艺考生专题讲义28 数列求和

考点28数列求和知识梳理一．公式法1.等差数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1d,2).2.等比数列{an}的前n项和Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))二．裂项相消求和1.通项特征：通项一般是分式，分母为偶数个因式相乘，且满足a是常数，2.解题思路错位相减法通项特征：一次函数*指数型函数解题思路分组转化求和1.通项特征：或2.解题思路精讲精练题型一裂项相消求和【例1】已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式.(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵，∴，解得，当时，由①可得，②，①－②：，∵，∴，∴，即∴，∴是以为首项，以为公差的等差数列，∴综上所述，结论是：.(2)由(1)可得∴，综上所述，.【方法总结】【方法总结】裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；（4）对数型.【举一反三】1．已知，设，数列的前项和______.【答案】【解析】由，，所以数列{}前项和为.故答案为：.2．已知数列满足，则数列的前n项和为______．【答案】【解析】当时，由，得，两式相减，得，又，适合，所以所以所以．故答案为：3．已知等差数列的前项和为，，.(1)求数列体的通项公式：(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)设数列的公差为，∵，，∴，，解得，.∴.(2)由(1)得，，∴.题型二错位相减求和【例2】设数列､的前项和分别为､，且，，(1)求数列､的通项公式；(2)令，求的前项和.【答案】(1)，(2)【解析】(1)由得，当时，，当时，也适合，故.由得，得，当时，，得，又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.综上所述：，.(2)，所以，所以，所以，所以，所以.【举一反三】1．设数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由，①得，②①②，得，所以，又，，所以，，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以.(2)由(1)得，，所以，③，④③④得，，所以.2．已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式.(2)设，且，求的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由得，，，故，，故，即是为首项，公比为的等比数列，故；(2)由(1)知，，设的前项和，，，作差得，，即，，化简得，故的前项和为.3．已知数列的前n项和为，且(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析，；(2).【解析】(1)数列的前n项和为，且①，当时，解得：，当时，②，①-②得：，故：(常数)，所以，数列是以1为首项，3为公比的等比数列.所以，(首项符合通项)，故：.(2)所以，，两式相减得，，因此.4．已知递增数列满足，，且是方程的两根，数列的前项和为，且.(1)求数列，的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)因为方程两根为或7，又､是方程的两根，数列是递增的等差数列，，，设公差为，则，解得，..对于数列，，当时，，解得；当时，，整理得，即，所以数列是等比数列，(2)，数列的前项和，，......两式相减可得......，.题型三分组求和【例3】已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为2的等比数列，且.(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)；；(2).【解析】(1)设等差数列的公差为，则，∴数列的通项公式为，∴.又，∴，∵数列是公比为2的等比数列，∴，∴；(2)由题意得，.【举一反三】1．设是公比为正数的等比数列，，.(1)求的通项公式；(2)设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意设等比数列的公比为q，，，，，即，的通项公式.(2)是首项为1，公差为2的等差数列，，数列的前n项和.2．已知等比数列中，且是和的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足求的前n项和【答案】(1)；(2).【解析】(1)设等比数列的公比为，又则由于是和的等差中项，得，即，解得所以，(2)3．在公差不为0的等差数列的前10项和为65，、、成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【解析】(1)设等差数列的公差为()，因为前10项和为65，所以，因为、、成等比数列，所以，即，联立，解得，，故.(2)因为，，所以，则，故.4．已知数列的前项和满足：.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)当时，，得.当时，由，①得，②①-②，得，又，∴，∴，∴是等比数列，∴(2)由，则，则．题型四倒序相加求和【例4】已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为()A． B．33 C． D．34【答案】A【解析】函数满足，①，②，由①②可得，，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前10项和为.故选：A.【举一反三】1．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为()A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D【解析】函数满足，①，②，由①②可得，，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为．故选：D．2．已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为()A．100 B．105 C．110 D．115【答