艺考生专题讲义13 幂函数

考点13幂函数知识梳理一．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数(2)xα的系数为1(3)只有一项二．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1图象定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1，1)精讲精练题型一幂函数的概念例1下列函数中是幂函数的是________．y＝2x ②y＝2x ③y＝x2 ④y＝答案③解析根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出y＝x2是幂函数，y＝2x、y＝2x、y＝不是幂函数．举一反三下列函数：①y＝x2+1；②；③y＝2x2；④；⑤，其中幂函数是________．答案②④解析根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出②④是幂函数，例2已知幂函数f(x)的图象经过(9，3)，则f(2)－f(1)＝________．答案解析设幂函数f(x)＝xa，它的图象经过(9，3)，所以3＝9a，∴a＝，幂函数为f(x)＝，所以f(2)－f(1)＝举一反三函数y＝(m2－m+1)是幂函数，且f(－x)＝f(x)，则实数m的值为________．答案1解析因为函数y＝(m2－m+1)是幂函数，所以m2－m+1＝1，解得m＝1或m＝0．因为f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，当m＝0时，幂函数为y＝x－3．函数表示奇函数，当m＝1时y＝x－4．函数是偶函数．方法总结(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．题型二幂函数的图象例3下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()答案①②③④解析图①说明函数定义域为R，有，且观察图象可知图②为，则图①为；又图③中函数定义域为，所以其对应，综上可知：①②③④.举一反三下列命题中正确的是________．幂函数的图象一定过点(0，0)和点(1，1)若函数f(x)＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增幂函数的图象上的点一定不在第四象限幂函数的图象不可能是直线答案③解析幂函数y＝x－1的图象不过点(0，0)，它在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，于是①，②都不正确．幂函数y＝x的图象是直线，④不正确．当x>0时，f(x)＝xα>0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，答案为③．方法总结若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.熟记5个简单幂函数的图象是解题的关键．题型三幂函数有关的大小比较问题例4已知，则a，b，c从小到大用“﹤”号排列为．答案解析因为幂函数在单调递增，且，所以，即.又，又因为对数函数在单调递减，所以，因此.举一反三设，则的大小关系是________．答案a>c>b解析因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以.方法总结同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性．同指数的两个数比较大小，