2024-2025学年人教版八年级数学上册 第13章 轴对称 单元测试培优卷

第13章轴对称（单元测试-培优卷）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列图形中是轴对称图形的是（）

2.如图，点N在直线/上，△NBC与夕C关于直线/对称，连接A8L分别交NC,于点D,血

连接CC,下列结论不一定正确的是（）

A.NBAC=NB'AC'B.CC||BB'

C.BD=B'D'D.AD=DD'

3.我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某忆型路口放置如图所示的两个平面镜34,两个

平面镜所成的夹角为N1,位于点。处的甲同学在平面镜4中看到位于点/处的乙同学的像，其中光的

路径为入射光线48经过平面镜4反射后，又沿2c射向平面镜/?，在点C处再次反射，反射光线为C/）,

已知入射光线/2〃4,反射光线8〃/「则N1等于（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

4.如图，已知。〃6,直线/与直线0,6分别交于点N,B,分别以点/,5为圆心，大于长为半径

画弧，两弧相交于点N,作直线"N分别交直线0,6于点。、C,连接/C,若Nl=35。，则N34D的

度数是（）

5.如图，在等腰RtA43C,ZBAC=90°,AB=AC,8。为VNBC的角平分线，过点C作CE交8。

的延长线与点E,若CE=2,则AD的长为（）

A

6.如图，ZACB=ZAED=9（F,NCAE=/BAD,BC=DE,若BD〃AC,则/48C与/。E间的数

量关系为（）

A.2ZABC=NCAEB.ZABC=ZCAE

C.ZABC+2ZCAE=9Q°D.2ZABC+ZCAE=1^0°

7.某平板电脑支架如图所示，其中/8=CD,EA=ED,为了使用的舒适性，可调整//EC的大小.若

N/EC增大16。，则N8DE的变化情况是（）

A.增大16。B.减小16。C.增大8。D.减小8。

8.如图，在V4BC中，ZBAC=80°,边力B的垂直平分线交BC于点E,边NC的垂直平分线交NC于点尸，

连接AE,AG.则ZEAG的度数为（）

C.25°D.20°

9.如图，在中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,ND是△NBC的角平分线，若尸，0分别是ND

和/C边上的动点，则PC+PQ的最小值是（）

10.如图，在VN2C中，ZBAC=90°,4D是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交4D于G,交,BE于H,

下面说法：①Lw=S'Bc.；②N/FG=N/GF；③/以G=2乙4CF；④=其中正确的是（）

A.①②③④B.①③C.②③D.①③④

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.如图，在V48c中，分别以点8和点。为圆心，大于1台。的长为半径画弧，两弧相交于点M、N,

作直线&W,交4B于点D,连接CD,若V4BC的周长为24,BC=9,则△4DC的周长为.

12.如图，直线机〃〃，点N是直线加上一点，点2是直线"上一点，48与直线机，”均不垂直，点尸

为线段的中点，直线/分别与加，〃相交于点C,D,若NCPD=9Qo,CD=^,m,〃之间的距离为2,

则PC-PD的值为

13.如图，ZA=NEGF,F为BE,CG的中点，DB=5,DE=3,则40的长为.

14.如图所示，在平面直角坐标系中，丫/2(7满足/氏4。=45。,/位/=90。，点/,C的坐标分别是

(-2,0),(-3,5),点3在y轴上，在坐标平面内存在一点。(不与点。重合)，使"BC四A4BD,且NC

与AD是对应边，请写出点。的坐标.

15.如图，ZAOB=60°,C是80延长线上一点，OC=12cm,动点”从点C出发沿射线C3以2cm/s的

速度移动，动点N从点。出发沿射线CM以lcm/s的速度移动，如果点M、N同时出发，设运动的时间为

ts,那么当年s时，△MON是等腰三角形.

A

'N

CMOB

7

16.如图，锐角A48C中，//=30。，BC=-,A4BC的面积是6,D,E,尸分别是三边上的动点，则

2

/周长的最小值是.

17.如图，在平面直角坐标系中，点4,4,4,4在X轴正半轴上，点用，鸟，鸟，…在直线y=\-x(x20)

上，若4(1,0),且△4玛4,△&与4，星4，...均为等边三角形，则线段4。214。22的长度为.

方AIA2AAsx

18.如图，将长方形纸片48CD沿跖折叠(折线跖交4D于£,交BC于F),点、C、。的对应点分别是

£、2,E2交8c于G,再将四边形CRGF沿FG折叠，点G、2的对应点分别是G、2,GD2交EF

于H,给出下列结论：

BG；F>C

I\

①ZEGD2=ZEFG

②2ZEFC=ZEGC+180°

③若ZFEG=26°,则ZEFC2=102。

④ZFHD2=32EFB

上述正确的结论是.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）在V48c中，ZACB=90°,AC=BC=BE,AD1EC,交EC延长线于点D.

求证：CE=2AD.

20.(8分)如图，点尸是//OB外的一点，点E与点尸关于CM对称，点尸与点尸关于。2对称，直线正£

分别交。4、03于。、。两点，连接尸C、PD、PE、PF.

(1)若/00=/尸=2),求/CPD的度数；

(2)若求C尸=。尸，CF=13,DE=3,求CP的长.

21.(10分)如图，在V4BC中，平分ZA4C,点£为NC中点，40与BE相交于点尸.

(1)若//BC=38o,N/C2=82。，求的度数；

(2)过点8作3〃1/。交/。延长线于点H,作关于对称的A/GH,设ABFH,△/£■厂的面

积分别为H，邑，若加c°=6,试求H-邑的值.

A

E

C

G

22.(10分)已知：。尸平分/MON,点48分别在边OM,ON±.,且/CU尸+/。3尸=180。.

(1)如图1,当AP〃(W时，求证：OB=PB.

(2)如图2,当/O4P<90。时，作尸C_L(W于点C.求证：OA-OB=2AC.

图1图2

23.(10分)已知，在V/3C中，ZCAB=90°,/DI3c于点。，点E在线段8。上，且CD=OE,点尸

在线段45上，且/BE尸=45。

(1)如图1,求证：NDAE=NB

(2)如图1,若NC=2,且/尸=25尸，求V48c的面积

(3)如图2,若点尸是的中点，求沁的值.

3Azec

图1图2

24.(12分)如图，在V48c中，ZACB=90°,ZABC=30°,ACDE是等边三角形，点。在边NB上.

(1)如图1,当点E在边3c上时，求证。石=仍

(2)如图2,当点E在VN8C内部时，猜想EZ)和EB数量关系，并加以证明；

(3)如图3,当点E在V/BC外部时，EH—B于点、H,过点E作GE||4B,交线段NC的延长线于点G,

AG=5CG,BH=3,求CG的长.

参考答案：

1.B

【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，折叠后对称轴两旁的图形

重合.

根据轴对称图形的意义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就

叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.据此判断即可.

【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；

C、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意.

故选：B.

2.D

【分析】利用轴对称的性质和全等三角形的性质逐项判断即可.

【详解】解：•・•△A8C与关于直线/对称，

:必ABC三△ABC,BB'LI,CC'LI,AB=AB',ACAC,

；.ABAC=ZB'AC,CC'\\BB',即选项A、B正确；

由轴对称的性质得：OD=OD；OB=OB，,

:.OB-OD=OB'-OD',即8。=9。，选项C正确；

由轴对称的性质得：40=/£），，但40不一定等于DDL即选项D不一定正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键.

3.C

【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的

关键.由光的反射定律以及平行线的性质，推出4=N3=N5,再结合三角形内角和，推出N1的度数.

【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道N5=/2,/3=/4

A

VAB//l2,CD//1,

、k

Z1=Z2,Z1=Z4

Z1=Z3=Z5

•/Zl+Z3+Z5=180°

/.Zl=60°

故选：C.

4.B

【分析】本题考查尺规作图-垂直平分线、三角形内角和定理、平行线的性质，由题意得，是直线/的

垂直平分线，可得〃乂，/,根据三角形内角和定理求得NC以=55。，再根据平行线的性质求解即可.

【详解】解：由题意得，“N是直线/的垂直平分线，

：.MNll,

NCBA=180。一90。-35。=55。,

•：a"b、

：.ABAD=ZCBA=55°,

故选：B.

5.B

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，延长CE交"的延长线于

点尸，证明用AC4F（ASA）,得BD=CF,再证NBFC=/BCF,得BC=BF,然后由等腰三角形的

性质得产E=CE=2,即可得出结论.掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键.

【详解】解：如图，延长CE交A4的延长线于点尸，

•；NBAC=90。,CEYBD,

JZCAF=ABAC=ZDEC=90°,

ZADB=ZCDE,

・•・ZABD=90°-/ADB=90°-ZCDE=ZACF,

在△540和VC4厂中，

/BAD=ZCAF

<AB=AC,

ZABD=ZACF

：.出ACAF（ASA）,

：.BD=CF,

•：CE_LDB,

；・/BEF=/BEC=9U。,

9：ABC,CE=2,

：.AFBE=/CBE,

・•・ZBFC=90°-ZFBE=90°-ZCBE=/BCF,

JBC=BF,

：.FE=CE=2,

；.BD=CF=2CE=4,

・・・助的长为4.

故选：B.

6.A

【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质，解题的关键是掌握全等

三角形的对应边相等，等边对等角.

易得/ABD=90。-/ABC,通过证明△/BC四△/Z）£（AAS）得出4。=,贝U//皿==90。—/45C,

最后根据在△45。中，AABD+ZADB+ABAD=180°,即可得出结论.

【详解】解：•・•瓦）〃4C,

・・・NCBD=180°-NACB=90°,

JZABD=900-ZABC,

9：/CAE=/BAD,

：./CAE+NBAE=/BAD+/BAE,即ABAC=NDAE,

ABC和V/。石中，

ZACB=ZAED

<NBAC=NDAE,

BC=DE

：.AABC丝AAS),

JAD=AB,

：.ZABD=ZADB=90°-/ABC,

在△45。中，AABD+AADB+ABAD=2(90°-ZABC)+ZCAE=180

整理得：2/4BC=/CAE,

故选：A.

7.D

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，设设原来乙(EC=x。，求出此时

/%加=(180-"。，然后类似求出变化后4少£=(172-小。，然后两角作差即可得出结论.

【详解】解：设原来44EC=x。，则44ED=(180-x)。

,/EA=ED,

：.NEAD=ZEDA=1(18(F-ZAED)=臣，

ZBDE=180°-NEDA=，80-j,

//EC增大16。后，NHE'C'=(x+16)。，

ZE'A'D'=ZE'D'A'=1(180°-ZA'E'D)+8]c,

ZB'D'E'=lS(f-ZE'D'A'=,72-,

ZB'D'E'-NBDE=(172--(180-1^°=-8°,

，ZBDE的变化情况是减小8。,

故选：D.

8.D

【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到EB=EA,GA=GC,再利用等腰三角形的性质得到NB=AEAB,

ZC=ZGAC,接着利用三角形内角和定理得到NB+/C=100。，然后利用

NEAB+ZGAC=ABAC+ZGAE=ZB+ZC可计算出NGAE的度数.本题考查了线段垂直平分线的性质，

三角形的内角和，角的和差关系，等腰三角形的性质掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.

【详解】解：垂直平分4B,

EB=EA,

：.NB=NEAB,

尸垂直平分/C,

GA=GC,

：.ZC^ZGAC,

,/ABAC=80°,

.•.在A/BC中，Z5+ZC=180°-ZSy4C=100°,

NEAB+AGAC=ZBAC+NGAE=ZB+ZC,

：.80°+/G/£=100°,

NGAE=20°.

故选：D.

9.C

【分析】过点C作CM_LAB交AB于点M,交AD于点P,过点P作PQ_LAC于点Q,由AD是/BAC的平分

线.得出PQ=PM,这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用面积法即可求得答案.

【详解】

如图，过点C作CMLAB交AB于点M,交AD于点P,过点P作PQLAC于点Q,

VADMZBAC的平分线.

；.PQ=PM,这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，

VAC=3,BC=4,ZACB=90°,

AB=A/AC2+BC2=A/32+42=5，

■:s撬BC=；AB-CM=；AC-BC,

.…ACBC3x412

..CM=----------=------=—,

AB55

故选：C.

【点睛】本题主要考查了轴对称■最短问题以及角平分线的性质，解题的关键是学会利用轴对称的性质找出

满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置.

10.C

【分析】①无法证明是否同底等高的两个三角形面积相等即可判断；②根据三角形内角和定理求出

ZABC=NCAD,根据三角形外角性质即可推出；③根据三角形内角和定理求出4=根据角平

分线定义即可判断；④根据等腰三角形的判定方法即可判断.

【详解】解：,・•无法证明4尸=8尸，

故无法证明=S.BCF，

故①错误；

・・・CF是角平分线，

/.ZACF=ZBCF,

,•*AD是高，

ZADC=90%

NBAC=90。,

:.ZABC+ZACB=90\ZACB+ZCAD=90°,

/.ZABC=ZCAD,

•••ZAFG=ZABC+ZBCF,ZAGF=ZCAD+ZACF,

:.ZAFG=ZAGFf故②正确；

,«*AD是IWJ，

/./ADB=90°,

ZBAC=90°，

ZABC+ZACB=90°,ZABC+ZBAD=90°,

ZACB=ABAD,

••・%是角平分线，

ZACB=2ZACF,

ABAD=2NACF,

即/E4G=24CF,故③正确；

根据已知条件不能推出/HBC=AHCB,

因此不能证明Ba=CH,故④错误；

综上可知，②③结论正确，

故选C.

【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，

难度一般，解题的关键是综合运用上述知识.

11.15

【分析】本题考查作图一基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的

关键.

由作图过程可知，直线为线段8c的垂直平分线，则。B=Z)C.由题意可得，AB+AC=15,则△4DC

的周长为4D+CD+/C=4D+AD+/C=4B+/C求解.

【详解】解：由作图过程可知，直线"N为线段的垂直平分线，

：.DB=DC.

•.,V/8C的周长为24,BC=9,

：.AB+AC=15.

：.AADC的周长为AD+CZ»+HC=/D+BD+NC=A8+4C=15.

故答案为：15.

12.V6

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，延长CP交BD于点G,过点尸作跖，〃，

证明会AGPB,得到CP=PG,进而得到CD=Z)G,证明A/E尸名ABFP,得到取=尸尸，再根据等积

法，得到尸。•尸G=DG•尸尸，等量代换，即可得出结果.

【详解】解：延长C尸交AD于点G,过点尸作成_L〃，

AC/Em

/DFGB

*.*m//n,

：.EFlm,ZACP=/BGP,

:・EF=2,NAEP=NBFP=9。。,

•・•点P为线段45的中点，

/.AP=BP,

・.•/APE=4BPF,ZAEP=/BFP=90°,

J^AEPWBFP,

：.EP=FP=-EF=1,

2

•：AP=BP,ZACP=/BGP,ZAPC=ABPG,

J^CPA^GPB,

：.CP=PG,

NCPD=90。,

J.DPLCG,

：.DP垂直平分CG,

:,CD=DG=E

•：DP1GP,PFIDG,

：.S=-DPPG=-DGPF,

△DPPGC22

ADPPG=DGPF=46xl=屈，

■:CP=PG,

•9-DPPC=46;

故答案为：V6.

13.1.5

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决

问题的关键.先证明△/DG和V/5C是等腰三角形，再证明AEG尸名A8CF（SAS）,设4D=X,则。G=X,

根据。E=8,列方程可得结论.

［详解】解：•.•//=NEGF,ZAGD=ZEGF,

ZA=ZAGD,

/.AD=DG,

设=x,则。G=x,

在AEG尸和VBC厂中，

EF=BF

</EFG=/BFC,

FG=FC

:AEGFaBC%A0,

:.BC=EG,ZE=ZEBC,

/.EG//BC,

AAGD=NC=N4,

.，.BC=AB=x+5=EG,

•;DE=8,

x+x+5=8,

・•x=1.59

AD=1.5.

故答案为：1.5.

14.（3,1）

【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性

质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键.过C作轴于“，过。作DNLy轴于N,根

据已知可得V/3C是等腰直角三角形，得到BC=/3,利用等量代换，进而可证AC3M%A4O（AAS）,由

此得到BM=A0-2,OB=CM-3,再证明^DBN=^CBM（AAS）,即可得到DN—CM=3,BN—MB=2,

ON=OB-NB=\,由此可求点。的坐标.

【详解】解：过C作CMLy轴于过。作。轴于N,

•・•点A,C的坐标分别是(-2,0),(-3,5),

:.OA=2,CM=3,OM=5,

•・•NBAC=45。,/CBA=90。,

.•.△4BC是等腰直角三角形,

二.BC=AB,

•・•/BCM+/CBM=AABO+/CBM=90°,

/BCM=/ABO,

♦・•/CMB=/AOB=9(T,

「.△CW也△BZO(AAS),

：.BM=AO=2,OB=CM=3,

•••△ABC咨AABD,

/.BD=BC,

•・•ZDBN=NCBM,ZDNB=ZCMB=90°,

:.^DBN^CBM(AAS),

DN=CM=3,BN=MB=2,,

:.ON=OB—NB=3—2=1,

.:。的坐标是(3,1).

故答案为：(3,1).

15.4或12

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用.熟练掌握等腰

三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用是解题的关键.

由题意知，当0</46时，0M=12-2/；当6<f时，OM=2t-U,ON=t,由△MCW是等腰三角形，可

知当0<区6时，OM=ON,即12-2f=f,计算求解即可；当6</时，证明△MCW是等边三角形，贝U

OM=ON,即21-12=/,计算求解即可.

【详解】解：由题意知，当0<丝6时，（W=12-2f；

当6</时，OM=2t-U,

ON=t,

：△MON是等腰三角形，

.•.当0</46时，OM=ON,即12-2/=/,

解得，，=4,

当6</时，△MON是等腰三角形，

△MCW是等边二角形，

：.OM=ON,即2/-12=/,

解得，t=12,

综上所述，』的值为4或12,

故答案为：4或12.

24,3

16.—/3-

77

【分析】根据对称性质，将斯周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点E关于43的对称点

作点E关于NC的对称点N,连接NM,AE,AN,三角形/MN是等边三角形，SE尸周长

7

DE+DF+EF=MN,即MN最小就是4E的值最小，V4BC的面积是6,BC=~,由此即可求解.

2

【详解】解：如图所示，作点£关于48的对称点作点E关于NC的对称点N,连接0W,AD,AN,

：.AM=AE=AN,即48是瓦0的垂直平分线，/C是EN的垂直平分线，且NM4B=NBAE,ZCAE=ZCAN

,/ABAC=NBAE+ZEAC=30°,

：.ZMAN=NMAB+ZBAE+ZEAC+ZCAN,即AMAN=2(ZB4E+Z£4C)=2x30°=60°,

三角形/MN是等边三角形,

AM=AN=MN=AE,

，当点在一条直线上时，QEF周长DE+DF+EF=MN,即MN最小就是40的值最小，

根据点到直线垂线段最短，可知当/E，3c时，NE最小，即9跖周长最小，

117

•；V/BC的面积是6,BC=6,即S^gc=ZE=QXQ/Z)=6,

2424

AD=-y,即iJJEF周长最小亍,

故答案为：-

【点睛】本题主要考查点的对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直

平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键.

17.22020

【分析】

本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，能根据题意得出4,4,+i=2"rn为正整

数)是解题的关键.

根据所给一次函数解析式得出直线与x轴正半轴的夹角为30°,再依次求出44+1的长度，发现规律即可解

决问题.

【详解】

解：•.♦一次函数的解析式为y=fx，

,此直线与X轴正半轴的夹角为30。.•・•△44片是等边三角形，

Z.BXAXA2=60°,44=AXBX,

/.NOB]4=NBQ4=30°,

/.OAX=A[B[.

•.•点4的坐标为(i,o),

44=—1.

同理可得，

1

A2A3=2=2

2

A3A4=4=2,

3

A4A5=8=2,

所以44用=2"7（〃为正整数），

当〃=2021时，

AA-严°

^2021^2022-4-

故答案为：22020.

18.②③④

【分析】由折叠性质得到/DEF=NGEF,ZDfiF=ZDpF,根据平行线性质得到ZDEF=ZGEF=NEFG,

再由三角形外角性质确定=尸+/G尸E,"EGD〔=a,』EFG=/3,则a+4尸=180。，只有当

。=夕=36。时结论①才成立；由尸G，得到/EGC=NGRS一结合折叠性质求证即可得到②正确；

在①的求证过程中可知/GEF=/EFG=26。，设NEFJ=a,则/GFC?=26。+a=/GFC1，从而由折叠

性质表示出角度关系列方程求解即可得到③正确；在①的证明过程中

ZFGH=ZDtGF=ZGEF+ZGFE=2ZEFB,结合外角性质即可得到④正确；从而得到答案.

【详解】解:由折叠性质得/DEF=/GEF,ZDfiF=ZDpF,

ZEGD2+ZD2GF+ZDfiF=18G,

AD//BC,

ZDEF=ZEFG,则ZDEF=ZGEF=ZEFG,

SGF是4EGF的一个外角,

ZDfiF=ZGEF+ZGFE,

没NEGD[=a,ZEFG=/3,则a+4£=180°,

当/EG。?=NE『G时，a=〃=36。，

；•题中并未明确/EG?、/MG的度数，故①错误；

VED}//FCX,

ZEGC=ZGFCl,

由折叠性质可知/MC=NMG，则2/E尸C=N8尸C+/G尸。=/£GC+180。，故②正确；

由折叠性质得NEFQ=ZEFC,ZGFC2-ZGFCV

由①的证明过程可知，NGEF=NEFG=26。,

设ZEFC2=a,贝I]ZGFC2=26°+a=ZGFC,,

ZEFC=ZEFQ=26。+（26。+a）=a+52。,

;NEFG+NEFC=180。,

26°+a+52°=180°,解得a=102。，即/E/C?=102。，故③正确；

由①知ZFGH=ND\GF=ZGEF+ZGFE=2ZEFB,

NFHD］是AHGF的一个外角，

ZFHD2=ZFGH+ZEFB=MEFB,故④正确；

综上所述，题中正确的结论是②③④，

故答案为：②③④.

【点睛】本题考查折叠求角度关系，涉及折叠性质、邻补角定义、三角形外角性质、平行线性质等知识，

数形结合，利用相关几何性质准确表示出各个角度之间的关系是解决问题的关键.

19.证明见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，过B作瓦FEC于点尸，则2BFC=90°,

根据等腰三角形的"三线合一"定理得8尸=PC=g£C,再证明ACB尸也A/CZ)(ASA),根据全等三角形的性

质即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】如图，过8作此，EC于点尸，则N8FC=90。，

BF=FC=-EC,

2

ADLEC,

：.ZCDA=NBFC=90°,

NBCF+ZCBF=NBCF+乙4CD=90。,

NCBF=NACD,

在VC8/和A/CD中，

ZBFC=ZCDA=90P

<BC=CA,

ZCBF=ZACD

.・・尸丝△/CO(ASA),

：.CF=AD,

：.AD=-EC,

2

EC=2AD.

20.(l)ZCPD=100°

(2)CP=5

【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理等知识.熟练掌握轴对称的性质，三角形内角和定

理是解题的关键.

(1)由点£与点尸关于。4对称，点厂与点P关于05对称，ZOCP=ZF=2(f，可得/0CE=/0b=2QP,

ZDPF=ZF=20°,则/尸CF=40。，ZCPF=180°-Z.F-ZPCF=120°,ZCPD=ZCPF-ZDPF,

求解作答即可；

(2)由点E与点尸关于04对称，点尸与点尸关于05对称，CP=DP,可得CE=CP=DP,DP=DF,

即b，由CF=CE+QE+。9=2CE+3=13,可求C£=5,进而可得CP的长.

【详解】(1)解：•・•点E与点尸关于CM对称，点方与点尸关于05对称，ZOCP=ZF=20°f

：.Z0CE=Z0CP=2(f,/DPF=/F=20。,

：.ZPCF=40°,ZCPF=180°-ZF-ZPCF=120°,

・•・ZCPD=/CPF-ZDPF=10(P,

・•・ZCPD=100°；

(2)解：・・•点£与点尸关于CM对称，点方与点尸关于05对称，CP=DP,

：.CE=CP=DP,DP=DF,

：.CE=DF,

:・CF=CE+DE+DF=ME+3=\3,

解得C£=5,

：.CP=5.

21.(1)112°

(2)3

【分析】本题是三角形综合题，考查了轴对称，三角形的中线，与角平分线有关的三角形内角和定理、三

角形外角的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

(1)由三角形内角和定理可求NB/C=60。，由角平分线的性质和外角的性质可求解；

(2)根据对称的性质得到A8=/G,BH=HG,S^ABH=SAAGH,由面积的和差关系可得

SABFH—SAAEF=S“BH—S.ABE=AABG一企AABC，从而得到S]—S?。

【详解】(1)解：・・・乙48。=38。,44。5=82。，

ABAC=60°,

平分/A4C,

J/BAD=NCAD=30。，

：.ZADB=ADAC+ZACB=30°+82°=112c；

(2)关于4〃对称的△ZGH,

；・4B=AG,BH=HG,S“BH=S.AGH，

•S.BFH-S、AEF=^^ABH-S4AsES"BO

=

•-E—S2=­S^ABG--S^ABC=­(S"G—S"c)2ZBCG=3.

22.⑴详见解析

⑵详见解析

【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，解题的关

键是理解题意并掌握这些知识点.

(1)根据O尸平分/MON得4。尸=/8。尸，根据8尸〃(W得乙4。尸=48尸。，利用等角对等边即可得;

(2)作PD_LON于点。，利用AAS可证明,得到4。=以)，然后证明出

RSPOC也RtA尸。。(HL),得至IJOC=O£>,进而求解即可.

【详解】(1)证明：平分/MON,

ZAOP=ZBOP,

"BP//OM,

：.ZAOP=NBPO,

：.ZBOP=ZBPO,

OB=PB-

(2)解：如图所示，作尸0LON于点Q,

•・・PC_LOM于点C,0P平分4M0N,

：.PC=PD,ZPCA=ZPDB=ZOCP=90°,

•・・/CMP+/OBP=180。，NDBP+/OBP=180。,

：.ZOAP=ZDBP,

在△尸4C和APBD中,

ZCAP=ZDBP

<ZPCA=/PDB=90P

PC=PD

：.^PAC^APBD(AAS),

JAC=BD

•：OP=OP,PC=PD,

：.RtdO&R"O0(HL),

JOC=OD,

u：OA=OC+AC,OB=OD-BD,

：.OA-OB=OC+AC-(OD-BD)=AC+BD=2AC.

23.⑴证明见解析

⑵3

【分析】(1)根据题意可得=证明△/。。❷△/瓦)，即可得证；

(2)设N5=x,贝l」/C=90。—x,利用三角形内角和定理得乙4防=44月E,继而得到4E=4尸,

AB-AF+BF=3,再利用面积公式可得答案；

(3)过尸作尸于点G,连接ZG,可得EG=bG,设EG=FG=a,证明△ZCQ会AS尸G和

△EAG学AFAG,继而得到5G=2*BE=BG+EG=3a,即可得解.

【详解】(1)证明：・・・NC45=90。，

・・・ZCAD+ZBAD=90°,

•・,ADIBC,

：・NADB=NADC=90。,

：.NBAD+NB=9b,

ZCAD=ZB,

在△ZCQ和△人助中，

CD=ED

</ADC=/ADE,

AD=AD

：.△4CD7"E£>(SAS),

ZDAC=ZDAE,

ZDAE=ZB；

(2)解:VZCAB=90°,

：.Z5+ZC=90°,

设N5=x,则/C=90。—%,

由(1)知：LACD必AED,

：.ZCEA=ZC=90°-x,

*：ZBEF=45°,

：.ZAFE=ZB+ZBEF=x+45),

Z^EF=180°-ZC^-Z5EF=180o-(90o-x)-45o=x+45°,

・•・ZAEF=ZAFE,

AE=AF,

VAC=2,AF=2BF,

由(1)可知：LACDm乙AED,

：.AC=AE,

：.2BF=AF=AC=2f