2023中考数学常见几何模型《角平分线的基本模型（一）全等类》含答案解析

专题07角平分线的重要模型（一）全等类

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点,

需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点,

本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）

【模型解读与图示】

已知如图1,。尸为NAOB的角平分线、尸河不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在。8

上截取ON=Q0,连结PN即可.即有AOMPgAONP，利用相关结论解一决问题.

ABIICDnAB+CD=BC

1.（2022・湖北十堰•九年级期末）在EIABC中，0ACB=2fflB,如图①，当班=90°,AD为团BAC

的角平分线时，在AB上截取AE=AC,连结DE,易证AB=AC+CD.

（1）如图②，当回090。，AD为IBBAC的角平分线时，线段AB,AC,CD又有怎样的数量关

系？不需要证明，请直接写出你的猜想；

（2）如图③，当AD为EIABC的外角平分线时，线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系？请

写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.

2.（2022•山东烟台•九年级期末）己知在AABC中，满足NACB=2N3,

图1图2图3

（1）【问题解决】如图1，当NC=90。，AD为44C的角平分线时，在A8上取一点E使得

AE=AC,连接DE,求证：AB=AC+CD.

（2）【问题拓展】如图2,当NCw9O。，AD为44。的角平分线时，在上取一点E使得

AE=AC,连接DE,（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由.

（3）【猜想证明】如图3,当AP为AABC的外角平分线时，在54的延长线上取一点E使得

AE=AC,连接。E,线段A3、AC、CO又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你

的猜想给予证明.

3.（2022•浙江•九年级期中）（1）如图1,在EIABC中，EC=90°,AD^BAC

的平分线交BC于。，求证：AB=AC+CD.（提示：在A8上截取AE=AC,连接DE）

（2）如图2,当国CR90。时，其他条件不变，线段A3、AC.CD又有怎样的数量关系，直接

写出结果，不需要证明.（3）如图3,当0AC8H9O°,0ACB=20B,AD为0ABe的外角EICAF

的平分线，交BC的延长线于点。，则线段A3、AC、CZ）又有怎样的数量关系？写出你的

猜想，并加以证明.

4.（2022•北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点.

（1）如图（1）,若AC平分NR4E,ZACE=90°,则线段AE、AB,DE的长度满足的数

量关系为；（直接写出答案）；（2）如图（2）,AC平分N54E,EC平分NASD,若

NACE=120。，则线段48、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.

模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）

【模型解读与图示】

已知如图1,0P为N。钻的角平分线、9，。4于点拉时，辅助线的作法大都为过点

P作即可.即有=kOMP空NONP等,利用相关结论解决问题.

邻等对补模型：已知如图2,AP是NCAB的角平分线，EP=DP

辅助线：过点P作尸G,AC、PF±AB

结论：①ZBAC+ZEPD=1SQ°（A、E、P、O四点共圆）；②DF=EG；③

AD=AE+2DF

1.（2022•北京•中考真题）如图，在AABC中，平分ZBACOE，AB.若47=2,。£=1,则

^AACD=-

2.（2022•山东泰安・中考真题）如图，AABC的外角NAC。的平分线CP与内角NABC的平分

线BP交于点P,若NBPC=40。，则/CAP=（）

C.50°D.60°

3.（2022,江苏扬州,中考真题）如图，在DABCL（中，BE、DG分别平分ZABC、ZADC,交

AC于点E、G.

（1）求证：（2）过点E作EFJLAB,垂足为尸.若口AB8的周长为56,

EF=6,求AABC的面积.

4.（2022•河北•九年级专题练习）已知OP平分回AOB,BDCE的顶点C在射线。尸上，射线

CD交射线。4于点F,射线CE交射线。8于点G.

（1）如图1,若CZWM,CESOB,请直接写出线段CP与CG的数量关系；

（2）如图2,若0X02=120。，SDCE=^AOC,试判断线段C尸与CG的数量关系，并说明理

由.

模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）

【模型解读与图示】

已知如图1,。尸为NAQB的角平分线，于点尸时，辅助线的作法大都为延长

"P交08于点N即可。即可构造△P0N之△P0M,有A0MN.是等腰三角形、0P是三

线等，利用相关结论解决问题.常见模型如图2。

L（2022・安徽合肥•一模）如图，AABC中,4。平分是BC中点，AD±BD,AC=1,

2

CD.

-I2

2.（2022•绵阳市•九年级期中）在朋5。中，AB=ACf团84090,平分朋3c交AC于点D

（1）如图1,点尸为BC上一点，连接A尸交BD于点E.若求证：3。垂直平分

AF.

（2）如图2,CESBD,垂足E在的延长线上.试判断线段CE1和3D的数量关系，并说

明理由.

（3）如图3,点F为BC上一点、,BEFC=^^ABC,C^EF,垂足为E,EF与AC交于点M.直

接写出线段CE与线段的数量关系.

3.（2022•福建•厦门九年级期中）如图，在AABC中，AB=AC,ABAC=90°,

（1）如图1,3。平分4BC交AC于点。，尸为3c上一点，连接M交于点E.

⑴若AB=BF,求证：3。垂直平分AF；（ii）若AF_LBD,求证：AD=CF.

（2）如图2,3D平分NABC交AC于点CE±BD,垂足£在C。的延长线上，试判断

线段CE和3。的数量关系，并说明理由.（3）如图3,F为BC上一点、,/EFC=-B,

CE±EF,垂足为E,E尸与AC交于点。，写出线段CE和ED的数量关系.（不要求写出

过程）

4.（2022•安徽黄山•九年级期中）如图，在AABC中，ZS4C=90°,AB^AC,D是AC边

上一动点，CE^LBD于E.（1）如图（1）,若3。平分NABC时，①求NEC。的度数；

②延长CE交班的延长线于点尸，补全图形，探究3D与EC的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图（2）,过点A作AF_LB£■于点F,猜想线段BE,CE,AF之间的数量关系，并

证明你的猜想.

课后专项训练

1.（2022•江苏常州•一模）如图，已知四边形ABCD的对角互补，且ABAC=ADAC,AB=15,

AF

AD=12.过顶点C作CEJ_AB于E,则二二的值为（）

A.A/73B.9C.6D.7.2

2.（202”四川成都•二模）已知，如图，BC=DC,0B+0D=18O°.连接AC,在AB,AC,AD

上分别取点E,P,F,连接PE,PF.若AE=4,AF=6,EIAPE的面积为4,贝帆APF的面积是

B

A.2B.4C.6D.8

3.（2022•福建•福州立志中学一模）如图,0ABC中,0ABe=45。,CD^AB于点、D,BE平分0ABC,

且8£0AC于点8,交CD于点F,H是BC边的中点，连接。“交BE于点G,现给出以下

结论：①0ACDEB尸8D；②AE=CE；③OOGF为等腰三角形；⑥S四边形ADGE=S四边形GHCE.其

中正确的有（写出所有正确结论序号）.

4.（2020・重庆市松树桥中学校八年级月考）如图，AABC的面积为9cm2,BP平分N4BC,

APJ_BP于P,连接PC,则APBC的面积为cm2.

5.（2020•江苏省灌云高级中学城西分校八年级月考）如图，在AABC中，ZA=90°,AB=AC,

ZABC的平分线BD交AC于点D.CEXBD,交BD的延长线于点E,若BD=4,贝|CE=.

B

6.（2021・四川眉山市•八年级期末）在AABC中，AB=AC,ZBAC=90,BD平分/ABC交AC于

点D.

（1）如图1,点F为BC上一点，连接AF交BD于点E.若AB=BF,求证：BD垂直平分AF.

（2）如图2,CE±BD,垂足E在B。的延长线上.试判断线段CE和B。的数量关系，并说

明理由.

（3）如图3,点F为BC上一点，ZEFC=—ZABC,CE±EF,垂足为E,EF与AC交于点直

2

接写出线段CE与线段FM的数量关系.

7.（2022•北京西城•二模）在AABC中，AB=AC,过点C作射线CQ,使0AC8ML4CB（点夕

与点8在直线AC的异侧）点。是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，

>EDA£+a4CD=90°.

（1）如图1,当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是,若BC=a,则C£）的长

为;（用含。的式子表示）（2）如图2,当点E与点C不重合时，连接。E.①用等式

表示44c与NZME之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE,CD,OE之间的数

量关系，并证明.

图1图2

8.（2022・重庆・二模）已知：如图1,四边形A2C。中,ZASC=135°,连接AC、BD,交

于点E,BDLBC,AD=AC.

⑴求证：ND4C=90。；⑵如图2,过点8作3尸，钻，交。C于点尸，交AC于点G,若

S,DBF=2S.CBF，求证：AG=CG；⑶如图3,在（2）的条件下，若4?=3,求线段G尸的

长.

9.（2022•陕西西安•一模）如图，AAB。和ABCE都是等边三角形，EL4BC<105°,AE与

oc交于点?

(1)求证：AE=DC；(2)求EIBFE的度数；(3)若AF=9.17cm,BF=1.53cm,CF=7.53cm,

求CD.

10.(2021・安徽•九年级期末)如图，在3c中，AC=BC,A。平分NC4B.

(1)如图1,若ACB=90°,求证：AB=AC+CD；(2)如图2,^AB=AC+BD,

求NACB的度数;

(3)如图3,若NACB=100。，求证：AB=AD+CD.

11.(2022•自贡市九年级月考)根据图片回答下列问题.

(1)如图①，AD平分/BAC,ZB+ZC=180°,ZB=90°,易知：DBDC.

(2)如图②，AD平分/BAC,ZABD+ZACD=180",ZABD000,求证：DB=DC.

B

图③

12.（2022・江苏•一模）如图，已知NC=60。，AE,BD是AABC的角平分线，且交于点P.

（1）求NAPB的度数.（2）求证：点尸在NC1的平分线上.（3）求证：（l）PD=PE；②

AB=AD+BE.

C

13.（2022・安徽芜湖•九年级期中）如图，已知，/班。=90。,裾=4。,3。是4/?。的平分线,

且交的延长线于点E.求证：BD=2CE.

E

B

专题07角平分线的重要模型（一）全等类

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点,

需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点,

本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）

【模型解读与图示】

已知如图1,。尸为NAOB的角平分线、尸河不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在。8

上截取ON=Q0,连结PN即可.即有AOMPgAONP，利用相关结论解一决问题.

ABIICDnAB+CD=BC

1.（2022・湖北十堰•九年级期末）在EIABC中，0ACB=2fflB,如图①，当班=90°,AD为团BAC

的角平分线时，在AB上截取AE=AC,连结DE,易证AB=AC+CD.

（1）如图②，当回090。，AD为IBBAC的角平分线时，线段AB,AC,CD又有怎样的数量关

系？不需要证明，请直接写出你的猜想；

（2）如图③，当AD为EIABC的外角平分线时，线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系？请

写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.

【答案】（1）AB=AC+CD-证明见解析；（2）AB+AC=CD-证明见解析.

【分析】（1）首先在AB上截取AE=AC,连接DE,易证I3ADEEHADC（SAS）,则可得EIAED=EIC,

ED=CD,又由回AED=I3ACB,回ACB=2EIB,所以I3AED=2E]B,即回B=E1BDE,易证DE=CD,则

可求得AB=AC+CD；

(2)首先在BA的延长线上截取AE=AC,连接ED,易证EIEADEBCAD,可得ED=CD,0AED

=0ACD,又由EIACB=2EIB,易证DE=EB,贝l］可求得AC+AB=CD.

【详解】(1)猜想：AB=AC+CD.

证明：如图②，在AB上截取AE=AC,连结。E,

A

^\ZBAD=ZCAD,^AD=AD,

ElAADE^AADC(SAS),

0ZAED=ZC,ED=CD,

SZACB=2ZB,ta/AED=2/B.

aZB=NEDB,

0EB=ED,SEB=CD,

^AB=AE+DE=AC+CD.

(2)猜想：AB+AC=CD.

证明：在54的延长线上截取AE=AC,连结ED.

在与ACAD中，AE=AC,ZEAD=ACAD,AD=AD,

E/\EAD^/\CAD.

^ED=CD,ZAED=ZACD.

SZFED=ZACB.

又ZACB=2NB,NFED=ZB+ZEDB,ZEDB=ZB.

^\EB=ED.

团EA+AB=EB=ED=CD.

团AC+AB=CD.

【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线

的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常

考题型.

2.(2022・山东烟台•九年级期末)已知在AABC中，满足NACB=2/B,

⑴【问题解决】如图1,当NC=90。，AD为々AC的角平分线时，在A3上取一点E使得

AE^AC,连接求证：AB=AC+CD.

⑵【问题拓展】如图2,当NC*9O。，AD为㈤。的角平分线时，在AB上取一点E使得

AE=AC,连接OK,(1)中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由.

⑶【猜想证明】如图3,当AD为AABC的外角平分线时，在胡的延长线上取一点E使得

AE^AC,连接。线段AB、AC、8又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你

的猜想给予证明.

【答案】(1)证明见解析

⑵成立，证明见解析

(3)猜想AB+AC=CD,证明见解析

【分析】(1)先根据&4S定理证出根据全等三角形的性质可得£E>=CD,

ZAED=ZACD,再根据三角形的外角性质可得/B=NBDE=45。，然后根据等腰三角形的

判定可得EB=£D,从而可得£B=C。，最后根据线段和差、等量代换即可得证；

(2)先根据&4S定理证出AAED三AACD,根据全等三角形的性质可得即=CD,

ZAED=ZC,再根据三角形的外角性质可得NB=NBDE,然后根据等腰三角形的判定可得

EB=ED,从而可得£B=CD,最后根据线段和差、等量代换即可得证；

(3)先根据&4s定理证出△隹£＞二根据全等三角形的性质可得

ZAED:ZACD,从而可得NFED=NACB,再根据三角形的外角性质可得NB=N3DE,然

后根据等腰三角形的判定可得历=ED,从而可得E3=CD,最后根据线段和差、等量代换

即可得证.

(1)

证明：团为44c的角平分线，

^\ZEAD=ZCAD,

AE=AC

在△AED与"⑺中，＜/EAO=/CA。，

AD=AD

回△AED=AACD(5A5),

国ED=CD,ZAED=ZACD,

又回NACB=90。，ZACB=2ZB9

0ZB=45°,ZA£D=90°,

BZBDE=ZAED-ZB=45°,

田NB=NBDE,

⑦EB=ED,

国EB=CD,

0AB=AE+EB=AC+CD.

(2)

解：(1)中的结论还成立，证明如下：

EIAD为NBAC的角平分线时，SZEAD=ZCAD,

AE=AC

在△AEE＞与八4。中，，/E4。=/CAD,

AD=AD

^^AED^ACD(SAS),

BZAED=ZC,ED=CD,

⑦ZACB=2NB,

国NAED=2/B,

又国ZAED=ZB+ZEDB,

国NB=NEDB,

国EB=ED,

团EB-CD,

国AB=AE+EB=AC+CD.

(3)

解：猜想AB+AC=CO,证明如下：

团AD平分NEAC,

^ZEAD=ZCADf

AE=AC

在A4ED与"8中「/E4。=NCA。，

AD=AD

团△AED^ACD(SAS),

国ED=CD,ZAED=ZACD,

如图，团180。一NAED=180。一NACD,WfiZFED=ZACB,

®ZACB=2NB,

田/FED=2/B,

又⑦NFED=NB+ZEDB,

⑦ZEDB=ZB,

⑦EB=ED,

^\AB+AE=EB=ED=CD,

团AB+AC=CD.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全

等的判定方法是解题关键.

3.（2022•浙江•九年级期中）（1）如图1,在M3C中，她匿=2勖，0C=9O°,AO为何5AC

的平分线交于。，求证：AB=AC+CD.（提示：在A3上截取AE=AC,连接。E）

图1图2图3

(2)如图2,当国CR90。时，其他条件不变，线段42、AC,C。又有怎样的数量关系，直接

写出结果，不需要证明.

(3)如图3,当0AC办90°,0ACB=20B,为E1ABC的外角EICAE的平分线，交3c的延

长线于点。，则线段AB、AC、O又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明.

【答案】(1)见解析；(2)AB=AC+C£)；(3)AB=CZ)-AC

【分析】(1)在AB上截取AE=AC,连接DE,根据角平分线的定义得到回1=02.推出△ACDEHAED

(SAS).根据全等三角形的性质得到I3AED=I3C=9O,CD=ED,根据已知条件得到回B=45。.求得

0EDB=0B=45°.得到DE=BE,等量代换得到CD=BE.即可得到结论；

(2)在AC取一点E使AB=AE,连接DE,易证△ABDEHAED,所以EIB=I3AED,BD=DE,又因为

0B=20C,所以E1AED=2I3C,因为EIAED是AEDC的外角，所以E1EDC=EIC,所以ED=EC,BD=EC,

进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；

(3)在AB的延长线AF上取一点E,使得AE=AC,连接DE.证明△ACDEHAED,根据全等三

角形的性质得到DE=BE,BE=CD,即可得出结论.

【详解】(1)证明：在A2上取一点E,使AE=AC

SAD为回54c的平分线

^S\BAD=SCAD.

在△ACD和中,

AE=AC

</BAD=/CAD

AD=AD

^\ACDm\ED(SAS).

团朋ED=团。=90°,CD=ED,

又回胤4c8二2团3,团。二90°,

豳3=45°.瓯EZ)乐团3=45°.

⑦DE二BE,BCD=BE.

^AB=AE+BE,^AB=AC+CD.

(2)证明：在AB取一点E使AC=AE,

图2

在4ACD和MED中，

AC^AE

<ZBAD=ZEAD/

AD=AD

RO1ACD团团AED,

酿C二团AED,CD=DE,

又酿02团B,

酿AED=2回B,

R01AED是AEDC的夕卜角，

瓯EDB二团B,

团ED=EB,

0CD=EB,

团AB=AC+CD；

(3)猜想：AB=CD-AC

证明：在5A的延长线上取一点E,使得AESC,连接OE,

在△AC。和△AED中,

AC=AE

<NCAD=/EAD,

AD=AD

^\ACD^\AED（SAS）,

回她CD=她ED,CD=DE,

^\ACB=^\FED,

又回她C8=2回8

团团尸瓦）二2回8,

又酿尸皮）二团8+^EDB,

加ED3二团8,

WE=BE,

国BE=CD,

^\AB=BE-AE

^\AB=CD-AC.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短

法.

4.（2022•北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，。是5。边的中点.

（1）如图（1）,若AC平分44E,ZACE=90°,则线段A£\AB,。石的长度满足的数

量关系为;（直接写出答案）

（2）如图（2）,AC平分44E,£C平分NA£Z）,若NACE=120。，则线段A5、5。、。£、

AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.

【答案】（1）AE=AB+DE；（2）AE=AB+DE+|BD,证明见解析.

【分析】（1）在AE上取一点F,使AF=AB,由三角形全等的判定可证得AACB之4ACF,根

据全等三角形的性质可得BC=FC,ZACB=ZACF,根据三角形全等的判定证得△CEFgZ\CED,

得到EF=ED,再由线段的和差可以得出结论；

（2）在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CG,根据全

等三角形的判定证得AACB丝4ACF和AECD会AECG,由全等三角形的性质证得CF=CG,进

而证得ACFG是等边三角形，就有FG=CG=gBD,从而可证得结论.

【详解】解：（1）如图（1）,在AE上取一点F,使AF=AB.

图⑴

：AC平分/BAE,；.NBAC=NFAC.

AB=AF

在AACB和AACF中，^ZBAC=ZFAC.,.AACB^AACF(SAS).；.BC=FC,ZACB=ZACF.

AC=AC

：C是BD边的中点，；.BC=CD.；.CF=CD.

：/ACE=90°,.•.ZACB+ZDCE=90°,ZACF+ZECF=90°./.ZECF=ZECD.

CF=CD

在ACEF和ACED中，＜ZECF=ZECD.-.ACEF^ACED(SAS).；.EF=ED.

CE=CE

：AE=AF+EF,；.AE=AB+DE.故答案为：AE=AB+DE；

(2)AE=AB+DE+：BD.

证明：如图(2),在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结

CG.

图⑵

：C是BD边的中点，.,.CB=CD=1BD.

；AC平分/BAE,；./BAC=NFAC.

AB=AF

在AACB和AACF中，＜ZBAC=ZFACAAACB^AACF(SAS).；.CF=CB,/BCA=NFCA.

AC=AC

同理可证：△ECDg/\ECG；.CD=CG,ZDCE=ZGCE.

：CB=CD,/.CG=CF.

：NACE=120°,；.NBCA+NDCE=180°-120°=60°.

.*.ZFCA+ZGCE=60".ZFCG=60°.

ZkFGC是等边三角形.**.FG=FC=yBD.

:AE=AF+EG+FG,;.AE=AB+DE+；BD.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和

性质是解决问题的关键.

模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）

【模型解读与图示】

已知如图1,0P为NOAB的角平分线、于点M时，辅助线的作法大都为过点

P作RVLOB即可.即有RW=7W、AOMP”NONP等,利用相关结论解决问题.

A

D

图3

邻等对补模型：已知如图2,AP是/CA8的角平分线，EP=DP

辅助线：过点尸作PG_LAC、PF±AB

结论：①ZBAC+ZEPD=1SQ°（A、E、P、O四点共圆）；②DF=EG；③

AD=AE+2DF

1.（2022•北京・中考真题）如图，在AABC中，AD平分NBACOELAB.若4。=2,。£=1,则

SiACD=

【答案】1

【分析】作OFAC于点孔由角平分线的性质推出小=止=1,再利用三角形面积公式

求解即可.

【详解】解：如图，作ObLAC于点兄

E1AD平分N&4C,DELAB,DF1AC,^\DF=DE=1,

05MCD=1AC-Z）F=1X2X1=1.故答案为：1.

【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形AC。中AC边的高是解题的

关键.

2.（2022•山东泰安•中考真题）如图，AABC的外角NACD的平分线CP与内角/ABC的平分

线BP交于点P,若/BPC=40。，则/CAP=（）

【答案】C

【分析】根据外角与内角性质得出NBAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全

等的判定，得出NCAP=/"P,即可得出答案.

【详解】解：延长BA,作PN_LB。，PFLBA,PM±AC,设NPCD=x°,

:CP平分NACO,；.NACP=NPCO=x°,PM=PN,

：BP平分NABC,：.NABP=NPBC,PF=PN,：.PF=PM,

VZSPC=40°,:.NABP=NPBC=NPCD-/BPC=(x-40)°,

AZBAC^ZACD-ZABC^2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,NCAF=100°,

PA=PA

在RtAPEA和RtAP/VM中，｛八厂，

PM=PF

【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识,

根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解题的关键.

3.（2022,江苏扬州,中考真题）如图，在DABCL（中，BE、DG分别平分ZABC、ZADC,交

AC于点E、G.

AD

(1)求证：BE//DG,BE=DG.

(2)过点E作垂足为F.若□ABC。的周长为56,EF=6,求AABC的面积.

【答案］⑴见详解⑵84

【分析】(1)由平行四边形的性质证AABE三ACDG(AS4)即可求证；

(2)作EQ，3C,由S^sc=5AAm+S&EBC即可求解；

(1)证明：在DA5co中，

0AB//Cr),^ZBAE=ZDCG,

DG分别平分NABC、ZADC,ZABC=ZADC,

^\ZABE=ZCDG,

在AASE和ACDG中，

'/BAE=NDCG

回＜AB=CD

AABE=ZCDG

SiAABE^ACDG(ASA),

0BE=DG,ZAEB=NCGD,

QBE〃DG.

(2)如图，作EQ^BC,

1

团口ABCD的周长为56,

团AB+5C=28,

团旗平分ZA5C,

团EQ=EF=6,

回5AAsc=S诩E+SAEBC=^EF-AB+^EQ-BC=^AB+BC）=84.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识

并灵活应用是解题的关键.

4.（2022・河北•九年级专题练习）已知OP平分0A08,SDCE的顶点C在射线。尸上，射线

CD交射线。4于点凡射线CE交射线02于点G.

（1）如图1,若CZMOA,CE^OB,请直接写出线段CF与CG的数量关系；

（2）如图2,若M。3=120。，0DCE=0AOC,试判断线段CV与CG的数量关系，并说明理

由.

【答案】（1）CF=CG；⑵CF=CG,见解析

【分析】（1）结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.

（2）结论：CF=CG,作CM0OA于必CN3O2于N,证明13cMEZBCNG,利用全等三角形

的性质即可解决问题.

【详解】解：（1）结论：CF=CG；

证明：OOP平分0A08,CR3OA,CG3O8,

团C小CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；

（2）CF=CG.理由如下：如图，

A

C

D7OB

过点C作CM0OA,CN^OB,

OOP平分她08,CMSOA,CN^OB,EIA（?B=120",

团CN=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），

aa40c=回8。。=60。（角平分线的性质），

EH£）CE=a40C,

00A（9C=0BOC=0DCE=6O",

0BMCO=9O°-6O°=30°,E1NCO=90°-60°=30°,

EHMCN=30°+30°=60°,

^MCN^DCE,

^\MCF=^MCN-^\DCN,^NCG=^DCE-^\DCN,

^iMCF=^NCG,

在回MCB和I3NCG中，

'NCMF=NCNG

<CM=CN

4MCF=NNCG

EHMCFEBNCG（ASA）,

0CF=CG（全等三角形对应边相等）.

【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键

是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等.

模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）

【模型解读与图示】

己知如图1,。尸为NAQB的角平分线，9,0。于点尸时，辅助线的作法大都为延长

"P交。8于点N即可。即可构造△「。代^△尸。^,有AOMN.是等腰三角形、OP是三

线等，利用相关结论解决问题.常见模型如图2„

p图10图2

L(2022•安徽合肥•一模)如图，A?1BC中,4。平分是BC中点，ADLBD,AC=1,

13

A.1B.2C.-D.-

22

【答案】D

【分析】延长BD交AC于点F,先证明AABO=^AFD(ASA),得到BD=DF,。是BP的中

点，再由中位线的性质解答即可.

【详解】解：延长8。交AC于点R如图

•.,4。平分ZBAC,AD±BD

ZBAD=ZFAD,ZADB=ADF=90°

•«,AD=AD

:.^ABD=^AFD(ASA)

.\AB=AF=4,BD=DF

・•・D是B厂的中点,

・•.E是BC中点，

113

,\DE=-FC=-(7-4)=-

故选：D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，是重要考点，掌握相关

知识是解题关键.

2.(2022•绵阳市•九年级期中)在0ABe中，AB=AC,0BAC=9O,8。平分0ABe交AC于点。.

(1)如图1,点尸为上一点，连接A尸交2。于点E.若求证：8。垂直平分

AF.

(2)如图2,C£03。，垂足E在8。的延长线上.试判断线段CE和8。的数量关系，并说

明理由.

(3)如图3,点F为BC上一点，CESEF,垂足为E,EF与AC交于点M.直

接写出线段CE与线段FM的数量关系.

【答案】(1)见解析；(2)BD=2CE,理由见解析；(3)FM=2CE.

【分析】(1)由2。平分EIABC,可得回ABE=I3FBE,可证AABEEIEIFBEISAS),可得AE=FE,回AEB=I3FEB=

；'180。=90。即可；

(2)延长CE,交BA的延长线于G,由CE^BD,回ABE=EIFBE,可得GE=2CE=2GE,可证△BADEHCAG

(ASA),可得BD=CG=2CE；

(3)作FM的中垂线NH交CF于N,交FM于H,由FN=MN,MH=FH=；FM,可得E1NMH=I3NBH,

由EIEPC=；0ABe=22.5°,可求回ABC=EIACB=EIMNC=45°,可得NM=CM=FN,由夕卜角

0EMC=0MFC+0MCF=22.5°+45°=67.5°,可求l3ECM=90°-[aEMC=22.5°,可证△FNHH3cME(AAS),

可得FH=CE即可.

【详解】证明(1)回3。平分0A8C,

0BABE=0FBE,

0BA=BF,BE=BE,

0AABE00FBE(SAS),

回AE=FE,0AEB=fflFEB=yx180°=90°,

0BD垂直平分AF.

(2)BD=2CE,理由如下：

延长CE,交BA的延长线于G,

0C£0BD,I3ABE=I3FBE,

回GE=2CE=2GE,

H3CED=90°=回BAD,0ADB=EEDC,

EBABD=[3GCA,

又AB=AC,0BAD=ECAG,,

EBBADEBCAG(ASA),

回BD=CG=2CE,

(3)FM=2CE,理由如下：

作FM的中垂线NH交CF于N,交FM于H,

EFN=MN,MH=FH=yFM,

00NMH=EINBH,

00£FC=10ABe=22.5°,

EBMNC=2回NFH=2xga4BC=0ABC,

^AB=AC,团BAC=90,

EBABC=I3ACB=EIMNC=45°,

回NM=CM=FN,

H3EMC=EIMFC+l3MCF=22.5°+45°=67.5°,

fflECM=90°-EIEMC=22.5o,

00NFH=0MCE,

又EBFHN=E1E=9O°,

0AFNH00CME(AAS),

0FH=CE,

EFM=2FH=2CE.

【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂

直平分线，三角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐

角互余，线段垂直平分线是解题关键.

3.（2022•福建・厦门九年级期中）如图，在AA5c中，AB^AC,4c=90。，

图1图2图3

（1）如图平分NABC交AC于点。，F为BC上一点,连接AF交3D于点E.

（i）若AB=BF,求证：3D垂直平分AF；

（ii）若AF_LfiD,求证：AD=CF.

（2）如图2,3。平分NABC交AC于点CE±BD,垂足£在8的延长线上，试判断

线段CE和的数量关系，并说明理由.

（3）如图3,F为BC上一点,NEFC=；NB,GE_LEF,垂足为E,Er与AC交于点O,

写出线段CE和尸。的数量关系.（不要求写出过程）

【答案】（1）（0）见解析；（回）见解析；（2）BD=2CE,理由见解析；（3）CE=gFD.

【分析】（1）（回）由等腰三角形的性质即可证得结论;

(0)过点。作CMBAF交AF的延长线于点跖如图1,先根据AAS证明她8EEBC4M,可

得AE=CM,然后根据角平分线的定义、平行线的性质和等量代换可得aFCM=aEAD,进而

可根据ASA证明0AE。13cM尸，于是可得结论；

(2)延长BA、CE相交于点F,如图2,先利用ASA证明I38CE和回全等，可得CE=EF,

根据余角的性质可得SABD=EIACP,然后利用ASA可证明财M和EL4cp全等，进而可得

=CF,进一步即得结论；

(3)过点/作/GSBA,交AC于"，交CE的延长线于点G,如图3,先利用ASA证明

^CEF^GEF,可得CE=GE,然后根据平行线的性质、等腰三角形的性质和ASA证明

^CGimFDH,于是可得CG=。凡从而可得结论.

【详解】(1)(0)证明：SAB=BF,20平分她BC,

国BEMF,AE=EF,

即50垂直平分AR

(团)证明：过点C作CM13A尸交A尸的延长线于点如图1,

回回3AC=90°,AF^\BD,

团朋3E+团BAE=90°,^\CAM^BAE=90°9

酿CAM=MBE,

ZAEB=ZAMC

在励BE和团CAM中,|NABE=ZCAM,

AB=AC

瓯ABEW1CAM(A4S),

l?L4E=CM,

^\AF^\BD,AF^CM,

团5。团CM,

^\FCM=BCBD,

团30平分她BC,

^\ABD=BCBDf

SEFCM=^\ABD,

E0FCM=0E4D,

ZEAD=ZFCM

在EL4ED和13aMF中，｛AE=CM,

NAED=NCMF

EEAEDEECW(ASA),

0A£)=CF；

(2)解:BD=2CE.

理由如下：如图2,延长84、CE相交于点尸,

图2

回&)平分0ABC,

^\ABD=^\CBD,

ZCBE=ZFBE

在团8CE和团BFE中，,BE=BE

/BEC=/BEF=90°

^BCE^\BFE(ASA),

⑦CE=EF,

回勖AC=90°,CE^\BD,

回朋Cr+RLF=90°,RL45D+团b=90°,

mABD=^\ACFf

/ABD=ZACF

在财8。和gCF中，|AB=AC

ABAC=ZCAF=9()

配L4HOML4c尸(ASA),

⑦BD=CF,

⑦CF=CE+EF=2CE,

⑦BD=2CE.

(3)解：CE=^FD.过点F作尸G08A,交AC于H,交CE的延长线于点G,如图3,

图3

^FG3\AB,回EPC=；EIB,

ffl£FC=EGF£,

X0CE0FE,00CEF=0GEF=90%

ZCFE=ZGFE

在IBCEF和回GEF中，＜FE=FE,

ZF£C=NFEG

^CEF^GEFCASA),

SCE=GE,EPCE=|CG,

0FGHAB,EIA=90°,AB^AC,

00C//G=0D/7F=9O°,CH=FH.

又ffi]GCH=EIDFW,

EHCG/ffi3/*H(ASA),

^\CG=DF.

团CE=；F£).

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三

角形的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握三角形全等的判定和性质

是解题的关键.

4.(2022・安徽黄山•九年级期中)如图，在AABC中，N54C=90。，AB^AC,D是AC边

上一动点，CE^LBD于E.

（1）如图（1）,若平分NABC时，①求NEC。的度数；

②延长CE交胡的延长线于点尸，补全图形，探究与EC的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图（2）,过点A作于点F,猜想线段班，CE,AF之间的数量关系，并

证明你的猜想.

【答案】（1）①NECD=22.5°,②BD=2EC,理由见详解；（2）BE=CE+2AF,理由见详解.

【分析】（1）①由题意易得EIABC=E]ACB=45°,则有EICBD=I3ABD=22.5°,进而可求I3ECD=EIDBA,

则问题得解；

②由题意易得CE=EF,则可证团ABD盟ACF,进而可得BD=CF,最后根据线段的数量关系可求

解；

（2）在BE上截取BH=CE,连接AH,则易证回BHAH3CEA,则有AE=AH,0BAH=SCAE,进而

可得回HAE=90。，然后根据线段的数量关系可求解.

【详解】解：（1）fflZS4C=90°,AB=AC,

00ABC=0ACB=45°,

0BD平分IBABC,

00CBD=0ABD=22.5",

®00ABD+0BDA=EICDE+0ECD=9O<,,0CDE=0BDA,

EEABD=EIECD=22.5°；

②BD=2EC,理由如下：如图所示：

0CE±B£),

00CEB=EFEB=9O°,

回BE二BE,

酿CEB酿FEB(ASA),

团CE=FE,

团团DBA+回F=90°,回FCA+回F=90°,

丽DBA二团FCA,

回团BAD=回CAF=90°,AB=AC,

团团ABD团团ACF(ASA),

团BD=CF,

回BD=2CE；

(2)BE=CE+2AF,理由如下：

在BE上截取BH二CE,连接AH,如图,

由(1)易得团HBA二团ECA,

回AB=AC