椭圆/b2（a>b>G）的长轴，若把N8一百等分，过每个分点作《8的垂线，交椭圆的上半部

分于尸八P2..尸为，Q为椭圆的左焦点，则印什用什电什…+电9出耳切的值是（）

A.98〃B.99aC.D.

5.已知力为直线次+丫-4=0上的动点，B为圆。+1）2+、2=1上的动点，点（7（1,0）,贝12MBi+|BC|的最小值

为（）

A.4"B.3"C.2"D.V5

6.在四棱锥中，巳4,平面/38,4813。，二面角「一⑺一/的大小为45°,/O+CZ）=2,若点

P,48,C,O均在球。的表面上，则球。的表面积最小值为（）

7.已知曲线。：（厂+/）=9（厂一步）是双纽线，则下列结论正确的是（）

A.曲线0的图象不关于原点对称

B.曲线C经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C.若直线>=依与曲线C只有一个交点，则实数上的取值范围为（一汽一”

D.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

四=2

已知平面上两定点A、B,则所有满足户到

8.（4>0且Xwl）的点。的轨迹是一个圆心在45上，半径为

4

■I明

2

1-2的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体

ABCD一44GA表面上动点P满足眼=2网，贝。点p的轨迹长度为

)

4兀百兀

一+---竺+扃D.(2+6>

A.2兀B.32C.3

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法命题正确的是)

已知1=（0,1,1）,B=（o,0,-1）,则a在B上的投影向量为

A.

-2,0《

若直线/的方向向量为e=（LQ3）,平面a的法向量为“

B.，贝I）”/。

OP=，O/+机O3-〃OC（〃，加eR）™_„_1

C.已知三棱锥O-Z8C,点P为平面N2C上的一点，且2、，,则根―“一5

若向量方=：疝+好+丘，G,y,z都是不共线的非零向量）则称方在基底,乃力下的坐标为（见〃出，若

D.

3

方在单位正交基底m3©下的坐标为（123）,则P在基底下的坐标为ri

x2y2

=l（a>0,b>0）口

10.已知片，片是双曲线氏/b2的左、右焦点，过片作倾斜

71

角为7的直线分别交了轴、双曲线右支于点M、点P,且|河尸|=|河川，下列

判断正确的是）

71

A.B.石的离心率等于

1---

双曲线渐近线的方程为y=土后x3

C.D.△尸与鸟的内切圆半径是IJ

H.在直三棱柱/Be-451G中，"4=/8=BC=2

71

ZABC=-“

2,M是的中点，N是4a的中点,

点P在线段4"上，点。是线段CM上靠近屈的

三等分点，R是线段'G的中点，若尸R〃面片台，

则()

PR//B]Q

A.

B.P为'iN的中点

2

c.三棱锥P—4CM的体积为]

748

------71

D.三棱锥尸-NBC的外接球表面积为81

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆。1：/+旷2=16与圆。2：/+'2+/^+丫+小-16=()交于4,2两点，当k变化时，的最小值为

4避，则爪=.

13.如图，己知四边形N2CD是菱形，4B=BD=4,点E为的中点，把VNOE沿折起，使点/到达点P

的位置，且平面也㈤，平面2CDE,则异面直线尸。与3c所成角的余弦值为.

14.倾斜角为锐角的直线1经过双曲线。薪—万7n>°)的左焦点心,分别交双曲线的两条渐近线于4B两点，若

线段A8的垂直平分线经过双曲线C的右焦点&,则直线，的斜率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

如图所示，三棱柱/8C-44G中，侧棱垂直于底面，AB=5,训=/C=3,3C=4,点P。分别为

C]B的中占

(1)求端:况C。；

(2)求点0到平面P8G的距离.

16.(本小题满分15分)

已知圆°：f+.=4.

(1)直线4x-3y+“=0截圆。的弦长为26，求a的值.

(2)记圆。与X、夕轴的正半轴分别交于48两点，动点。满足I。4卜板由用，问：动点。的轨迹与圆。是

否有两个公共点？若有，求出公共弦长；若没有，说明理由.

17.(本小题满分15分)

如图，四棱锥P-4B。中，AB=PA=A,CD=CB=2,PD=273；AABC=60°,平面P48c平面

PCD=l,且/〃平面48CZ),平面P4D,平面N8CD.

(1)求四棱锥尸-N88的体积；

(2)设。为尸C上一点，若QA=QB,求二面角的大小.

18.(本小题满分17分)

22(QA

。:+彳=1(。>6>0)MI

已知椭圆ab2的右焦点为尸，点I3J在C上，且轴，过点M且与椭圆C

有且只有一个公共点的直线与x轴交于点尸.

(1)求椭圆0的方程；

(2)点尺是椭圆C上异于M的一点，且三角形MPR的面积为24,求直线妹的方程；

(3)过点P的直线交椭圆C于。,E两点(。在E的左侧)，若N为线段EP的中点，直线的交直线敏于点

°,?为线段。尸的中点，求线段7。的最大值.

19.(本小题满分17分)

在空间直角坐标系。一平中，已知向量"=伍，仇C）,点片（/。。*0）.若直线/以日为方向向量且经过点

P°，则直线/的标准式方程可表示为abc.若平面a以方为法向量且经过点兄，则

平面口的点法式方程可表示为.（％一%）+6&-%c（z-z°）=0,一般式方程可表示为ax+by+cz+d=O_

（1）若平面/：x+2yT=°,平面自：2>-z+l=0,直线/为平面因和平面片的交线，求直线/的单位方向

向量（写出一个即可）；

（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为。2、⑸/,其中平面。2经过点（4,0,0）,（3,1,T）,（-1,5,2）,平面

42：y+z=4,平面y：mx+（机+1）〉+（俏+2）z+3=°,求实数加的值；

（3）若集合M={（x,y,z）||x|+小4,回+匕归4,目+小4},记集合”中所有点构成的几何体为S,求几何体

S的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.

答案

命题范围：立体几何、解析几何双曲线及之前

一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要

求的.

题号12345678

答案CBCDCADB

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案CDACDACD

三、填空题：本题共小题，每小题5分，共15分.

3

7"

12.±2.13.4.14.7

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

12741

15.(1)证明见解析；(2)41.

8」

16.(1)a=±5；(2)有，公共弦长为5.

17.(1)6；(2)45。.

22

xyi8

y=­x

18.(1)98；(2)3.(3)2.

(212)

19.(1)匕33J；

(2)m=-\.

2兀

(3)体积为128,相邻两个面(有公共棱)所成二面角为3.

2024-2025学年辽宁省普通高中高二上学期11月期中数学调研检测试题

命题范围：立体几何、解析几何双曲线及之前试卷难度：提升

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知a,b为两条直线，a,£为两个平面，且满足aua,bu/3,=l,a//l,贝犷。与6异面”是“直

线6与/相交”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断.

【详解】当“。与6异面”，若直线6与/不相交，由于4/u〃，则从〃，

又a〃/,则“///）,这与。和6异矛盾，故直线6与/相交，

故“。与6异面”是“直线b与1相交”的充分条件；

当，直线△与/相交”，若。与6不异面，则。与方平行或相交，

若。与6平行，又。/〃，则〃？，这与直线6和/相交相矛盾；

若。与6相交，设油6=/,则Zea且"e夕，得/e/,

即/为直线aJ的公共点，这与。〃/相矛盾；

综上所述：。与6异面，即“。与6异面”是“直线6与/相交”的必要条件；

所以“。与6异面，，是“直线b与1相交”的充分必要条件.

故选：C.

上+上=1

2.若方程左-1卜-3表示双曲线，则实数上的取值范围是（）

A.k<lB.1<左<3

C.k>3D.左<1或左>3

【正确答案】B

【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围

【分析】根据双曲线方程的特征，列式求解.

22

上+2-=1

【详解】若方程左一1k-3表示双曲线，

则（£-1）（左-3）<0,得1c.

故选：B

3.两平行直线s-3y-2=0与4x-6y-7=0之间的距离为（）

V13V133屈5回

A.26B.13C.26D.26

【正确答案】C

【分析】先由两直线平行求出加=2,再代入两平行直线间距离公式求解即可；

m-3-2

———w—

【详解】由题意知4-6-7,所以机=2,

7

则4-6广7=0化为

-2+?广

,23V13

所以两平行直线2x-3y-2=0与4x-6y-7=0之间的距离为我+㈠了26.

故选：C.

22

---------1----------1

4.设是椭圆/b2（a>Z;>0）的长轴，若把一百等分，过每个分点作N8的垂线，交椭圆的上

半部分于尸八尸2...........尸纱，尸/为椭圆的左焦点,则田川+一即+―।+…+由％1+140的值是（）

A.98〃B.99aC.D.

【正确答案】D

【分析】根据椭圆的定义，写出归引+归引=2的可求出酉4卜国鸟I…।耳%।的和,又根据关于纵轴成对称

分布，得到结果.

【详解】设椭圆右焦点为F2,由椭圆的定义知由川+归川=2西=1,2,…，99）,

99

X。片4|+1月4|）=2。X99=198a

/.i=l.

由题意知4,…，3关于y轴成对称分布，

99199

E（I^I）=TE（I^I+I^1）=9刖

/.I2i=l.

又「|丹川+|片5|=2。，

故所求的值为101”.

故选：D.

5.已知力为直线2%+丫-4=0上的动点，B为圆0+1）2+/=1上的动点，点41,0）,贝!]2|AB|+|BC|的最小值

为（）

A.4GB.3@C.24D.P

【正确答案】C

【知识点】求点到直线的距离、定点到圆上点的最值（范围）、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）

【分析】设。（知⑵网吗M），不妨令|8。|=2田。],根据两点间的距离公式求出点。的坐标，则要使

2MBi+|BC|最小,即2（网+田。|）最小,求出|AB|+|BD|的最小值即可得解.

【详解】设0（%。，°）风久1必）,不妨令|BC|=2|BD|,

则J（%IT）2+"=2j（x「通了+吊,

整理得3（%i+I）?+3犬=-4%o+4x1+8x1x0+4,

又3（久1+I）2+3yj=3,所以4君一4乂1一8%i久（j-l=。，

-

则（2与+l）（2x0-4x1-l）=0,解得%o=2,

所以存在定点。（€°）,使得18cl=2|即，

要使2|4B|+|BC|最小,即2（|4用+田。|）最小,

则4B,。三点共线，且。/垂直于直线"+y-4=0时取得最小值，如图所示,

关键点点睛:设°&，°）方（打乃），^\BC\=2\BD\,将所求转化为求MB|+|BD|的最小值,是解决本题的关

键.

6.在四棱锥?_/2。中，加,平面二面角尸_0°_/的大小为45°,NO+CO=2,若点

尸，45均在球0的表面上，则球。的表面积最小值为（）

8876V3

—71---71-----71

A.3B.27C.3兀D.2

【正确答案】A

【分析】根据题设易得NC是四边形外接圆的直径，J°中点为尸一外接球球心，令/°=工且

°<x<2,求得外接球半径关于x的表达式，求其最小值，即可求表面积最小值.

［详解］由题设，A,B,C,O在一个圆上，故N4DC+N4BC=180。，又4BLBC,

所以乙40c=90。，即NOLCD,故/C是四边形NBC。外接圆的直径，

由尸/_L平面/BCD,BC,CD,NCu平面/BCD,则尸/_L3C,PALCD,PA1AC,

由尸'口"=/,PA,4Bu平面尸N8,则8cL平面尸N8,尸2u平面尸N8,则8C_L尸8,

由尸=PA,NOu平面尸40,则CD_L平面P4D,P/u平面尸40,则CD_LPN,

故△P5C,△尸CD,VPC4都是以尸C为斜边的直角三角形，故尸C中点为尸-N8CD外接球球心,

且/PZM为二面角P-CD-/的平面角，故/PD/=45。，

因为/PDA=45。，AD+CD=2f

令AD=x且0<x<2,贝ijPA=x,CD=2—x,

故/C=ylAD2+CD2=yj2x2-4x+4,

R=-=-^PA2+AC2=--A/3X2-4X+4l3(x--)2+-

所以外接球半径2222V33

x=-R.=—47rx（—）=—Tt

当3时，mm3,此时球°的表面积的最小值为33.

故选：A

7.已知曲线。：（x,+r）=9。2-产）是双纽线，则下列结论正确的是（）

A.曲线°的图象不关于原点对称

B.曲线0经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C.若直线了=依与曲线C只有一个交点，则实数上的取值范围为（一叱一口

D.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

【正确答案】D

【分析】将（一见一了）代入方程，可判断A；结合方程，求解整点坐标，可判断B；联立方程组，结合其解唯一求

出k的范围，判断C；结合方程以及距离公式可判断D.

【详解】对于A,结合曲线。：（Y+V）=9（xf）将（一3）代入，

方程不变，即曲线C的图象关于原点对称，A错误；

对于B,令…，则（*）=9x：解得x=±3,

令》=±1,贝ijQ+y）=9（17）,解得>=—2一,

,、2,、2-17+V369c

令.±2,则（4+/）=9（4-y）解得>——2—",

故曲线C经过的整点只能是（°，°），（3，°），（T0）,B错误；

对于c,直线尸履与曲线。：（*+y2）=9g-「）必有公共点（0，。），

@2

因此若直线＞=履与曲线C只有一个交点，则

即无4（1+《）=9厂（1-/）只有一个解为》=0,即xwO时，*

故1-廿40,即实数人的取值范围为（T°，T]U[1,+=O）,c错误，

229,-力

对于D,由G/2+＞2V）_=9Q/（x2—y2、）,可得X+•V—-----X--z--+----y---z----G9,y=°时取等号，

则曲线C上任意一点到坐标原点0的距离为"=^'+/＜3,即都不超过3,D正确，

故选：D

8.已知平面上两定点A、B,则所有满足户朗（彳＞0且义#1）的点尸的轨迹是一个圆心在上，半径为

■明

U一”I的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体

表面上动点尸满足旧=2|叫则点尸的轨迹长度为（）

【正确答案】B

【分析】根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心。位置及半径，P在空间内轨迹为以。为球心的球，球与面

ABB'A',8CG4交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，求出在截面内的圆弧的长度即可.

【详解】

在平面中，图①中以8为原点以为x轴建系如图，设阿氏圆圆心°（氏°）,半径为小

■：\PA\=2\PB\,:.阳=2x3=2

设圆。与N2交于M由阿氏圆性质知W码，

BM|=2-\BO|=2-a,AM|=21|=4-2o；

4—2Q+2—a—6—3a—3,/.a=1,0（1,0）

尸在空间内轨迹为以。为球心半径为2的蘸，

若尸在四边形内部时如图②，截面圆与分别交于历所以「在四边形”8q4内的轨迹为蕨，

/一兀2

・・•\RO\=2,忸O|=1,在RGRBO中/ROB=60°,••琳兀,

2

所以，当尸在面力844内部的轨迹长为

2

—7L

同理，当尸在面/BCD内部的轨迹长为3,

当尸在面BCCA时,如图③所示,

面平面截球所得小圆是以8为圆心，以8P为半径的圆，截面圆与8为2。分别交于

11

R,Q,^BP=4OP-OB=V4^1=V3；

所以P在正方形8CC由内的轨迹为RQ,

^2=-x>/3=—7T

所以22.

22G4百

—兀+—71H-------71=-71H--------兀

综上：P的轨迹长度为33232

故选：B

方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周

长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长.

9.下列说法命题正确的是（）

A.已知@=（°/，1）,*=（。，。，-1）,则不在行上的投影向量为I'5'2J

A.若直线/的方向向量为e=003）,平面々的法向量为"I则//小

OP=—OA+mOB-nOC(n,meR)1

C.已知三棱锥。-/BC点P为平面NBC上的一点，且2则机一九=5

D.若向量力=欣+城+后，（x,修z都是不共线的非零向量）则称方在基底口J"｝下的坐标为（私〃阳,

若方在单位正交基底依石©下的坐标为(123),则方在基底但一不，力+石，现下的坐标为I2,2,J

【正确答案】CD

【分析】根据投影向量公式计算判断A,应用向量共线判断B,判断四点共面判断C,根据基底运算判断D.

【详解】对于A,由于@=(0,U),1=(0,0,-1),则a在不的投影向量为

同cos.比今二172x^1(0,0,-1)=(0,0,1)

网，故A错误；

对于B,e-n=-2+2=0,所以〃/a或/utz,A错误；

对于C,因为P为平面ABC上的一点，所以己4及C四点共面，

OP=—OA+mOB-nOC(n,meR)

则由共面定理以及2,可得，

-+m-n=l

2,所以加一九一"C正确；

对于D：万在单位正交基底伍瓦现下的坐标为023),即7=1+23+31=(1,2,3),

所以P在基底｛万—3,5+3,3〉下满足(1,2,3)=%伍—3)+、伍+3)+2?=(>+))4+3―X)3+2/=0+%>一工/),

13

,%=—y=-

故x+/=l,y-x=2,z=3,解得2,2,z=3,

则"在基底｛"随-+3-©下的坐标为I5'5'人故D正确.

故选：CD.

22

10.已知耳，鸟是双曲线E：a2b1的左、右焦点，过耳作倾

71

斜角为石的直线分别交y轴、双曲线右支于点河、点尸，且1”刊=1孙1

下列判断正确的是()

71

A."眄一《B.£的离心率等于

r,用

3C

C.双曲线渐近线的方程为》=±a无D.右。耳片的内切圆半径是IJ

【正确答案】ACD

【分析】根据已知条件可得出轴，可判断A项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐次

方程可求解离心率，故可判断B项；结合/=/+",得到。一,即可求得渐近线方程，可判断C项；利用

三角形等面积法得到内切圆半径r的表达式与c有关，可判断D项正确.

【详解】如图所示，

因为M,。分别是尸片，尸内的中点，所以用用中，PF.//MO所以抒^无轴,

一/FPF=—

A选项中，因为直线尸耳的倾斜角为6,所以123,故A正确;

B选项中，直角以即中，F浜=2c,PFL^C,PK=『,

尸工=2a=空ce=-=V3

所以3,得：a,故B不正确；

2=夜

C选项中，由，=/+/,即，=3/,即/+/=3/,gpa,

y=+—x=+yf2.x

所以双曲线的渐近线方程为：.«,故C正确；

D选项中，△尸耳片的周长为G+2g>,设内切圆为「，根据三角形的等面积法，有（2+2百"=2c•行

得:,故D正确

故选：ACD.

11.在直三棱柱/8C-481cl中，"4="='0=2,

TT

ZABC=-“

2,M是48的中点，N是4G的中点，

点P在线段4N上，点0是线段CM上靠近屈的

三等分点，R是线段/G的中点，若尸R〃面与cw

则)

PR//BXQ

B.P为4"的中点

2

C.三棱锥P一4cM的体积为3

748

-------71

D.三棱锥尸-N2C的外接球表面积为81

【正确答案】ACD

【分析】由线面平行的判定定理得线线平行，从而判断A,并利用平面几何知识证明判断B,证明三棱锥

P-B&M的体积等于三棱锥2-瓦CM的体积，由体积公式计算体积后判断C,确定三棱锥尸一/BC的外接球球

心。在NS上（如图），求出球半径后得球表面积判断D.

【详解】对于选项AB,连接8。并延长交C4于S,连接四，

由平面几何知识可得：S是C”的中点，且N,R,S三点共线，。是V/8C重心，

因为PR〃面旦C”,PRu平面片NS2,平面片NS8n平面片侬=4°,所以用〃4°,

作SKHBQ交B、N于K,由直棱柱性质有用"〃做，因此用心0是平行四边形，-SQ--BS--B.N

又由平面几何知识知氏是四中点，因此尸是NK中点，

NP=-NK=-X-B,N=-B.N

从而223131,即尸为B瓦M乂上靠近双的三等分点，所以A正确，B错误;

B,P=BQ=—BSRACROC

对于选项C,3,因此是平行四边形，所以BP与8©互相平分，从而尸与5点到平面

B'CM的距离相等，三棱锥尸-瓦*的体积等于三棱锥的体积,

1c,c2

-B-B、CM~—B'-BCM=ZX—x2xlx2=—

而323,所以C正确;

对于选项D,•：V4BC的外心是s,由强〃CG得NS1平面ABC,

...三棱锥P-/2C的外接球球心一定在直线泗上，

设三棱锥尸一/BC的外接球球心为0,半径为凡OS=h,

则炉=0/2:次+2=5户/=2+/

、2

22

R2=OP2=NP2+ON2=+（2-A）=^--4h+h

3）

cj、

2+h=-3-8-4h+hh,=—5R=2-\25=187

9，解得：9,8181,

球表面积为SE小詈兀，所以口正确.

故选：ACD.

12.已知圆好：/+丫2=16与圆。2：/+y2+kx+y+7n—16=。交于a8两点，当k变化时，|力用的最小值

为4群，则爪=.

【正确答案】±2

【知识点】己知圆的弦长求方程或参数、相交圆的公共弦方程

【分析】先求两个圆的公共弦所在直线方程，利用勾股定理求出弦长的表达式，结合最值可得答案.

【详解】两圆的公共弦所在线的方程为：kx+y+m^O,圆心G到直线的距离为“工必，

的=声三，因为1+旌1,所以;16-$23?

故答案为±2

13.如图，己知四边形/BCD是菱形，48=30=4,点后为的中点，把VNZJE沿折起，使点/到达点

P的位置，且平面PDE1平面BCDE,则异面直线PD与BC所成角的余弦值为.

P

【正确答案】4/0,75

【详解】因为5c〃/。，故/尸。4或其补角就是异面直线PD与BC所成的角，

连接PA,易知a>=/。=4,PE=AE=2,

因为平面尸。£口平面8CDE=£>£1,菱形/BCD中，AB=BD,

即是正三角形，E为48中点,则NE1OE,所以PE1DE,又BELDE,

所以/尸防即为平面PDE与平面BCDE所成的二面角的平面角，

因为平面PDE1平面BCDE,

所以NPE8=90。，/PEA=9Q°,所以PE1/E,

所以PA=VPE2+AE2=2A/2,在t^PDA中，

42+42-^V2^

PD°+m-PA?3

cos/PDA=

由余弦定理得2PD-AD2x4x44,

3

所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为4.

3

故1

B〜1，

/E

14.倾斜角为锐角的直线/经过双曲线“京—裾=0）的左焦点心，分别交双曲线的两条渐近线于4B两点,

若线段4B的垂直平分线经过双曲线C的右焦点尸2,则直线Z的斜率为.

【正确答案】

【知识点】已知两点求斜率、已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围

+%2丫1+1

【分析】设4（”1当）#（%2%），M（2，2）,依题意，利用点差法推出=结合图形得到

2kAB

ZMOF2=2ZMF1O）即得给M一心，与前式联立消去%M,计算即得.

【详解】

x2

设SB中点为此两渐近线可写成百一，=°,设”（叼为）]（久2y2）,

=。①

贝严（空，空）,且博羽=。②

（%1+%2）（%1一%2）zxz,x

①-②可得—3—=（乃一乃）（乃+乃），

y1+力

力一丫21

-------•-------——[

整理得，巧一巧空3,即卜。/以8=§（*）,

1

如图，在Rt△尸1M&中，1。时|=/园=1。尸11,则=2NMF1。

2tanz.MF,02