2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（南京专用测试范围：苏科版九年级上册第1章-第4章）（全解全析）

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷

（南京专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.测试范围：苏科版九年级上册第1章-第4章。

5.难度系数：0.8„

第I卷

一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.关于x的一元二次方程/+反一10=0的一个根为2,则b的值为（）

A.-3B.2C.3D.7

【答案】C

【详解】解：：一元二次方程，+法-10=0的的一个根为2,

22+26-10=0,

:・b=3.

故选：C

2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形

镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】A

【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂

直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长.

故选：A.

3.九(3)班第三小组5名同学的跳绳成绩(次/分钟)为180,169,210,175,169.则该组数据的中位

数和众数分别为()

A.169,175B.175,169C.175,210D.169,169

【答案】B

【详解】解：将数据从小到大排列为：169,169,175,180,210,

这组数据的中位数为175,众数为169.

故选：B.

4.如图，ZUBC和△48。内接于。。，若43c=80。,/D=50。，则/B/C的度数为().

A.40°B.45°C.55°D.50°

【答案】D

【详解】解：••・40=50。,

ZACB=ND=50°,

NABC=80°,

ZBAC=180°-ZACB-ZABC=180°-50°-80°=50°,

故选：D.

5.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天,

每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为()

A.；X(X+1)=4X7B.；x(x-l)=4x7

C.x(x+l)=28D.x(x-l)=28

【答案】B

【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛GT)场，但2队之间只有1场比赛,

所以可列方程为：1X（X-1）=4X7.

故选：B.

6.刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界

古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式

的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，中，的长分别为

c,a,b.则可以用含c,d6的式子表示出△NBC的内切圆直径d,下列表达式错误的是（）

了lab

B.a=-----------

a+b+c

C.d=^2（c-tz）（c-Z＞）D.d=|(4Z-ZJ)(C-Z))|

【答案】D

【详解】解：・「△45。为直角三角形,

.,.令Q=3,b=4,c=5.

oi____________

选项A：d=a+b-c=2,选项B：d=2,选项C：d=J2(c-a)(c-b)=2,选项D：

a+b+cY'

d=_6)(c-6)|=1,

只有D选项结果跟其他选项结果不一致，

••・表达式错误的是D选项，

故选：D.

第n卷

二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

7.若。。的直径为3,。尸=3,则点P与。。的位置关系是：点尸在。。（填“内"“外”或"上”）

【答案】外

【详解】解：:。。的直径为3,

半径厂=1.5,

*.*OP=d=3,

d>r,

，点尸在。。外.

故答案为：外.

8.小华在解一元二次方程/-8x=0时，只得出一个根是x=8,则被他漏掉的一个根是x=_.

【答案】0

【详解】解：*/x2-8x=0,

/.x(x-8)=0,

二x=0或x-8=0,

解得:须=0,x2=8,

二被他漏掉的一个根是x=0;

故答案为：0

9.一个扇形的弧长是2万，半径是12,则这个扇形的面积为.

【答案】12万

【详解】解：5=-Zr=-x2^xl2=12^,

22

故答案为：12万.

10.志愿服务是现代社会文明进步的重要标志，在国家政策支持下，全社会参与志愿服务的热情高涨.中

国志愿系统显示2021年10月注册志愿者总人数达1.9亿,截止到2023年10月注册志愿者人数达到2.3亿,

求平均每年的增长率.设平均每年的增长率为x,则可列方程.

【答案】1.9(1+X)2=2.3

【详解】解：根据题意得，L9(1+X)=2.3,

故答案为：1.9(1+X)2=2.3.

11.如图，一个自由转动的转盘被分成两个扇形区域甲、乙，其中甲区域的扇形圆心角为120。转动转盘，

待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，记为一次有效转动，若指针指在分界线上，则需要重新转

动转盘，直到完成一次有效转动为止，乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率为.

A

2

【答案】y

【详解】解：乙所占的圆心角为360。-120。=240。，

乐乐完成一次有效转动后，指针指向扇形乙的概率为2包40=*2,

3603

2

故答案为：§.

12.关于x的方程依2一2x7=0有两个不相等的实数根，则左的最小整数值为

【答案】1

【详解】解：,•・关于x的方程辰2-2苫-1=0有两个不相等的实数根，

.-.A=(-2)2-4Ax(-l)>0,

解得，k>-\,

又,；k手Q,

•・"的最小整数值为1,

故答案为：1.

13.已知孙马是关于x的方程乂2+〃a-1=0的两个实数根，且(占+2)(%+2)=5,则加的值等于.

【答案】-1

【详解】解：：孙马是关于x的方程x?+机x-l=0的两个实数根，

X]+x2=—m,xtx2=-1,

V(xj+2)(X2+2)=5,即XjX2+2(%j+X2)+4=5,

-1+2(-〃z)+4=5,

m=—\,

故答案为：-1.

14.如图，已知四边形AB。是。。的内接四边形，E为40延长线上一点，ZAOC=128°,贝ijNCDE等

于

R

【详解】解：•••40C=128。,

ZABC=64°,

•••四边形ABCD是。。的内接四边形，

Z^£>C=180o-64°=116°,

:.NCDE=180°-NADC=64°.

故答案为：64°.

15.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的

方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割

圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率兀的近似值为3.1416,如图，的半径为1,运用“割

圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计。。的面积，可得兀的估计值为迈.若用圆内接正八边形近似估

2

计。。的面积，可得无的估计值为.

【答案】2拒

【详解】如图，M是正八边形的一条边，点。是正八边形的中心，过点/作

在正八边形中，N/O2=360°-8=45°

AM=OM

OA=l,AM2+OM2=OA2,解得：AM=—

2

■5

:电OABF°BXAM=^

正八边形为8义变=2贬

4

20=0x万

；•%=20

.••兀的估计值为

故答案为：20.

16.如图，AB、CD是。。中的两条弦，相交于点E,且4BLCD,/E=OE,点H为劣弧加上一动点，G

为HE中点,若CE=1,DE=7,连接/G,则/G最小值为.

【详解】解：如图所示，连接NO,DO,过点。作OKL/E,交4E于点K,OF1CD,交DE于点F,

VCE=1,DE=7,

：.CD=CE+DE=l+1=8,

OF1CD,

：.CF=DF=-CD=4,

2

/.EF=CF-CE=4-1=3,

"：AE=DE,OA=OD,OE=OE,

AAAOE^DOE(SSS),

：.ZAEO=/DEO=-ZAED=45°,

2

•；OK1AE,OFLCD,

：.OK=OF,

•：ZAED=90°f

・・・四边形OKE厂是正方形，

：・OK=KE=EF=OF=3,

•*-OA=OD=y](DF2+DF2=J32+42=5,OE=>JoF2+EF2=3后，

如图所示，作OE的中点M,连接MG,连接明，

/、、H

:点M是OE的中点，G为族中点，

：.MG=-OH,

22

...点G在以点刊为圆心，以|■为半径的圆上运动，

连接4W■交。M于点G',过点/作儿W_L/E,

二当点4G,初三点共线时，即点G和点G'重合时，ZG的值最小,

:点W是OE的中点，EM=-OE=^-,

22

•/MN±AE,ZNEM=45。，

：./NME=A5。,

ANME是等腰直角三角形，

：.MN=EN=—ME=~,

22

311

AN=AE—NE=7——=一，

22

・•・AM=ylAN2+MN2=

,J1305

..AA.Gr=AM—GM------------,

22

的最小值为，生一2,

22

故答案为：回一工.

22

三、解答题：本题共n小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.(8分)解方程:

(1)(X+2)2-25=0；

(2)X2-4X+3=0.

【详解】(1)解：(x+2)2=25

x+2=±5

x+2=5x+2=—5

x=3或x=-7；.............................................................4分

(2)(x-l)(x-3)=0

.•.x-l=O或x-3=0

x=1或无=3................................................................8分

18.(9分)为了调查学生对防疫知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试,

获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

*甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下

绩X

学广、50<x<6060<x<7070<x<8080<x<9090<x<100

甲41113102

乙63m142

b.甲校成绩在70W”80这一组的是：70,70,70,71,72,73,73,73,74,75,76,77,78

c.甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：

学校平均数众数中位数方差

甲74.586n47.5

乙73.1847623.6

根据以上信息，回答下列问题:

⑴加=,«=；

（2）将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在704x<80这一组的扇形的圆心角是度；

（3）本次测试成绩更整齐的是校（填“甲”或"乙”）；

（4）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是校

的学生（填“甲”或“乙”）.

【详解】（1）解：加=40-6-3-14-2=15,

由频数分布表可知，甲校40名学生成绩排在中间的两个数是72和73,

.”=»=72.5；

2

故答案为：15,72.5；.............................................................3分

⑵乙校成绩在7。"<8。这一组的扇形的圆心角是36。。**135。,

5分

（3）♦甲校成绩的方差47.5>乙校成绩的方差23.6,

二本次测试成绩更整齐的是乙校.

故答案为：乙；..............................7分

（4）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是甲校的

学生，理由：甲校的中位数是72.5,乙校的中位数是76>72.5；

故答案为：甲................................9分

19.（8分）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻

名.张帆在广州旅游期间，决定在“/•虾饺，B.干蒸烧卖，C.艇仔粥，D.蜜汁叉烧包”四种茶点中选择

喜欢的进行品尝.（选到每种茶点的可能性相同）

（1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是;

（2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率.

【详解】（1）解：:•共有四种茶点，

...如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是：:，

故答案为：5.............................................................4分

（2）解：画树状图如图所示：

开始

ABCD

小/N4\小

BCDACDABDABC

由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结

果有2种，

21

：.P（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）...............................8分

126

20.（7分）某单位组织员工前往南京保利大剧院欣赏表演.表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙

为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，

在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）.那么围成的这个长方形的边长是多少米呢？

出口入口

【详解】解：如图：设长方形等候区的边居为x米，则8C=（48-2x+2）米，

军下

出口入口

B'---------'c

由题意得：x（48-2x+2）=300,

整理，得X2-25X+150=0,

解得看=10,x2=15,

当尤=10时，5C=30>26,不合题意，应舍去；当支=15时，BC=20<26,符合题意.

答：长方形等候区的边48为15米，8c为20米.................................7分

21.（8分）如图，OA=OB,4B交。。于点C,D,是半径，且OE_L/3于点足

(1)求证：AC=BD.

⑵若OF=2EF,CD=8,求直径的长.

【详解】(1)证明：・・・。后，48,且OE过圆心O

・・・CF=DF,

\9OA=OB,0E1AB.

：.AF=BF,

：.AF-CF=BF-DF,

：.AC=BD；..............................................................4分

(2)解：连接OC,设。。的半径是八

E

*：OF=2EF,OF+EF=OE=r,

OF=—r,

3

・・・。。=8,

：.CF=-CD=4,

2

•・•在RtZXOC9中，CO2=CF2+OF2,

Jr2=42+^2Y

J一二"好或尸=—IZYS(舍去),

55

••.OO的直径是处公.................................8分

5

22.(8分)已知关于x的一元二次方程了2+2(%+1)彳+川-1=0.

(1)若方程有实数根，求实数加的取值范围；

(2)若方程两实数根分别为X1，x2,且满足(国-%)2=16-2卒2,求实数加的值.

【详解】(1)解：..•关于x的一元二次方程/+2(加+l)x+/-l=0有实数根，

A=[2(加+1)1-4(加2—1)=8加+820,

解得：1,

...当方程有实数根时，实数机的取值范围为加2—1：..........................4分

(2)解：••・方程两实数根分别为占，x2,

2

xx+x2=-2(m+1),xl-x2=m-1.

2

(%j-x2)=16—2X1X2,

22_

(%)-x2)=(X[+x2)-x2=16—2XIX2,

[-2(机+1)]2-4(m2-1)=16-2(/-1),

整理，得：m2+4m—5=0,

解得：mi=-5，吗=L

m>-l,

实数"7的值为1.8分

23.(8分)如图，△4BC是。。的内接三角形，48是。。的直径，44=30。，5C=4,弦CD,48于尸，

点E是相延长线上一点，且/尸=£尸，连接DE.

(1)填空：4BCD=°；

(2)判断。E与。。的位置关系，并说明理由；

(3)取CB的中点连接DM,求图中阴影部分的面积.

【详解】(1)解：「弦于尸，48是的直径,

:•前=俞，

，ZBCD=ZA=30°,

故答案为：30；.......................................................2分

(2)解：与相切，

理由如下：

连接OZ),如图所示：

•・•弦于耳，初是。。的直径，

：.CF=DF,ZAFC=ZEFD=90°,

•「AF=EF,

AACF^AEDF(SAS),

/.ZE=ZA=30°,

•・•/DOE=2/A=60°,

/ODE=90。，

:.ODLDE,

・・,OD是OO的半径，

.•.。£与。。相切；...........................5分

(3)解：•••45是OO的直径，，/“^二为。，

•・•//=30。，5C=4,

AB=IBC=8,

AC=ylAB2-BC2=4A/3，

连接。M,如图所示：

•・•点M是C5的中点，

:.BM=CM==BC=2,

2

-：AO=BO,

「.(W是”3。的中位线，

?.OM//AC,OM=LAC=26

2

/.ZBOM=ZA=30°,

•・•40。=60。，

/.ZDOM=90°,

•••图中阴影部分的面积ABOM的面积+扇形50。的面积-△Q(W的面积

="x2用普-3氐4吟-26..........................................................8分

⑴在图1中先作圆心。，然后在。。上作点。，使/48。=45。；

(2)在图2中先作筋=石，点E为。。上一点，然后作弦即〃AD.

【详解】(1)解：连接N8,3C,/C,作/及3c的垂直平分线交于O,即为圆心O,利用他为正方形的对

角线的特征，得到点。的位置，如下图：

（2）解：由（1）可知/C为直径，取格点连接收延长交。。于点。，为所作点。，连接DE交/C

如下图:

25.（8分）某网店为满足航空航天爱好者的需求，推出了“中国空间站”模型.己知该模型平均每天可售出

20个，每个盈利40元.为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元,

平均每天可以多售出2个.

（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元?

（2）在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少

元？

【详解】（1）解：20+2x4=20+8=28（个）；即：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型.

可获利：（40-4）（20+4x2）=36x28=1008元.

答：平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元.

4分

（2）解：设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利（40-x）元，平均每天可售出（20+2x）个,

2

根据题意得：（40-x）（20+2x）=1200,整理得：x-30x+200=0,

解得:%=10,”20,

又：每个模型盈利不少于25元,

x=10.

答：每个模型应降价10元.............................8分

26.(8分)综合与实践

“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面.为了让同学们探究

“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题:

问题情境：

如图1,一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C,其最短路线正是侧面展开图中的线段4C,若圆柱的

高48为2cm.底面直径为8cm.

图1图2

问题解决:

(1)判断最短路线的依据是；

(2)求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线NC的长(结果保留根号和兀);

拓展迁移：

如图2,。为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线(W=8,底面圆半径为2,粗

线为蚂蚁从点尸出发绕圆锥侧面爬行回到点尸时所经过的路径的痕迹.

(3)请求出蚂蚁爬行的最短距离.

【详解】解：(1)两点之间线段最短；..........................2分

(2)剪开后，AB=2cm,BC=-1X8TI=47t(cm),

AC=y)AB2+BC2=j2?+(4兀1="+16/=2A/1+4TI2(cm)

•­■最短路线AC的长为2,1+4兀2cm；....................................................5分

(3)•••圆锥的底面周长为2兀X2=4TT,

设侧面展开图的圆心角度数为相，

■■■北;*=4兀,解得M=90,

,如答图，该圆锥的侧面展开图是圆心角为90。的扇形,

线段PP的长为蚂蚁爬行的最短距离，

,在必△M。"中，MM'=yJOM2+OM'2=A/82+82=872,

，•,点、P为0M中点，

是的中位线,

:.PP'=-MM'=4y/2,

2

二蚂蚁爬行的最短距离为40.

27.（10分）定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面.其中，能完全覆盖平面图

形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.

例如：如图1,线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆；

（1）边长为1cm的正方形的最小覆盖圆的半径是cm；

（2）如图2,边长为1cm的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是cm；

图2

【深入研究】

（1）请分别作出图3中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.

图3

（2）如图4,在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，△/8