2024-2025学年江西省九江市瑞昌某中学高三（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省九江市瑞昌一中高三(上)月考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知全集U=AUB={0,1,2,3,4,5},AC《心)={1,3,5},则集合B=()

A,{1,3,5}B.{0,2,4}C.0D.{0,123,4,5}

c.257r257r,、

2.sinz--cosz—=()

乎

A,B.C.-|

3.已知函数/(%)的定义域为R,且/(%+y)-/(%-y)=2/(y),则f(0)=()

A.0B.1C.2D.-1

4.已知％>0,y>0,且§+2y=l,贝!)2%+2的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

5.设函数/(%)=ln(x2+1)+sin%+1,则曲线y=/(%)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的

面积为()

A.j112

B-DOC-DD-

6.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是少。。空气的温度是物久，则tmin后该物体的温度。。C满

足6=斯+(。'一。0)?一4.若。0，。'不变,在timin,与min后该物体的温度分别为。1冤，02℃,且&＞。2,则

下列结论正确的是()

A.ti>t2

B.t]<以

C.若。'>。0,则以;若。'<。0，WJti<t2

D.若。'>。0,则V12；若。'V。0,贝〉t2

7.已知log^n>l(m,n>。且mWl,71H1),m+n=e2,贝U()

A.(m—n+I)，<1B.(m—n+l)e>1

C.\m-n\e<1D.\m-n\e>1

8.在△ABC中，AB=4,BC=6,乙ABC=90。，点P在△ABC内部，^Z-BPC=90°,AP=2,记

Z-ABP=a,贝！Jtcm2a=()

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知命题p/xGR,x—\x\>x2；命题q:Vae(',7r),cose一a)=sin0+a),贝!］()

A.p是真命题B.rp是真命题C.q是真命题D.-iq是真命题

10.已知函数/'(久)=cos(久+《)，贝！|()

A./0)为偶函数B.7(x)的最大值为cos2

C.f(x)在(1,2)上单调递减D/(X)在(1,20)上有6个零点

11.已知函数/(x)=#+6/+c无，下列结论正确的是()

A.若x=沏是/'(X)的极小值点，则/'(X)在(-8,久o)上单调递减

B.若久=b是/'(X)的极大值点，则b<0且c<0

C.若c=3,且/(%)的极小值大于0,贝心的取值范围为(-2,-8)

D.若c=-3b,且f(x)在［0,3］上的值域为［0,9］,贝必的取值范围为［—3,0］

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数/'(久)=sin(x+0)(0<(p<兀)的图象关于y轴对称，则⑴=.

(X2+ax,x<0

13.已知函数/(%)=_%%之0的最小值为一1，则。.

I%+1'一

14.已知函数/(x)=sin(x+<p)+l,若l/Qi)—/(刀2)1=1，则|二-冷|的最小值为___

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/(X)=sin(3久+租)(3>0,切<5)的部分图象如图所示.

(1)求/'(%)的解析式;

7T

(2)求/(%)在［-不0］上的值域.

16.(本小题15分)

在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且嘤％喏;

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(1)证明：a=B.

(2)若D是BC的中点，求NC4D的最大值.

17.(本小题15分)

已知函数/'(x)=aex—x.

(1)讨论/(x)的单调性；

p-X[

(2)右a>0,VxG(0,+8),/(%)>—--求G的取值范围.

18.(本小题17分)

已知集合48中的元素均为正整数，且A,B满足：①对于任意见，ajEA,若Ha”都有。吗・€8；②

对于任意6山bkeB,若bm<bk，都有占eA.

(1)已知集合4={1,2,4},求B；

(2)已知集合4={2,4,8,t}(t>8),求)

(3)若力中有4个元素，证明：B中恰有5个元素.

19.(本小题17分)

已知函数/(%)=%+(%+a)lnx.

(1)若/'(%)是增函数，求a的取值范围.

(2)若((久)有极小值，且极小值为m,证明：m<1.

(3)若f(x)>0,求a的取值范围.

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参考答案

1.5

2.B

3.X

4.D

5.4

6.D

7.B

8.C

9.BC

10.AC

11.BCD

12.J

13.2

14.3

15.解：(1)由图可得，f(x)的最小正周期T=2x(gY)=7r.

277

因为7=两，且3>°，所以3=2,所以/'(X)=sin(2x+9)

7TTC

由/(%)=s讥(2x-+(/?)=0

7T71

所以=2kn,kEZ,解得9=—§+2攵兀，kEZ.

TT7T

因为1初<然所以0=-3-

TT

故f(%)=sin(2久一§).

(2)由一得一整工2%一与《一宗

当2%苫=一手即x=V时，/(久)取得最大值，最大值为《;

当2%苫=苫，即久=一工时，/(%)取得最小值，最小值为一1.

故/(%)在［曰0］上的值域为［-

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222

sinA+1sinB+1(siny+cos^)(sin^+cos^)_(sinj+cos-1)

16.解：(1)证明：因为,所以•

cos>lcosBcos2sin2ycos2y—sin2

si.n—A+।cos—A.sinB—।+cosB—

则—/

cossi.nA=—cos%-—s.in3-

贝UsinlcosS-cos^si*=0,即sin=0.

乙乙乙乙乙乙

因为4BG(0,兀)，所以?-3=0,即4=B.

3AC,AD

(2)由余弦定理的推论可得COSNCAD=弓纥严=这+仍一丑：+心一^+心------------

ZAC-AD2AC-AD=2AC-AD8AD2AC

?I3AC_AD_y[3

^Zy/8ADZAC~~Tf

所以NC4D线,当且仅当笫=室时，等号成立.

故”4)的最大值为崇

17.解：(l)f(x)=aex-l,

当a<0时，/'(%)<0,/(%)是减函数,当Q>0时,y=/'(%)是增函数.

令((%)=0,解得％=-Ina.

当久E(—8,—Ina)时，/'(%)<0;当久G(—Ina,+oo),/'(%)>0.

所以/(%)在(-8,-lna)上单调递减，在(-Ina,+8)上单调递增.

综上，当时，/(%)是减函数;当a>0时，/(%)在(-8,-lna)上单调递减，

在(一Ina,+8)上单调递增.

(2)/(%)>-----,即ae、一—>X——.

、八、，axax

1o~X

令函数g(x)=x--,则g(aex)=aex---,所以。9])>g(x).

Y

因为9(x)在(。，+8)上单调递增，所以ae、>x,即a>彘.

令函数h(x)>0),则"(x)=詈.

当%6(0,1)时，hf(x)>0;当%6(1,+oo),hf(x)<0.

所以以%)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

11

所以初久)极大值=八(1)=了a>八(%)极大值=--

—1

故a的取值范围为(1,+co).

18.解：(1)由①可得2,4,8都是B中的元素.下面证明B中除2,4,8外没有其他元素；

假设B中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，B中最小元素为1,显然苧不是4中的元素,不符合题

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忌；

第二种情况，B中最小的元素为2,设B中除2,4,8外的元素为外(%>2),

因为牛是4中的元素，所以比为4或8,而4,8也是8中的元素，所以B中除2,4,8外没有其他元素.

综上，B=｛2,4,8｝.

(2)由①可得，8,16,32,2t,438t都是B中的元素.显然8<438<2t,16<2t,

由(2)可得,系票差是4中的元素,即亨，p5是4中的元素.

ooAO乙O

因为所以5=2,；=4,9=8,解得t=16.

o4zoqz

(3)证明:设4=[alta2,a3,a4｝,且由<a2<a3<a4,

由①可得，。1。2，。2a4都是3中的元素.显然2a4，

由②可得，覆是a中的元素，即言是a中的元素・

同理可得M詈，Z芸鬻是a中的元素.

若臼=1,则舞|=^^>a4，所以舞^不可能是4中的元素，不符合题意.

若。122,则五<匚<口3，所以^^的，­=即42=底，a3-a1a2=al，

又因为1<^<黄<言<&4，所以,=由,区=。2,区=。3,即。4=谴,

所以A=｛aj_届，碌遭),此时｛碇研，城,限说｝UB.

假设B中还有其他元素，且该元素为%若k<俄,由(2)可得第€4而乎>说，与4=｛%,忧病，鸿｝矛

盾.

kk

若k>a,,因为三E4所以咚=。1，i=L2,3,4,

则k=a[+3,i=1,2,3,4,即ke｛泊，嫉,a，,a：｝,

所以B中除山，斓,al，af,a彳外,没有其他元素.

所以B=｛碌洲，城,城冠｝,即B中恰有5个元素.

19.(1)解：f'(x)=Inx+£+2.

令函数g(x)=Inx+?+2,则g'Q)

若a>0,则当xE(0,a)时，g'(X)<0,当久e(a,+8)时，g，(x)>0,

所以g(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增，

gQ)min=g(a)=lna+3.

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因为/'(%)是增函数，所以/''(x)min20,即g(X)min20,解得Gt2今

若aWO,则g'(x)>0在(0,+8)上恒成立,所以g(x)在(0,+8)上单调递增.

因为函数y=Inx+2与函数y=-三的图象有1个交点，所以存在如使得In%。+9+2=0,

即当Xe(0,久0)时，g(x)<0,当久e。0,+8)时，g(x)>0,所以/'(X)在(0,久0)上单调递减，在(久0,+8)

上单调递增，与题设不符.

综上，a的取值范围为[煮,+8).

1

(2)证明：由(1)可得当aN专时，/(乃是增函数，不存在极小值.

1

当0<a〈前时，gQ)min=g(a)<0,9(久)在(0,a)上单调递减，所以/'(%)在(0,a)上不存在极小值点.

因为9(1)=a+2>0,所以(a,l),g(xi)=O,

所以/(x)在(a,Xi)上单调递减，在01,+8)上单调递增.

/(%)极小值=/(%i)<f(a)=a+(a+a)lna<a+2ax(—3)=-5a<0.

当a<。时,由(1)可得/'0)极小值=f(x0)=x0+(x0+a)lnx0.

2

因为a=-x0\nx0-2x0,所以/'(X)极小值=x0+(%o-xolnxo-2xo)lnxo=-%o[(lnxo)+lnx0-l]-

令函数h(x)=—x[(lnx)2+Inx—1],则%'(x)=—lnx(lnx+3).

当久e(o蠢u(i,+8)时，“(%)<