2024-2025学年人教版高二数学选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程 章末测试（提升）（解析版）

第二章直线和圆的方程章末测试(提升)

一、单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)

1.(2023山东)过点4(1,2),且与两坐标轴同时相切的圆的方程是()

A.(x-1)2+(y-l)2=1或(x-5)2+(,-5)2=25

B.(x-l)2+(y-3)2=2

C.(x-5)2+(y-5)2=25

D.(x-l)2+(y-l)2=l

【答案】A

【解析】由题意可得，圆心到两坐标轴的距离相等，且为半径，

所以圆心一定在直线y=x或y=-x上；

当圆心在y=x上时，不妨设圆心坐标为(凡。)，半径为r(r>0),则同=r,

且圆心到4(1,2)的距离为而-]『+([=~即/-6a+5=0

解得a=1或a=5,

所以圆心为(U)时，半径—1,圆的方程为(X-l)2+(y-1)2=1；

圆心为(5,5)时，半径为r=5,圆的方程为(x-5y+(y-5)2=25；

当圆心在》=-％上时，不妨设圆心坐标为(a,-a),半径为r=|a|(r>0),

且+(_q_2y=r,即a2+2a+5=O,此时方程无解；

所以圆的方程为(x-l)2+(y-l)2=l或(》-5)2+(尸5)2=25.如下图所示：

2.(2023・安徽亳州・蒙城第一中学校联考模拟预测)若两条直线-y=x+m,l2：y=与圆

%2+/一2%一2丁+，=0的四个交点能构成矩形，贝()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】由题意直线4,4平行，且与圆的四个交点构成矩形,

则可知圆心到两直线的距离相等,

由圆入2+,2一2%一27+/=0的圆心为：(1,1),

圆心到4：y=%+相的距离为:

_|i-i+/w|__H

「二^一正‘

圆心到4:y=x+w的距离为:

|1-1+«||»|

所以g另n同=凡

由题意相

所以机=—〃=>m+〃=0,

故选：A.

3.(2022•高二课时练习)已知从点(-5,3)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆:

(x-l)2+(y-：l)2=5的圆周，则反射光线所在的直线方程为()

A.2x-3y+l=0B.2x-3y-l=0

C.3x-2y+l=0D.3x-2y-l=0

【答案】A

【解析】设点A的坐标为(—5,3),圆0-1)2+"-1)2=5的圆心坐标为8(1,1),

设C(x,0)是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆(XT)?+(y-I?=5的圆周,

所以反射光线经过点BCM),

3-01-01

由反射的性质可知：k+k=0^——+--=0^x=--,

ACBC-3-x1-x2

,_1—02

于是比一13，所以反射光线所在的直线方程为:

21

y=§(%+5)n2%-3y+1=0,

故选：A.

4.（2023.福建泉州•泉州五中校考模拟预测）已知复数Z满足|z+i|=l,则|z+l|的最大值为（）

A.72B.2C.V2+1D.3

【答案】C

【解析】设2=々+历,

因为|z+i|=|a+9+1川=1,

所以"+9+1)2=],

因为|z+l|=|〃+l+Oi|=++62,

所以|z+l|相当于圆片+仅+1）2=1上的点到点（TO）距离,

所以|Z+1|的最大值为圆心（0,-1）到点（T,。）距离与圆的半径1的和，即0+1.

5.（2023春・河南潦河・高二统考期末）设点尸为直线/：2x+y-4=0上任意一点，过点尸作圆O:V+；/=1的

切线，切点分别为48,则直线48必过定点（）

A.rlB.C.D.P1

【答案】B

【解析】如图，连接。4,0B,

根据题意，设尸⑺,"）为直线/：2x+y-4=0上的一点，则2"z+〃—4=0,

由于尸AP8为圆。的切线，则有OALR4,OBLPB,

则点A、2在以OP为直径的圆上，

以OP为直径的圆的圆心为（：,1）,半径r=匕OP|=遍",

2222

则其方程为（%-y）2+（y-今2=2不，变形可得x2+/-mx-^=0,

［炉+2=i

联立｛22可得直线A3：mx+ny-1=G,

［尤+y—mx-ny=0

又由2m+〃一4=0,贝!J有A3：如+（4—2m）y—1=0,变形可得m（x—2y）+4y—l=0,

则有：［：；：，解可得x=1,y=J，故直线AB恒过定点.

［4y—1—U2447

故选：B.

6.（2023・湖南益阳•安化县第二中学校考三模）直线V=x+b与曲线尤=9手恰有两个不同的公共点，则

实数b的取值范围是（）

A.-l<b<y/2B.-V2</?<-1

C.-l<bMl或b=-y/^D.—^/2<b<\

【答案】B

【解析】y=x+〃是斜率为1的直线，

曲线》=黄二了■是以原点为圆心1为半径的圆的右半圆，

画出它们的图象如图，

当直线与圆相切时，-yj=1=>=—5/2,b=V2（舍去），

当直线过（1,0）时，6=-1,

由图可以看出：

当-应〈弥-1时，直线与半圆有两个公共点,

故选：B.

7.（2023春.安徽安庆•高二安徽省宿松中学校考开学考试）若V、N为圆C:（尤-2y+y2=l上任意两点，P

为直线x-也y+2=0上一个动点，则的最大值是（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

【答案】B

【解析】因为圆。:（％-2）2+〉2=1的圆心为。（2,0）,半径为厂=1,

|2-0+2|

所以圆心C（2,0）到直线尤-也y+2=0的距离为d=2>r,

V1+3

所以直线x-6y+2=0与圆C相离,

设B4、尸2是过点尸圆的两切线，且A、B为切点,如图，

显然/必火44/>3,当PM,PN为两切线时取等号；

因为B4、PB是过点P圆的两切线，所以上4=尸3,AC1PA,

由圆的对称性易得NAPB=2/APC,显然/APC是锐角，

Ar1

在RtZX/5AC*中，sinZ.APC=-----------,

PCPC

又（尸CL=d=2,所以（sinZAPCt^；，

所以=30°，...（NMPN）a=60°.

故选：B.

8.(2023・全国•高三专题练习)已知4(2,0),点尸为直线x-y+5=0上的一点，点。为圆/+,2=1上的一

点，则户。|+；H。|的最小值为()

A5&+2R5>/2-2-HA/2n11V2

2224

【答案】D

【解析】设(4％),令=

则|“二-；；；x：4

2—+y=-xj+y=x+"38"t+y=

。x；+y；=1nx=g,则呢,0卜同|+*0|=闸+闸.

如图，当P,Q,"三点共线时，且尸河垂直于直线无-y+5=0时，|尸Q|+|M&有最小值，为归河即直线

-+5厂

x-y+5=0至IJ点M距离，为2_=11垃.

A/2-4

二、多选题(每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分)

9.(2022・高二课时练习)设有一组圆C小(x-k)2+(y-k)2=4(keR),下列命题正确的是()

A.不论上如何变化，圆心C始终在一条直线上

B.所有圆CJ匀不经过点(3,0)

C.经过点(2,2)的圆C.有且只有一个

D.所有圆的面积均为4兀

【答案】ABD

【解析】A选项，圆心为小㈤，一定在直线y=x上，A正确；

B选项，将(3,0)代入得：2产一6左+5=0,其中A=T<0,方程无解，即所有圆CJ匀不经过点(3,0),B

正确；

C选项，将(2,2)代入得：公一必+2=0,其中A=16-8=8>0,

故经过点(2,2)的圆C«有两个，故C错误；

D选项，所有圆的半径为2,面积为4兀，故D正确.

故选：ABD.

10.(2023春・河南周口•高二校联考阶段练习)已知直线/:a(2x+3y+2)+%(x-2y-6)=0(必中0),则下列

结论正确的是()

A.若直线/经过原点，则。=-36

B.若直线/在两坐标轴上的截距之和为0,且则b=5a

C.若直线/与圆(x-3Y+y2=5相切，贝。a=

D.若直线/是圆E:/+y2=16与圆厂:(x+5『+(y-3)2=c的公共弦所在直线，贝ijc=32

【答案】BC

【解析】直线/:(2〃+6)x+(3a—2Z?)y+2q—66=。("工。),

对于A,直线/经过原点，则2°-68=0,即。=36,故A错误；

对于B,设直线/在工，>轴上的截距分别为私〃，即直线过(私0),(0,〃)，旦机+〃=0,

贝(2a+b)〃z+2a-66=0且(3a-20)〃+2a-66=0,又aw3b,

贝(2a+b)/n=(3a-如"0且m+n=0,

贝lj2a+Z?=—(3a—2Z>),则%=5a,故B正确；

圆(x-3)2+y=5的圆心(3,0),半径为厂=有，

若直线/与圆（尤-3）2+/=5相切,

|3（2G+ZJ）+2G-6Z>|

则圆心到直线的距离d

|8o-3Z?|

即•/।।=4^,则（4+4Z?）2=0,贝IjQ=T5故C正确;

J13Q2-Sab+5b2

圆E:d+y2=i6与圆尸：（尤+5y+（y-3）2=c的公共弦所在直线为（x+5y+（y-3）2-c-（炉+/-16）=0,

BP10x—6y+50—c=0,

直线/:（2a+Z?）x+（3Q-2Z?）y+2a-6Z?=O（MwO）,

由题意，两线重合，则即惚=当三丝，得3a=b,

10-6

又然^=誓生，即3=与产，解得c=82,故D错误.

1050-c250-c

故选：BC.

11.（2023春・广西河池•高二统考期末）已知圆C：a-l）2+y2=l,A（3,：l）,点p为圆C上一动点，。为坐标原

点，则下列说法中正确的是（）

A.|4尸|的最大值为若+1

B.|OP|+|PA|的最小值为2后

■41

C.直线AP的斜率范围为0,-

D.以线段AC为直径的圆与圆C的公共弦方程为y=-2x+1

【答案】AC

【解析】圆C:（x-l）2+y2=^/4C（l,0）,半径厂=1,

又4（3,1）,所以附=43-if+F=正”即点C在圆外，

所以l"Lx=|AC|+l=^+l，故A正确；

|C»P|+|PA|>|OA|=7io,当且仅当P在线段与圆C的交点时取等号，故B错误；

1一2%4

设直线AP：y=Mx-3）+l,根据题意可得C点到直线AP的距离〃=匕T«l,解得0V左V：,故c正确;

Jl+k23

设AC的中点为O,则«2,£|,又卜必=J（2-=,，

所以以AC为直径圆的方程（x-2）2+[y-g：=,,显然圆。与圆C相交,

所以公共弦方程为y=-2x+3,故D错误.

12.（2023春・甘肃庆阳•高二校考期末）点尸在圆弓：/+丁=1上，点。在圆C2：Y+y2-6x+8y+24=0上,

则（）

A.|尸。|的最小值为2

B.卢。|的最大值为7

4

C.两个圆心所在的直线斜率为一§

D.两个圆相交弦所在直线的方程为6x-8y-25=。

【答案】BC

【解析】由已知G（0,0）,半径为r=l,圆G的标准方程为（无-3）2+（尹4）2=1,

故C?（3,-4）,半径R=l,圆心距|C|C2|="（T_0）2+（3_O）2=5,

又,•,2在圆G上，。在圆C?上，

则|尸。的最小值为|p4ta=|GG|-R-厂=3,最大值为|尸。1Mx=|CG|+R+r=7,

故A错误、B正确；

-4-04

两圆圆心所在的直线斜率为=—7，C正确；

圆心距|C£|="（Y-0）2+（3-Op=5>1+1=2大于两圆半径和,两圆外离，无相交弦，D错误.

故选：BC.

三、填空题(每题5分，4题共20分)

13.(2023福建)已知圆C：x2+y2-Sx-6y+16=0,过点P(4,l)的直线与圆C交于点M,N,线段MN的

中点为Q,则点。的轨迹方程为.

【答案】(iy+(y-2)2=l

【解析】由圆C：/+/一8了-6>+16=0方程变形为标准式(x-4)2+(y-3)2=9,

进而得出(4一4>+(1-3>=4<9,所以点尸(4』)在圆C内部，

又因为。为线段的中点，连接CQ,由垂径定理得CQLMN,

设点Q的坐标(苍>),得诙=(x-4,y-3),P2=(x-4,j-l),

所以西.苑=0,得(x-4)2+(y-3)(y-l)=0,整理得(x-4>+(y-2>=1,

所以点Q的轨迹方程为(Ip+(y-2>=程

故答案为：(x-4)2+(y_2>=l

14.(2023春•重庆沙坪坝)已知点P在直线y=x-2上运动，点E是圆/+丁=1上的动点，点尸是圆

(x-6y+(y+2)2=9上的动点，则|尸耳-忸目的最大值为-

【答案】8

【解析】如图所示,

圆(x-6)2+(y+2)2=9的圆心为A(6,-2),半径为3,

圆公重才=1的圆心为0(0,0),半径为1,

可知|网—34俨尸|V+3,|PO|-14忸同4|PQ|+1,

所以|P同一户国4(|PAj+3)-(|P0|-1)=|PA|-1P0|+4,

若求上目-忸目的最大值，转化为求|总|-忸01的最大值，

设0(0,0)关于直线y=x-2的对称点为B,设B坐标为(m,n),

八一1

则相，解得［'”=；，故3(2,-2),

nm.\n=-2

—=------2、

122

因为归。=|尸理，可得|网—|尸。|=|网—|依区旗1=4,

当P,B,A三点共线，即尸点为勺(0,-2)时，等号成立，

所以|P司-忸目的最大值为4+4=8.

故答案为：8.

15.(2023春•广东阳江•高二统考期末)己知圆/+产-6工=0,过点(2,1)的直线被该圆所截的弦长的最小值

为.

【答案】2币

【解析】将圆的一般方程化为(尤-3)2+9=9

设圆心为C,直线过点。(2,1),与圆交于A,8两点，则C(3,0),半径r=3,

设圆心到直线的距离为d,则弦长|A明=2尸工1,

当直线与C。所在的直线垂直时d最大，此时最小,

这时d=\CD\=7(3-2)2+(0-1)2=V2，

所以最小的弦长|4日=242-(0)2=2夕,

故答案为：2s.

16.(2023春•上海嘉定•高二上海市育才中学校考阶段练习)经过点(3,2)的直线/与圆(尤-2)2+丁=9交与P,

Q两点，如果|尸。|=40,则直线/的方程为.

【答案】无=3或3x-4y-l=0

【解析】圆"一2)2+、2=9的圆心以2,0),半径厂=3,

因为圆C截直线I所得弦长为|尸。=40,则圆C到直线/的距离d=Jr2-(1|P2I)2=1，

因为直线/过点A(3,2),则当直线/斜率不存在时，直线x=3,

显然圆心C到直线x=3距离为1,因此直线/：x=3符合题意；

当直线/斜率存在时，设其方程为y-2=3),即日-、-3左+2=0,

于是/左2+(-1)2=1'解得左=：，方程为3尤一4＞一1=0,

所以直线/的方程为x=3或3x-4y-l=0.

故答案为：x=3或版-4广1=0

四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）

17.（2023春・湖北•高二校联考阶段练习）已知圆C:/+y2=i6,直线/:（2+左）x+（l+左）y+左=0.

（1）证明：直线/和圆C恒有两个交点；

⑵若直线/和圆C交于A3两点，求|他的最小值及此时直线,的方程.

【答案】（1）证明见解析

⑵|最小值为2而，此时直线Z方程为2〉-5=0

【解析】（1）直线（2+左）x+（l+左）y+左=0,即Mx+y+l）+（2x+y）=0,

,fx+y+l=0fx=l、

联立/x+y=0解得［=_2所以不论左取何值，直线/必过定点「z（I）.

HC:x2+y2=16,圆心坐标为C（0,0）,半径厂=4,

因为|PC|=J（1-0）2+（-2-0）2=有＜4,所以点尸在圆C内部，

则直线/与圆C恒有两个交点.

（2）直线/经过圆C内定点P。,-2）,圆心C（0,0）,

记圆心到直线/的距离为d

因为|AB|=2,2T2,所以当』最大时，取得最小值，

所以当直线/LCP时，被圆C截得的弦最短，

此时14用=2,42-|尸。『=2d中-（小丫=2而，

因为峪==?=-2,所以直线/的斜率为:，又直线/过点”1,-2）,

所以当|明取得最小值时，直线/的方程为y+2=g（x-l）,即x-2y-5=0,

综上：最小值为2而，此时直线/方程为彳-2旷-5=0.

18.（2023春•江苏扬州•高二江苏省江都中学校考开学考试）在平面直角坐标系xQy中，圆C的方程为

（%一相）~+[,一（2根一3）丁=1,meR.

⑴当机=-1时，过原点O作直线/与圆C相切，求直线/的方程；

⑵对于P（-2,2）,若圆C上存在点使=求实数机的取值范围.

【答案]⑴x=0或127y=0

【解析】（1）当根=-1时,圆C的方程为（x+iy+（y+5）2=l,

圆心C（T-5）,半径厂=1,

①当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=0,满足条件;

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为了=H，

由直线/与圆c相切，则匚”=1,解得左=],

收+15

所以/的方程为＞=（无，即12x-5y=0,

综上得，直线/的方程为x=0或12无一5、=。；

（2）圆心C（私23）,k0P=-1,

则线段。尸的中垂线的方程为＞T=x+l,即y=x+2,

要使得|阿|=|同。|，则M在线段。尸的中垂线上，

所以存在点M既要在V=x+2上，又要在圆C上,

所以直线y=x+2与圆C有公共点，

|m-2m+3+2|

所以一壶―-1,解得5-夜《加45+四,

19.(2023春・新疆塔城・高二统考开学考试)已知圆P过两点m(0,2),N(区且圆心尸在直线'上.

⑴求圆P的方程；

⑵过点0(T,2)的直线交圆尸于AB两点，当|AB|=2步时，求直线48的方程.

【答案】⑴Y+y2=4

⑵产-1或3%+4丁-5=0

【解析】(1)依题意圆心尸在直线y=无上，可设圆P的方程为(X-〃)2+(、-。)2=/。＞。),

因为圆P过两点m(0,2),N电,1),

(0-a)2+(2-a)2=r2a=0

，解得

(73-fl)2+(l-a)2=r2户=4

所以圆尸的方程为/+/=4.

(2)由(1)可知，圆心尸(0,0),半径r=2,

当直线A3的斜率不存在时，其方程为x=T,圆心尸(。,0)到直线AB的距离为1,

此时|AB|=2Vr2—1=2\/3满足题意；

当直线A3的斜率存在时，

设直线的方程为＞—2=左。+1),即丘-y+左+2=0,

当|=26时，圆心尸(0,0)到直线AB的距离d="_诉2=i,

一,I左+2|口,3

即有d=[―.....-1，解得k=一:,

业+14

3

此时直线的方程为i=-上+1),即为31+4＞-5=。.

综上，直线的方程为x=-l或3x+4y-5=0.

20.(2022秋.福建宁德.高二福建省宁德第一中学校考阶段练习)已知直线4的方程为x+2y-3=0,若4在

x轴上的截距为且《，丸

(1)求直线4和4的交点坐标；

(2)已知直线4经过4与4的交点，且在V轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求。的方程.

【答案】⑴。,1)

(2)丁=龙或2x+y-3=。

【解析】(1)由直线4的方程为I+2y—3=0,5，

可得直线4的斜率为2,

又在X轴上的截距为31，即过点

2

所以直线4方程：丁=2

即2x-y-l=0,

联立4方程，得:

2x—y—l=0(x=l

故交点为(1,1);

x+2y—3=0[y=1

(2)依据题意直线4在y轴上截距是在X轴上的截距的2倍，

且直线4经过4与4的交点(1,1)

当直线4过原点时，4方程为：y=x，

当直线4不过原点时，设4方程为二+9=1，则3=1，解得a=I，

故，3方程为：2x+y=3,

即2x+y-3=0

综上所述：4的方程为＞=无或2x+y-3=o.

21.(2023春•江西宜春•高二上高二中校考阶段练习)已知圆C:(x-l)2+(y-2)2=4.

(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程;

(2)从圆C外一点P(X,y)向该圆引一条切线，切点为且有1PMl=|PO|(。为坐标原点)，点尸的轨迹方

程.

【答案】⑴，=或x+y=3+20或x+y=3-2鱼；

⑵2x+4y-l=0

【解析】(1)圆C:(x-lp+O2)\4的圆心为(L2),半径为2,

①设圆C的切线在无轴、y轴上的截距均为0,则切线过原点，

设所求切线方程为y=履，左/0,即

…\k-2\4

则圆心到切线的距离为"=+^