2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题（学生版+解析）

专题03圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题

（含定值、最值、范围问题）

（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍..............................................1

二、典型题型..............................................3

题型一：三角形面积（定值问题）........................3

题型二：四边形面积（定值问题）........................6

题型三：三角形面积（最值，范围问题）...................8

题型四：四边形面积（最值，范围问题）..................11

三、专项训练............................................13

一、必备秘籍

1、弦长公式

|=gi一九2)2+(%—%)2

22

\AB|=7(l+k)(xt-x2)

（最常用公式，使用频率最高）

2、三角形面积问题

直线AB方程：y=kx+mTiTF

3；+

+mAyA|fcv0-0m|

AB-y0\

SMBP=|lH=

2网出•+北2|4|

3、焦点三角形的面积

直线过焦点序AA5E的面积为

SAA明=；|丹印.|%一刃=。回一I

次百+*七)

225/

S^OB=^\AB\d=^A+BICI

a2A2+b~B2VA2+B2

a^7（a2A2+Z?2B2-C2）C2

a2A2+b'B~

注意：4为联立消去左后关于y的一元二次方程的二次项系数

4、平行四边形的面积

直线A5为〉=履+/，直线CD为>=履+?

=

|A同=Jl+K一%21Jl+k-J（X1+々）一一4占工2=Jl+k-（，-45=4端

7TA/A|町一色|_而加一色|

SABCD=\AB\'d=

可忑声一FT

注意：A，为直线与椭圆联立后消去y后的一元二次方程的系数.

5、范围问题

首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式a2+b2>2ab(a,beR)

变式：a+b>2\[ab(a,beR+);ab<(g+^)2(a,Z>ei?+)

2

作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；

当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值

注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”

圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：

\。----2-t-=---2--

(1)r+64—64(注意分r=0,t>(V<0三种情况讨论)

tH---

I.八仅_1Z/C_1Z_1Z

\AB\=3+-------；—=3+-----------<3+-------

(2)119d+6左2+12,1,久2x3+6

9k+r+6

k2

当且仅当9左2='时，等号成立

(3)|?e|2=34+25-^-+9--^->34+2

就25y

2

当且仅当25./25V=29.9盆x时等号成立.

⑷2+8)6flm2—m2+8

1—x-------------------------=A/2

22

当且仅当苏=-病+8时，等号成立

⑸

2k2—喈+1+喈

也廿一琳+1|2旬70J（2F一喈+1）诉

5=2近，1+左2<40-------J-----=272

l+2k2J1+-2l+2k21+2严

当且仅当2公+1=2/时等号成立.

二、典型题型

题型一：三角形面积（定值问题）

22

1.（24-25高二上•上海•随堂练习）已知椭圆C：1r+3=1（°>/>>0）的左、右焦点分别为

2元

月、F2,上顶点为A,/片4工=1，长轴的长为4.过右焦点B的直线/与椭圆交于〃、

N两点（非长轴端点）.

y-

M

OFNx

-----

⑴求椭圆的方程；

⑵若直线/过椭圆的上顶点A,求△脑西的面积.

22

2.（2024高三下•全国•专题练习）已知椭圆（7:±+工=1,直线/»=尤+机（其中加＜0）

32

与椭圆C相交于AB两点，。为AB的中点，O为坐标原点，|O£）|=卓.求Q4B的面积.

22

3.(23-24高二上•贵州铜仁•阶段练习)已知椭圆C:上+匕=1,直线/：y=x+w(其中m<0)

32

与椭圆C相交于两点，。为A8的中点，。为坐标原点，\OD\=^.

(1)求加的值；

(2)求_0AB的面积.

22

4.(24-25高二上•上海•课堂例题)已知双曲线C：'=1(%>0)的上、下焦点分别为耳、

工，P为双曲线C上一点，且满足/招尸乙=120。，求△尸片鸟的面积.

5.(23-24高二下•河南南阳・期末)已知双曲线C：斗-*=1(。>0,6>0)的实轴比虚轴长2,

ab

且焦点到渐近线的距离为2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若动直线/与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点P,。两

点，。为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值.

6.（23-24高二下•安徽六安・期末）过抛物线C:V=2.（2>0）焦点厂的直线/交C于A8两

点，特别地，当直线/的倾斜角为三时，|AB|=y.

⑴求抛物线C的方程；

（2）已知点P（-l,2）,若2±PB,求工Q4S的面积（。为坐标原点）.

题型二：四边形面积（定值问题）

22

1.（2024・天津武清•模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线C:3-言=1（6>0）的右焦点为

F,以。尸为直径的圆与C的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点A,B,若

\OA\+\OB\=^\AB\,则四边形加B的面积为（）

A.6B.4百C.2班D.4

2

2.（23-24高二上•内蒙古包头,期末）M、N是双曲线尤2一匕=1上关于原点。对称的两点，

3

工、B是左、右焦点.若卜闺叫，则四边形叫叫的面积是（）

A.2君B.3C.4D.6

3.（2024•湖北武汉•二模）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为八过/作直线交抛物

线C于43两点，过A8分别作准线/的垂线，垂足分别为",N,若和8WV的面

积分别为8和4,则AMFN的面积为（）

A.32B.16C.8A/2D.8

4.（23-24高三下•陕西西安•阶段练习）己知抛物线C|：丁=2尤，C2：/=_4尤的焦点分

别为小F2,一条平行于X轴的直线与C1,G分别交于点A,B,若|A4|=怛8|,则四边

形ABKK的面积为.

5.(2024・河北•模拟预测)己知"卜班,0),"(6,0),平面内动点尸满足直线的斜

2

率之积为一§.

(1)求动点尸的轨迹方程；

⑵过点歹。,0)的直线交P的轨迹E于A8两点，以。A为邻边作平行四边形OACB(O为

坐标原点)，若C恰为轨迹E上一点，求四边形04cB的面积.

(2024•全国・模拟预测)已知椭圆E:捺+/=l(a>6>0)的离心率为冬

6.

在椭圆E上.

(1)求椭圆E的方程；

⑵己知A,8,C为椭圆上三个点，。为坐标原点，若四边形。4BC为矩形，求四边形。WC的

面积.

22

7.(23-24高二上•云南昆明•期末)已知离心率为2的双曲线C:三-2=l(a>0,6>0)经过

ab

点”(1,0).

⑴求C的方程；

⑵如图，点N为双曲线上的任意一点，。为原点，过点N作双曲线两渐近线的平行线，分

别与两渐近线交于A、8两点，求证：平行四边形N4OB的面积为定值.

题型三：三角形面积(最值，范围问题)

22

1.(2024局二,全国,专题练习)已知A,8是椭圆C：工+匕=1的左、右顶点，直线/交

259

椭圆C于M，N两点，记AM的斜率为自，的斜率为心，且勺：&=1：9.

(1)求证：直线/过定点；

⑵记的面积为H，BMN的面积为Sz，求5+$2的最大值.

22

2.(23-24高二下•云南曲靖•期末)已知椭圆C:5+「=l(a>6>0)的左、右焦点分别为耳、鸟,

ab

短轴长为2班，点M(-6,-[)在C上.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵己知点40,3),点G为椭圆C上一点，求AAG4周长的最大值；

⑶过C的左焦点月，且斜率不为零的直线/交C于尸、。两点，求△耳面积的最大值.

22

3.(23-24高二上•辽宁沈阳,期末)双曲线C：与-斗=l(a>0,6>0),己知O为坐标原点,

ab

P为双曲线C上一动点，过P作尸M、PN分别垂直于两条渐近线，垂足为V、N,设

\PM\=dx,\PN\=d2,

22

⑴求证：44=3a上h

c~

⑵若双曲线实轴长为4,虚轴长为2,过尸分别作出、尸5平行于渐近线且与渐近线交于A、

8两点，设ONPM的面积为S1,。①区的面积为与，求邑的范围.

4.（23-24高二下,重庆沙坪坝•阶段练习）已知双曲线E:土-匕=1的离心率为e,点A的

m5

坐标是（0,2）,。为坐标原点.

⑴若双曲线E的离心率ee佟，五，求实数机的取值范围；

⑵当e=0时，设过点A的直线与双曲线的左支交于尸，。两个不同的点，线段尸2的中点

为M点、,求的面积So.的取值范围.

5.（23-24高二下•福建泉州,期末）已知抛物线氏丁=2内5>0）经过点/1,2）,直线

/:y=Ax+机与E的交点为4加，且直线R4与PB倾斜角互补.

（1）求上的值；

⑵若相<3,求面积的最大值.

6.（23-24高三下•上海•阶段练习）已知抛物线C：V=4x的焦点为F过尸的直线/交C

于A,8两点，过尸与/垂直的直线交C于DE两点，其中8,。在x轴上方，M,N分别

为AB,DE的中点.

⑴若|四|=6,求点M的横坐标;

⑵证明：直线过定点；

⑶设G为直线AE与直线BD的交点，求GMN面积的最小值.

题型四：四边形面积（最值，范围问题）

22

1.（23-24高二下•浙江•阶段练习）已知双曲线C:I-当=1,过该曲线上的点尸（3,1）作不

a2b1

平行于坐标轴的直线乙交双曲线的右支于另一点Q,作直线〃/乙交双曲线的渐近线于两点4

B（A在第一象限），其渐近线方程为x土y=0,且

⑴求双曲线方程.

（2）证明：直线过定点.

⑶当尸。的斜率为负数时，求四边形A8P。的面积的取值范围.

2.（23-24高二上•山西大同•期末）已知椭圆石卓+彘=1（4>“°）经过点卜外一个焦

点在直线y=上.

⑴求椭圆E的方程；

⑵设经过原点。的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A,3两点和C,。两点.求

四边形ACBD的面积的最小值.

2

3.(2024・山东济南•二模)已知点网4,@是双曲线T：\-y2=i上一点，7在点g处的切

线与x轴交于点A.

(1)求双曲线T的方程及点A的坐标；

(2)过A且斜率非负的直线与T的左、右支分别交于N,M.过N做NP垂直于x轴交T于尸(当

N位于左顶点时认为N与尸重合).C为圆E:(x-iy+(y+2)2=l上任意一点，求四边形

MBPC的面积S的最小值.

4.(23-24高二上•湖南长沙•期中)已知双曲线E的左、右焦点分别为耳(-2,0),8(2,0),

点2,在双曲线E上.

⑴求E的方程;

(2)过F?作两条相互垂直的直线乙和4,与E的右支分别交A,C两点和8,。两点，求四边

形A3CD面积的最小值.

5.（2024•江苏连云港•模拟预测）已知A,2是抛物线E：y=f上不同的两点，点尸在工

轴下方，PA,PB与抛物线E分别交于C,。两点，C,。恰好为尸A,尸8的中点.设48,

C。的中点分别为点M,N.

（1）证明：MNLx轴；

2

（2）若点尸为半椭圆5+x2=l（y<0）上的动点，求四边形ABDC面积的最大值.

三、专项训练

2

1.（2024•全国■模拟预测）已知。为坐标原点，直线/：y=履+〃7化>0）与双曲线x2-1=l

相交且只有一个交点，与椭圆§+2=1交于M,N两点，则OMN面积的最大值为（）

2516

A.10B.12C.14D.16

22

2.（23-24高三下•河北保定•开学考试）己知A是左、右焦点分别为斗工的椭圆E:土+上=1

43

上异于左、右顶点的一点，C是线段*的中点，。是坐标原点，过工作M的平行线交直

线CO于8点，则四边形的面积的最大值为（）

A?R2r30n3有

442

22

3.（23-24高二下•安徽滁州•期末）双曲线C:=-匕=l（a>0）的左、右焦点分别为耳，鸟，

a5

离心率为好，右支上一点P满足尸片，尸工，直线/平分/耳尸工，过点耳,尸2作直线，的垂线，

2一

垂足分别为45.设。为坐标原点，贝!LQ4B的面积为（）

A.2y/5B.4A/5c.10D.10A/2

22

4.（2024•江西宜春•一模）已知双曲线土-乙=1的左、右焦点分别为片，工，过右焦点工的

927

直线/与双曲线的右支交于A,8两点，若《4片鸟”2片鸟的内心分别为/,K,则△巧心与

时工面积之和的取值范围是（）

A,[36,24旧）B,136,48』）C.[18兀，30兀）D.[18兀,36兀）

5.（23-24高二下•河南驻马店•阶段练习）已知抛物线C:V=2外（p>0）的焦点为凡过点

尸（3,-2）作C的两条切线，切点为A,B,且。为C上一动点，若|。同+归。|的最小值为5,

则APAB的面积为（）

12575125

A.75B.---C.—D.

224

6.（2024,四川宜宾•模拟预测）已知抛物线C：V=6x,过动点尸作两条相互垂直的直线，

分别与抛物线C相切于点48,则P4B面积的最小值是（）

A.6B.9C.12D.18

7.（23-24高三下•山西大同•阶段练习）过抛物线>2=4x的焦点/且倾斜角为45°的直线交

抛物线于A8两点，以尸为直径的圆分别与丁轴相切于点则的面积为

（）

A.竺B.272C.1D.忘

8.（2024•内蒙古呼和浩特•二模）已知椭圆1+尸=1,经过坐标原点的两条直线分别

与椭圆/相交于A、B、C、。四个点，若该两条直线的斜率分别为占、网，且片•右=-1，

则一AOC的面积为.

22

9.（2024•湖南•模拟预测）过椭圆C：A+2=l（a>b>0）上的动点P向圆。：/+/=从

ab

引两条切线尸APB.设切点分别是4B,若直线A3与x轴、y轴分别交于/W,N两点，则

△MON面积的最小值是.

10.（2024高三・全国•专题练习）已知点42,1）在双曲线C：f一产=1上，直线/交。于尸,

。两点，直线4尸,人。的斜率之和为0,若tan/PAQ=25/I,则△FAQ的面积

为.

14.（23-24高二下•河南南阳•期末）已知双曲线C：斗-§=1（。>0/>0）的实轴比虚轴长

ab

2,且焦点到渐近线的距离为2.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若动直线/与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点P,。两

点，0为坐标原点，证明：△。尸。的面积为定值.

22

15.（2024•陕西西安二模）已知双曲线C二-4=1（°>0力>0）的一条渐近线方程为无-今=0,

且虚轴长为2.

⑴求双曲线C的标准方程；

⑵若动直线/与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别交于P,Q两点，

。为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值.

16.(23-24高二下,甘肃天水•开学考试)已知双曲线E的两条渐近线互相垂直，且经过点

尸(1,石).

(1)求双曲线E的标准方程；

⑵若过点”(-2,0)的直线交双曲线同一支于两点A,B,设A8中点为N,求一OMN面积的

取值范围.

17.(23-24高二下•广东•期末)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点/到点N(0,2)的距离

为石，A,8为抛物线C上两个动点，且线段A3的中点M在直线/：V=x上.

⑴求抛物线C的方程；

(2)求/WR面积的取值范围.

18.(23-24高二下•安徽芜湖・期末)抛物线E的准线方程为y=-5，抛物线E上的三个点

4

A,8,C构成一个以3为直角顶点的直角三角形.

(1)求抛物线E的标准方程；

⑵若点3坐标为(1,1),证明：直线AC过定点；

⑶若|BA|=|3C|,求面积的最小值.

专题03圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题

（含定值、最值、范围问题）

（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍..............................................1

二、典型题型..............................................3

题型一：三角形面积（定值问题）........................3

题型二：四边形面积（定值问题）........................6

题型三：三角形面积（最值，范围问题）...................8

题型四：四边形面积（最值，范围问题）..................11

三、专项训练.............................................13

一、必备秘籍

1、弦长公式

|="（%-城+（必一城

22

\AB|=7（l+k）（xt-x2）

=Ji+k-1X]_XJ

=Jd+k?）[（%]+%）2-例今（最常用公式，使用频率最高）

必+为)2-4%%

2、三角形面积问题

直线AB方程：尸质+根”=1尸川’”尚时

S^ABP=^\AB\'d=

瓜、网7。+制

lA'l^71,22⑷

3、焦点三角形的面积

直线AB过焦点名,AA3居的面积为

SAA即=g闺6卜群一%|=4%-%|=等

^4//(片片+尸笈一。?)

22ICI

SMOB=^\AB\d=^A+B

a2A2+b'B2VA2+B2

aZ?7(a2A2+Z?2B2-C2)C2

a2A2+b'B2

注意：4为联立消去x后关于y的一元二次方程的二次项系数

4、平行四边形的面积

直线为>=履+〃71,直线CD为>=麻+7%

\AB\=&+"-x2|=&+笈2向1+9)2一4X|%=Jl+FJ(_*)2_4。=J1+F畜

州一根2

=|AB\'d=A/1+k1

-ABCD

注意：4为直线与椭圆联立后消去y后的一元二次方程的系数.

5、范围问题

首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式a2+b2>2ab(a,bER)

变式：a+b>2-Jab{a,beR+）;ab<（0+^）2（a,Z>e2?+）

2

作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值;

当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值

注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”

圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：

，S。=---2-t-=---2--

（1）r+64—64（注意分t=0j>0j<0三种情况讨论）

t

I4D|2Q12k2,12-12

/三、\AB\1=31-1—4--------二3-1------------<3H--------

（2）9Z+6F+1,2^1；2x3+6

QykH--+o

lc

当且仅当9左2时，等号成立

⑶同「7+25寺+9.翁32卜舒条3

当且仅当25.答.9.黑时等号成立.

22,Q

（4）S=112一封f|xm—m+X正

2

当且仅当加2=一加2+8时，等号成立

⑸

2k2一琳+1+肝

1所言了.畀*一喈+1）喈

44"

l+2k21+加=2应

当且仅当2k2+1=24时等号成立.

二、典型题型

题型一：三角形面积（定值问题）

22

1.（24-25高二上•上海,随堂练习）已知椭圆C：1r+/=1但>/,>0）的左、右焦点分别为

工、F2,上顶点为A,N片AK=g,长轴的长为4.过右焦点B的直线/与椭圆交于M、

N两点（非长轴端点）.

X

（1）求椭圆的方程；

⑵若直线/过椭圆的上顶点A,求△加£的面积.

【答案】⑴二+丁=1

4

（2）地.

7

【分析】（1）运用待定系数法求出a=2,c=6,6=1，即可得出方程.

（2）将直线方程求出来，直线曲线联立求出|"N|,运用点到直线距离公式求出可到直线/

的距离，即可求出面积

【详解】（1）因为“4g=子2兀，长轴的长为4,

所以。=2,c=石，b=l,所以椭圆的方程为二+丁=1.

4

（2）因为A（O,1）,8（6,0）,若直线/过椭圆的上顶点A和右焦点厂2.

—近％+1,则点耳到直线/的距离为d二

所以/：y=

3

尤22,

「=1,

由<得7/—8氐=0,

V3

y=--x+V

所以”手,一，，则MM=j半］+［一；一lj=g

22

2.（2024高三下•全国•专题练习）已知椭圆C:土+匕=1,直线/:>=%+相（其中加〈0）

32

与椭圆C相交于A8两点，。为A8的中点，。为坐标原点，|。以=半.求。AB的面积.

【答案】乎

【分析】联立椭圆与直线方程，利用韦达定理得玉+9=］6巧%2=-，3%+%=-二4，

SOAB=SOAF+S08尸=不义|°b|义昆—必|,由|凶=J（%+%）2-4%%=一~—即可求出面积.

/2）

【详解】设AB两点的坐标分别为（加X）,«，%），

---1---=1

联立方程,32，消去丁得5炉+6/nx+3m2-6=0.

y=x+m

由△=36--20（3疗-6）>0,且机<0,可得-逐<m<0,

%+%2=《，玉％2=_g，M+%，

364

贝！J=(玉一1)(%2—1)—XlX2~\X1+'2)+1=—g+l=—1，

可得I%%I=+=

由椭圆方程可知：a=A/3,b-y/2,c=y/a2—b1-1»

由直线/：y=%-1与x轴的交点为椭圆c的右焦点/(1,0),

即SOAB=；*|0尸冈必一)1|=：*1X^^=^^,

所以Q4B的面积为友.

5

22

3.（23-24高二上•贵州铜仁•阶段练习）已知椭圆C:±+匕=1,直线/：y=x+，"其中加＜0）

32

与椭圆C相交于两点，。为A8的中点，。为坐标原点，\OD\=^.

（1）求加的值；

（2）求_0AB的面积.

【答案】口）加=-1

⑵子

【分析】（工）联立方程，利用韦达定理求点。的坐标，结合两点间距离公式运算求解；

（2）根据（1）中韦达定理可得回一%|=孚，且直线/：y=x-l与x轴的交点为椭圆c的

右焦点尸（L0）,进而可求面积.

【详解】（1）设48两点的坐标分别为（人,乂）,（孙％），

匕匚1

联立方程｛32,消去y得5尤2+6.+3/-6=0.

y=x+m

由△=36M2—2。（3机之一6）>0,且机<0,XTW—y[5<m<0>

（2）由（1）可知：%+%2=《，玉%=%+%=，

364

贝"%%=（玉一1）（%2—1）=石％2_（玉+'2）+1=_,_6+1=一（，

可得IX_%|=+=Ju=#

由椭圆方程可知：a=^3,b=^2,c=yja2-b2=1,

由直线/：）=x-1与光轴的交点为椭圆。的右焦点尸（1,0）,

贝1JS.AB=S叩+S°BF=；X。刊X|%-R=；X1X^=子,

所以。钻的面积为亚.

5

【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法

（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关

系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用

圆锥曲线的定义求解.

（2）面积问题常采用S=gx底x高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，

选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底.有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面

积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解.

（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及

函数与方程思想的应用.

22

4.（24-25高二上•上海•课堂例题）已知双曲线C：、一充=1（%>0）的上、下焦点分别为月、

工，P为双曲线C上一点，且满足/招尸乙=120。，求△尸片乙的面积.

【答案】巫

3

【分析】记1尸耳1=心\PF2\=r2,/耳尸为=。，根据双曲线的定义，结合余弦定理可得

2（c-1,再利用三角形面积公式可推得84%=\,即可求得结论.

1-cos。tan—

2

【详解】解：记归耳|="\PF\=r,/月产工=

226,AFYPF2=0.

卜一引=2〃，

•・（彳—2）2=4/.

在△耳尸尸中，由余弦定理得彳4—2佐COS6=（2C）2,

配方得：（4_0）2_2AGCOS6=4C2,

2

BP4々2+2%马（1—cos=4c,

2（c2-a2）2b2

1-cos01-cos6

、.ee

2sin—cos—b1

由三角形的面积公式得s△"&=sin8=/./22

21-cos

02sm—tan—

22

q=_____

内"后一Q,

tan—

2

而〃=8,0=120?,

.<_8_8A/3

・.△咫&一商而；一亍

故答案为：?

5.(23-24高二下•河南南阳•期末)已知双曲线C:j=1(。>0,6>0)的实轴比虚轴长2,

ab

且焦点到渐近线的距离为2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若动直线/与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点P,。两

点，。为坐标原点，证明：△。尸。的面积为定值.

22

【答案】①上-工=1

94

(2)证明见解析

【分析】(1)由点到直线的距离公式及实轴与虚轴定义计算即可得；

(2)讨论直线/的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程

联立，根据A=0,找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得|尸。|,利用点到直线的距离

公式求出三角形的高，求得面积，即可证明.

22

【详解】⑴设双曲线c：j-2=1(。>0,6>0)焦点为(土c,o)，一条渐近线方程为桁-殁=。,

ab

\bc\

所以该焦点到渐近线的距离为J।=b=2,

y/a2+b2

又双曲线实轴比虚轴长2,故2a=2/?+2=4+2=6,即々=3,

22

故双曲线C的方程为土-匕=1；

94

(2)当直线/的斜率不存在时，若动直线/与双曲线C恰有1个公共点,

2

则直线/经过双曲线的顶点，不妨设/:x=3,又渐近线方程为'=±§冗,

22

将%=3代入y=得y=2,将x=3代入y=—得y=—2,

贝|］归。|=4,S”o=；x4x3=6；

2

当直线/的斜率存在，设直线/：>=履+，，且

y=kx+t

联立丁>2,消去，并整理得（4-9犬卜2-18SX-9/-36=0,

---------=1

194

因为动直线/与双曲线C恰有1个公共点，

4-9a0

所以A=324/户+4（4-9左2）（9/+36）=0,得"=/+4,

22

设动直线/与y=的交点为p,与y=-的交点为。,

y=kx+t

,日3t同理得兀=一%

联立2'得马=一阳F

y=—x3k—2

3

则|叫=研4_引=氏方一己+当121M2+1

I9V-4I

因为原点0到直线I的距离d=-f==

VF+1

11⑵M?+i

所以s。皿弓加无啜童可

又因为9左2=〃+4,所以谓十=*=6,即5。相=6,

故△0P。的面积为定值，且定值为6.

【点睛】关键点点睛：利用A=0,找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得IP。I,利用

点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键.

6.（23-24高二下•安徽六安•期末）过抛物线C-.y2=2px（p>0）焦点/的直线/交C于AB两

点，特别地，当直线/的倾斜角为g时，|AB|=/.

⑴求抛物线C的方程；

（2）己知点P（-l,2）,若Q4_LPB,求」。的面积（。为坐标原点）.

【答案】⑴V=4x

（2）2近

【分析】（1）由题意设直线/:尤-K=3y,联立抛物线方程，结合弦长公式即可列方程求

23

得参数。，进而得解；

（2）由题意设直线/：x-l=<y,联立抛物线方程，结合韦达定理、数量积的坐标公式列方

程即可求得参数进一步即可求解上。由的面积.

【详解】（1）抛物线。：y=2夕联。>0）焦点/的坐标为仁,01,

当直线/的倾斜角为三时，直线联立?废物线方程y2=2px,

化简并整理得，丁-子py-p2=。，显然A>0,

设4（%，»1），3（孙9），则X+>2=:P,=~p2,

「2百丫//2

仆］-4x（一p

善殍牛争解得小,

所以抛物线C的方程为产=4尤；

（2）设4（占,乂）,3（%2，%）,

显然直线/的斜率不为0,所以设直线=联立抛物线方程尸=以,

化简并整理得y2-4ty-4=0,显然4=16/+1）>0,

所以乂+必=-4，

又尸（-1,2）,所以以=（再+1,%—2）,尸月=（々+1,%-2）,

因为上4±PB,

所以中.尸月=(%+l)(x2+1)+(%-2)(%-2)

=玉％+(&+%)+1+%%―2(%+%)+4

(%+%)+2+%%-2(%+%)+5

+tx4r+2—4—2x4f+5=4(r—1)=0,

所以f=l,则%+%=4,%%=-4,

设，（MB的面积为S,

则S=g|O司|%一%|=；,1〉,(3+%)2―4%%=；“2+42=2夜,

所以Q4B的面积为2VL

题型二：四边形面积（定值问题）